Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

МатАн_ЛинАлг_080100 / Лекции_Математика_2_Дифференциальное исчисление

.pdf
Скачиваний:
51
Добавлен:
26.02.2016
Размер:
494.69 Кб
Скачать

Если f ′(x) < 0 при x (a,b) , то функция f (x) убывает на интервале

(a,b) .

Доказать самостоятельно.

2.3.2. Точки экстремума. Необходимое условие экстремума

Определения.

1) Точка x0 называется точкой максимума функции f (x) , если для всех точек x из некоторой окрестности точки x0 выполняется неравенство

f(x0 ) > f (x) (Рис. 2.3.3).

2)Точка x0 называется точкой минимума функции f (x) , если для

всех точек x из некоторой окрестности точки

f (x0 ) < f (x) (Рис. 2.3.4).

y

 

 

 

y

 

 

 

y = f (x)

 

 

 

f (x0 )

 

 

 

 

f (x)

 

 

0

x

x0

x

0

 

 

f (x0 ) > f (x)

 

 

x0 выполняется неравенство

y = f (x)

f (x) f (x0 )

x

x0

x

f (x0 ) < f (x)

РИС. 2.3.3

РИС. 2.3.4

Значение функции

f (x0 ) в точке максимума (минимума) называется мак-

симумом (минимумом) функции и обозначается max f (x) ( min f (x) ).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции f (x) , а значение функции в них называется экстремумом функции extr f (x) .

31

y

 

 

y = x3

0

x

РИС. 2.3.5

Теорема (необходимое условие экстремума)

Если x0 - точка экстремума дифференцируемой

функции f (x) , то f ′(x0 ) = 0 .

Замечание 1. Данное необходимое условие не является достаточным. То есть, из условия f ′(x0 ) = 0 не

следует,

что x0 - точка экстремума функции. Например,

функция

f (x) = x3 имеет производную f ′(x) = 3 x2 . При

x = 0, f ′(0) = 0 . Но точка x = 0 , как видно из графика функции f (x) (Рис. 2.3.5) не является точкой экстрему-

ма.

Замечание 2. Функция f (x) может принимать экстремальное значение в точках, где f ′(x) не существует (Рис. 2.3.6, Рис. 2.3.7).

y

y

y = f (x)

y = f (x)

0

x

x

0

x

2

x

1

 

 

 

f ′(x1 ) = ∞

 

 

f ′(x2 ) - не существует

 

 

РИС. 2.3.6

 

 

РИС. 2.3.7

 

Такие экстремальные точки называются точками острого экстремума

отличие от точек гладкого экстремума, где f ′(x) = 0 ).

 

 

Поэтому необходимое условие экстремума можно сформулировать так:

если x0

- точка экстремума функции

f (x) , то

f ′(x0 ) равна нулю или не суще-

ствует.

Определение. Точка x0 , в которой f ′(x0 ) равна нулю или не существу-

ет, называется критической точкой функции f (x) .

Итак, если x0 - точка экстремума, то x0 - критическая точка, но не наобо-

рот. Если x0 - критическая точка, то она не обязательно точка экстремума.

32

2.3.3. Достаточный признак существования экстремума

 

Теорема. Если x0 - критическая точка функции f (x)

и производная

f ′(x) при переходе аргумента через эту точку меняет знак,

то x0 - точка

экстремума функции f (x) .

 

Причем, если при переходе слева направо знак меняется с плюса на минус,

то x0 - точка максимума, если с минуса на плюс, то точка минимума.

2.3.3.1. Схема исследования функции на возрастание, убывание и экстре-

мумы

Задача.

Дана функция f (x) . Найти интервалы монотонности и экстремумы

функции.

Схема решения задачи:

1.Найти область определения Dy функции f (x) .

2.Найти f ′(x) , найти критические точки, решив уравнение f ′(x) = 0 и

выделив точки, где f ′(x) не существует.

3.Разбить область определения на интервалы критическими точками и точками разрыва и определить знак производной в каждом из них. Сделать вывод: по знаку производной определить интервалы монотонности и точки экстремума.

4.Найти экстремумы функции.

Пример. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции

y = x2 ex .

Решение.

1.Dy = (−∞ , ∞) .

2.y= 2x × ex - x2 × ex = x × (2 - x) × ex ,

y= 0 x × (2 - x) × ex = 0 x1 = 0, x2 = 2 - критические точки.

33

3.

 

x

(−∞, 0)

 

0

(0, 2)

 

2

(2, ∞)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f ′(x)

 

0

+

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

 

min

 

 

max

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На интервалах (−∞, 0), (2, ∞)

функция убывает, на интервале (0, 2) функ-

ция возрастает. Точки x1 = 0 - точка минимума,

x2 = 2 - точка максимума.

