§4. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

4.1 Скалярное произведение, его свойства и вычисление

Опр.1Скалярным произведением векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначается скалярное произведение или

или =(4.1)

Рис. 1

OC=,OD=.

Если учесть, что в формуле (4.1) произведение равно проекции векторана ось вектора, получим:

.

Аналогично – есть проекцияна ось вектора, т.е.

.

Учитывая сказанное, получим 2-е определение скалярного произведения.

Опр.2 Скалярное произведение векторов равно произведению

модуля одного из них на проекцию на него же второго

вектора.

(4.2)

(определение скалярного произведения через проекции).

Формула (4.1) так же как и (4.2) часто используется при решении задач

Механический смысл скалярного произведения

В механике часто приходится вычислять работу, совершаемую переменной силой, если точка её приложения перемещается по прямой.

Если сила f перемещается по вектору (от начала к концу), то работа, производимая этой силой, равна скалярному произведению силыf на вектор :

. (4.3)

Свойства скалярного произведения

Относительно скалярного произведения имеют место следующие законы:

1⁰ (коммутативный или переместительный закон);

2⁰ (ассоциативный или

сочетательный закон);

3⁰ (дистрибутивный или

распределительный закон);

4⁰ ;

5⁰ , еслии обратно: если

Скалярное произведение в координатах

Если два вектора заданы в координатах и, то скалярное произведение их равно сумме произведений одноимённых координат:

. (4.4)

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов является равенство:

. (4.5)

Угол между векторами вычисляется по формуле:

. (4.6)

71

4.2 Векторное произведение векторов

Опр. 3 Векторным произведением векторов и называется

вектор , который удовлетворяет трём условиям:

1.Он перпендикулярен к перемножаемым векторам ;

2.Длина его (модуль) равна произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла между ними:

; (4.7)

Направлен он таким образом, что если посмотреть из его конца, то кратчайший поворот первого перемножаемого вектора ко второму должен быть виден против хода часовой стрелки.

Рис. 2

Обозначается векторное произведение:

или .

Геометрический смысл векторного произведения

Из определения векторного произведения видно, что модуль его численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, как на составляющих, т.е.

(рисунок 2).

Так как , то. (4.8)

Механический смысл векторного произведения

Рис. 19

Пусть заданы две точки О и М. Пусть сила приложена к т. М и равна вектору , а из точки О в т. М идёт вектор, (т.е.).

Тогда моментом силы f относительно точки называется векторное произведение векторови, т.е. вектор, равный:

, (4.9)

так как (рисунок 19).

Вектор (момент силы) перпендикулярен к векторами, имеет длину, равную площади параллелограмма, построенного на векторахи.

Если из точки опустить перпендикуляр на вектор, то- есть плечо силы, т.е. модуль момента равен произведению модуля силына плечо

(рисунок 19),

где OP - высота параллелограмма ,- длина основания.