Глава II. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

§1. Система координат

1.1 Система координат на плоскости (пространство r2 )

Декартовая прямоугольная система координат на плоскости считается заданной, если заданы две взаимно перпендикулярные прямые (оси координат), начало отcчёта и единица масштаба.

рис.1

Горизонтальная ось - ось абсцисс, положительное направление оси - вправо.

Вертикальная ось, перпендикулярная к первой, называется осью ординат. Положительное направление - вверх.

Положение точки на плоскости определяется двумя числами - абсциссой и ординатой. Они называются координатами точки.

Координаты пишутся в круглых скобках рядом с названием точки, причем на первом месте в прямоугольной системе координат записывается абсцисса точки, а на втором - ее ордината. Например, если x-абсцисса точки, а y - ее ордината, то это записывается так: A(x;y). У точек, лежащих на оси абсцисс, ординаты равны нулю, а у точек, лежащих на оси ординат - абсциссы равны нулю. Абсцисса и ордината точки есть расстояния этой точки до осей ОY и ОХ соответственно, которым приписываются определённые знаки в зависимости от четверти, на которые оси координат делят всю координатную плоскость.

Четверти (квадранты) и знаки координат указаны на рисунке 1. Если соединить точку с началом координат, получим вектор , который называется радиусом - вектором точки М. Координаты радиуса - вектора совпадают с координатами точки.

1.2 Простейшие задачи аналитической геометрии Расстояние между двумя точками на плоскости

Пусть заданы две точки А(х₁;y₁) и B(x₂;y₂). Требуется найти расстояние АВ между ними.

По теореме Пифагора: АВ²=АD²+ВD²= =(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)² (рис2).

Рис. 2

АВ=. (1.1)

Расстояние между двумя точками на плоскости равно корню квадратному из суммы квадратов разностей одноимённых координат.

Слагаемые в круглых скобках можно менять местами, т.к. каждая скобка возводится в квадрат.

Деление отрезка в данном отношении

Пусть А(х₁;у₁) и В(х₂;у₂) концы отрезка АВ. Точка С(х;у) делит отрезок АВ в отношении .

Требуется найти координаты точки С (рисунок 3).

Рис. 3

Так как  ( на основе теоремы о пересечении отрезка параллельными прямыми) (1.2)(1.3)

Если разрешить уравнения (1.2) относительно Х и У получатся формулы (1.3). Если =1, то есть точкаС-середина АВ, и

; (1.4)

Замечание. Если точка С вне отрезка АВ - за концом отрезка, то - отрицательное число (рисунок 4).

Рис. 4

, т.к. направление отрезков АС и СВ - противоположны .

б) С - за началом отрезка (рисунок 5).и.

Рис. 5

§2 Векторы.

1. Основные понятия.

2. Линейные операции с векторами

3. Проекция вектора на ось

4. Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы.

5. Действия над векторами в координатной форме.

1.Основные понятия

Опр.1 Величины, которые полностью определяются своими

численными значениями, называются скалярными.

Опр. 2 Вектором называется направленный прямолинейный отрезок.

Обозначается или . Вектор считается заданным, если известны его длина и направление.

Опр.3 Число, равное длине вектора, называется его модулем или длиной вектора.

Обозначается или . Модуль может быть только положительным числом.

Векторы в пространстве свободны, т.е. начало его (точку приложения) можно поместить в любую точку пространства, при этом нужно сохранить длину и направление.

Опр.4 Вектор ВА называется противоположным Вектору АВ.

Опр 5 Вектор называется единичным (е), если длина его равна 1, а если его направление совпадает с направлением данного вектора, то он называется ортом вектора а.

Опр 6 Вектор называется нулевым, если совпадают координаты его

начальной и конечной точек.

Длина нулевого вектора равна нулю.

Опр 7 Векторы иназываютсяколлинеарными, если они лежат

на одной прямой или на параллельных прямых. .

Направления их могут быть одинаковыми или противоположными.

Опр. 8 Векторы иназываютсяравными, если они коллинеарные,

имеют одинаковую длину и направление().

Опр. 9 Векторы, лежащие в одной плоскости, называются

компланарными.