4. min f (x) = f (0) = 0 , max f (x) = f (2) =

4

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e2

 

 

2.3.3.2. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Экстремумы функции носят локальный характер, т.е. max f (x) , min f (x) -

это наибольшее и наименьшее значения функции в некоторой окрестности точки экстремума. Функция может иметь несколько максимумов и минимумов.

Рассмотрим глобальную задачу о нахождении наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке (замкнутом интервале).

Задача. Дана непрерывная на [a, b] функция f (x) . Требуется найти наибольшее M и наименьшее m значения функции f (x) на этом отрезке.

Решение. Из чертежа (Рис. 2.3.8) видно, что наибольшее и наименьшее значения функция принимает либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.

y

M

y = f (x)

x 2

0

а x1

b x

m

РИС. 2.3.8

Отсюда вытекает схема решения задачи:

1. Найти y, решить уравнение y′ = 0 , найти критические точки, лежащие

внутри отрезка [a, b] .

34

2.Найти значение функции в этих точках и на концах интервала.

3.Выделить среди этих значений наибольшее и наименьшее.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

y = x5 - 5x4 + 5x3 + 3 на отрезке [−1, 2] .

Решение.

1. y= 5x4 - 20x3 + 15x2 = 5x2 × (x2 - 4x + 3) ,

y= 0 5x2 × (x2 - 4x + 3) = 0 x1 = 0, x2 = 1, x3 = 3 ,

точку x3 = 3 не рассматриваем, т.к. 3 [−1, 2].

2. Находим: f (0) = 3, f (1) = 4, f (−1) = −8, f (2) = −5 .

3. Сравнивая полученные значения функции делаем вывод: наибольшее значение M = 4 = f (1) ,

наименьшее значение m = −8 = f (−1) .

2.3.4. Исследование функции на выпуклость, вогнутость, точки перегиба

1) График функции f (x) называется выпуклым на интервале (a,b) , если он лежит под касательной, проведенной к графику в любой точке интервала

(a,b) (Рис. 2.3.9).

2) График функции f (x) называется вогнутым на интервале (a,b) , если он лежит над касательной, проведенной к графику в любой точке интервала

(a,b) (Рис. 2.3.10).

35

y

y

y = f ( x)

y = f (x)

0 а

b

x

0

а

b

x

РИС. 2.3.9

РИС. 2.3.10

Теорема. (Достаточное условие выпуклости, вогнутости графика функ-

ции).

1)Если f ′′(x) < 0 на (a,b) , то график функции f (x) выпуклый на (a,b) ;

2)Если f ′′(x) > 0 на (a,b) , то график функции f (x) вогнутый на (a,b) .

2.3.4.1. Точки перегиба

Определение. Точка M (x0 , y0 ) , лежащая на графике функции, называет-

ся точкой перегиба, если она разделяет выпуклую и вогнутую части графика

(рис.6.).

Теорема 1 (необходимое условие перегиба).

Если M 0 (x0 , y0 ) - точка перегиба графика функции f (x) , то f ′′(x0 ) либо равна нулю, либо не существует.

Теорема 2 (достаточное условие перегиба)

Если f ′′(x0 ) = 0 или f ′′(x0 ) не существует и при переходе x через точку x0 вторая производная f ′′(x) меняет знак, то точка M 0 (x0 , y0 ) , y0 = f (x0 ) яв-

ляется точкой перегиба графика непрерывной функции f (x) .

2.3.4.2. Схема исследования графика функции на выпуклость, вогну-

тость, точки перегиба

Задача. Дана функция f (x) . Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба.

Схема решения задачи:

36

1. Найти область определения Dy функции f (x) .

2. Найти f ′(x), f ′′(x) , решить уравнение f ′′(x) = 0 и выделить точки, где

f ′′(x) не существует. Найти критические на перегиб точки.

3. Разбить область определения функции критическими точками и точками разрыва на интервалы и найти знак f ′′(x) в каждом интервале. Сделать вы-

вод: найти интервалы выпуклости, вогнутости.

4. Найти вторые координаты точек перегиба, записать эти точки.

Пример.

Найти интервалы выпуклости,

 

вогнутости и точки перегиба

графика функции y = x4 - 6x2 + 5 .

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Dy = (−∞, ∞) .

 

 

 

 

 

 

 

2. y= 4x3 - 12x , y′′ = 12x2 - 12

 

 

 

 

 

 

 

y′′ = 0 12 × (x2 - 1) = 0 x1 = -1, x2 = 1 - критические

на перегиб

точки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

(, -1)

 

-1

(-1, 1)

 

1

(1, ¥)

 

 

f ′′(x)

+

 

0

 

0

 

+

 

 

f (x)

вогнут.

т. перегиба

выпукл.

 

т. перегиба.

вогнут.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

График вогнутый на (, -1) , (1, ¥) , график выпуклый на (-1, 1).

