МатАн_ЛинАлг_080100 / Лекции_Математика_2_Дифференциальное исчисление

Причем, если при переходе слева направо знак меняется с плюса на минус,

то x0 - точка максимума, если с минуса на плюс, то точка минимума.

2.3.3.1. Схема исследования функции на возрастание, убывание и экстре-

мумы

Задача.

Дана функция f (x) . Найти интервалы монотонности и экстремумы

функции.

Схема решения задачи:

1.Найти область определения Dy функции f (x) .

2.Найти f ′(x) , найти критические точки, решив уравнение f ′(x) = 0 и

выделив точки, где f ′(x) не существует.

3.Разбить область определения на интервалы критическими точками и точками разрыва и определить знак производной в каждом из них. Сделать вывод: по знаку производной определить интервалы монотонности и точки экстремума.

4.Найти экстремумы функции.

Пример. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции

y = x2 e− x .

Решение.

1.Dy = (−∞ , ∞) .

2.y′ = 2x × e− x - x2 × e− x = x × (2 - x) × e− x ,

y′ = 0 x × (2 - x) × e− x = 0 x1 = 0, x2 = 2 - критические точки.

33

3.

2.3.3.2. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Экстремумы функции носят локальный характер, т.е. max f (x) , min f (x) -

это наибольшее и наименьшее значения функции в некоторой окрестности точки экстремума. Функция может иметь несколько максимумов и минимумов.

Рассмотрим глобальную задачу о нахождении наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке (замкнутом интервале).

Задача. Дана непрерывная на [a, b] функция f (x) . Требуется найти наибольшее M и наименьшее m значения функции f (x) на этом отрезке.

Решение. Из чертежа (Рис. 2.3.8) видно, что наибольшее и наименьшее значения функция принимает либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.

y

M

y = f (x)

x 2

m

РИС. 2.3.8

Отсюда вытекает схема решения задачи:

1. Найти y′ , решить уравнение y′ = 0 , найти критические точки, лежащие

внутри отрезка [a, b] .

34

2.Найти значение функции в этих точках и на концах интервала.

3.Выделить среди этих значений наибольшее и наименьшее.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

y = x5 - 5x4 + 5x3 + 3 на отрезке [−1, 2] .

Решение.

1. y′ = 5x4 - 20x3 + 15x2 = 5x2 × (x2 - 4x + 3) ,

y′ = 0 5x2 × (x2 - 4x + 3) = 0 x1 = 0, x2 = 1, x3 = 3 ,

точку x3 = 3 не рассматриваем, т.к. 3 [−1, 2].

2. Находим: f (0) = 3, f (1) = 4, f (−1) = −8, f (2) = −5 .

3. Сравнивая полученные значения функции делаем вывод: наибольшее значение M = 4 = f (1) ,

наименьшее значение m = −8 = f (−1) .

2.3.4. Исследование функции на выпуклость, вогнутость, точки перегиба

1) График функции f (x) называется выпуклым на интервале (a,b) , если он лежит под касательной, проведенной к графику в любой точке интервала

(a,b) (Рис. 2.3.9).

2) График функции f (x) называется вогнутым на интервале (a,b) , если он лежит над касательной, проведенной к графику в любой точке интервала

(a,b) (Рис. 2.3.10).

35

Теорема. (Достаточное условие выпуклости, вогнутости графика функ-

ции).

1)Если f ′′(x) < 0 на (a,b) , то график функции f (x) выпуклый на (a,b) ;

2)Если f ′′(x) > 0 на (a,b) , то график функции f (x) вогнутый на (a,b) .

2.3.4.1. Точки перегиба

Определение. Точка M (x0 , y0 ) , лежащая на графике функции, называет-

ся точкой перегиба, если она разделяет выпуклую и вогнутую части графика

(рис.6.).

Теорема 1 (необходимое условие перегиба).

Если M 0 (x0 , y0 ) - точка перегиба графика функции f (x) , то f ′′(x0 ) либо равна нулю, либо не существует.

Теорема 2 (достаточное условие перегиба)

Если f ′′(x0 ) = 0 или f ′′(x0 ) не существует и при переходе x через точку x0 вторая производная f ′′(x) меняет знак, то точка M 0 (x0 , y0 ) , y0 = f (x0 ) яв-

ляется точкой перегиба графика непрерывной функции f (x) .

2.3.4.2. Схема исследования графика функции на выпуклость, вогну-

тость, точки перегиба

Задача. Дана функция f (x) . Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба.

Схема решения задачи:

36

1. Найти область определения Dy функции f (x) .

2. Найти f ′(x), f ′′(x) , решить уравнение f ′′(x) = 0 и выделить точки, где

f ′′(x) не существует. Найти критические на перегиб точки.

3. Разбить область определения функции критическими точками и точками разрыва на интервалы и найти знак f ′′(x) в каждом интервале. Сделать вы-

вод: найти интервалы выпуклости, вогнутости.

4. Найти вторые координаты точек перегиба, записать эти точки.

2.4.Частные производные функции двух переменных. Градиент

Впрактике часто встречаются функциональные зависимости от нескольких переменных величин. Например, площадь S прямоугольника со сторонами x, y зависит от двух переменных S = x × y.

2.4.1. Функции двух переменных, область определения

В терминах переменных величин определение функции двух переменных можно сформулировать следующим образом:

Переменная z называется функцией двух независимых переменных x, y если каждой паре ( x, y ) значений этих переменных из некоторого заданно-

37

го множества пар D по определенному правилу ставится в соответствие некоторое действительное число z.

Обозначение функции двух переменных z = f ( x, y ).

Пара значений независимых переменных ( x, y ) определяет некоторую

точку плоскости XOY . Поэтому D − область определения функции двух переменных – это некоторое множество точек плоскости XOY . Обычно областью определения является часть плоскости XOY , ограниченная одной или несколь-

кими линиями.

Для геометрической интерпретации функции z = f ( x, y ) рассматрива-

ется система координат Oxyz. Каждой точке M ( x, y ) D ставится в соответ-

ствие точка пространства N ( x, y, f ( x, y )) .

Обычно графиком функции двух переменных является некоторая по-

верхность.

Поверхность является графиком тогда, когда каждая прямая, параллельная оси Oz пересекает поверхность на более, чем в одной точке.

z

РИС. 2.4.1

2.4.2. Частные производные функции двух переменных

Если у функции двух переменных z = f ( x, y ) зафиксировать переменную y ( y = y0 ), то z станет функцией одной переменной z = f ( x, y0 ) .

38

Далее дифференцируя производные второго порядка получаются производные третьего порядка и т.д.

Разных производных n -го порядка будет (n + 1).

2.4.4. Производная функции по направлению

Рассмотрим функцию трех переменных u ( x, y, z ) . Возьмем в пространстве точку M и исходящий из нее луч ℓ. На луче ℓ выберем точку M1 . Обозначим

MM1 = ℓ.

ℓ

M1

ℓ

M

РИС. 2.4.2

Определение: Производной по направлению ℓ от функции