4. f (−1) = 0, f (1) = 0,

M1 (−1, 0), M 2 (1, 0)

- точки перегиба.

 

 

2.4.Частные производные функции двух переменных. Градиент

Впрактике часто встречаются функциональные зависимости от нескольких переменных величин. Например, площадь S прямоугольника со сторонами x, y зависит от двух переменных S = x × y.

2.4.1. Функции двух переменных, область определения

В терминах переменных величин определение функции двух переменных можно сформулировать следующим образом:

Переменная z называется функцией двух независимых переменных x, y если каждой паре ( x, y ) значений этих переменных из некоторого заданно-

37

го множества пар D по определенному правилу ставится в соответствие некоторое действительное число z.

Обозначение функции двух переменных z = f ( x, y ).

Пара значений независимых переменных ( x, y ) определяет некоторую

точку плоскости XOY . Поэтому D − область определения функции двух переменных – это некоторое множество точек плоскости XOY . Обычно областью определения является часть плоскости XOY , ограниченная одной или несколь-

кими линиями.

Для геометрической интерпретации функции z = f ( x, y ) рассматрива-

ется система координат Oxyz. Каждой точке M ( x, y ) D ставится в соответ-

ствие точка пространства N ( x, y, f ( x, y )) .

Обычно графиком функции двух переменных является некоторая по-

верхность.

Поверхность является графиком тогда, когда каждая прямая, параллельная оси Oz пересекает поверхность на более, чем в одной точке.

z

 

N

 

z = f ( x, y )

0

y

x

D M ( x, y )

РИС. 2.4.1

2.4.2. Частные производные функции двух переменных

Если у функции двух переменных z = f ( x, y ) зафиксировать переменную y ( y = y0 ), то z станет функцией одной переменной z = f ( x, y0 ) .

38

Определение.

Производная функции z = f ( x, y )

по переменной x при

условии,

что

y

-

постоянная

величина,

называется

частной производной

 

f ( x, y )

 

 

 

 

 

z

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функции

по x и обозначается

;

 

; zx ( x, y); fx ( x, y ).

 

 

 

 

 

 

 

 

y

y

 

 

 

Аналогичным образом вводится понятие частной производной функции

z = f ( x, y ) по y.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Условное обозначение

;

 

 

 

; zy ( x, y );

f y ( x, y ).

 

 

 

 

 

 

y

y

 

 

 

 

 

 

Пример.

z = x2 + y2 + xy

z = 2x + y ,

z

= 2 y + x.

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

y

 

Аналогично можно рассматривать функции большего числа переменных.

2.4.3. Частные производные высших порядков

Частные производные

z и

z функции двух переменных z = f ( x, y )

 

x

y

также являются функциями двух переменных и их можно продифференцировать по x и по y. Тогда получаются 4 производных второго порядка.

z

=

2 z

 

 

 

 

x2

 

x

x

 

z = z

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

y

y

 

y2

Производные

= z′′

xx

= z¢¢

yy

2 z

xy

 

z

=

 

2 z

= z′′ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yx

yx

y

x

 

 

 

z

=

 

2 z

= z¢¢ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xy

xy

 

x

y

 

 

 

2 z

иyz называются смешанными.

Теорема. Если смешанные производные второго порядка непрерывны, то

они равны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z = exy ;

z = yexy ;

z

= xexy ;

 

 

 

 

 

 

x

 

 

y

 

 

 

 

2 z = y2exy ;

2 z

= x2 × exy ;

2 z

= exy + xyexy ;

2 z

= exy + xyexy .

y2

 

 

x2

 

 

 

 

xy

yx

 

 

 

 

 

 

39

 

 

Далее дифференцируя производные второго порядка получаются производные третьего порядка и т.д.

Разных производных n -го порядка будет (n + 1).

2.4.4. Производная функции по направлению

Рассмотрим функцию трех переменных u ( x, y, z ) . Возьмем в пространстве точку M и исходящий из нее луч . На луче выберем точку M1 . Обозначим

MM1 = .

M1

M

РИС. 2.4.2

Определение: Производной по направлению от функции

u = u ( x, y, z ) называется предел

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

= lim

u (M1 ) u (M )

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→0

 

 

 

u

 

 

 

 

Обозначение производной по направлению

.

 

 

 

 

 

 

Производная

u

 

- это скорость изменения функции u в точке M по

направлению l .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если направление совпадает с положительным направлением коорди-

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

натной оси

Ox , то

совпадают с частной производной

x

и т.п.

 

Пусть

направление

характеризуется направляющими

косинусами

cos α, cosβ,

cos γ . Тогда можно показать, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u = u cos α +

u

cosβ +

u cos γ .

 

 

(5)

 

 

 

 

 

 

 

l

x

 

 

y

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40