МатАн_ЛинАлг_080100 / Лекции_Математика_2_Дифференциальное исчисление

1.3.3. Функция непрерывная на интервале

Функция называется непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Тема 2. Дифференциальное исчисление

2.1. Основы дифференциального исчисления

Производная – основное понятие высшей математики, характеризующее скорость изменения функции. Раздел математики, в котором изучаются производные и их применение к исследованию функций, называется дифференциальным исчислением. Основные положения его были сформулированы И. Ньютоном и Г. Лейбницем. С открытием дифференциального исчисления сильно расширилась область применения математики, началась новая эпоха ее развития.

Исторически понятие производной возникло из задач естествознания и математики, приводящих к вычислению пределов одного и того же вида – скорость прямолинейного движения точки и построение касательной к кривой.

Основные понятия дифференциального исчисления изучаются в средней школе, и это будет учитываться при изложении материала. Дифференциальное исчисление излагается в училище в большом объеме на более высоком уровне.

2.2.Учебные вопросы лекции:

2.2.1.Определение производной

2.2.1.1.Определение и вычисление производной.

Рассмотрим функцию y = f (x) . Фиксируем значение x.

Производной функции y = f (x) в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Обозначение производной: y′, y′ , f ′(x), dy .

x

dx

Таким образом:

21

y′ = lim y

x→0 x

Замечание. Производная в фиксированной точке – это число, если x D( y) – переменная величина, то производная y′ – это функция от x .

Операция отыскания производной называется дифференцированием

функции.

Пример. y = x2 . Найти y′

Решение.

1)f (x + x) = (x + x)2 = x2 + 2x × x + ( x)2 ,

2)y = x2 + 2x × x + ( x)2 - x2 = 2x × x + ( x)2 ,

3)y = 2x + x,

x

4)y′ = lim (2x + x) = 2x.

x→0

Итак, y = x2 y¢ = 2x.

Значение производной в фиксированной точке x0 обозначается:

Тогда s′(t) = v – скорость движения.

2.2.1.3. Геометрический смысл производной

22

Так как tgα называется угловым коэффициентом касательной, то получа-

ем геометрический смысл производной функции y = f (x) в точке x0 :

f ′(x0 ) = kкас – угловой коэффициент касательной к графику функции в точке M 0 .

Используя уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (x0 , y0 ) с угло-

вым коэффициентом

y - y0 = k (x - x0 )

получим уравнение касательной

y − y0 = f ′(x0 )(x − x0 ) .

2.2.2.Правила дифференцирования. Таблица производных

2.2.2.1.Производная суммы, произведения и частного

Из школьного курса математики известны следующие формулы

1)C′ = 0, где C - постоянная;

2)(u + v)′ = u′ ± v′

3)(u × v)′ = u′v + uv′

4)u ′ = u′v − uv′v v2

где u = u(x), v = v(x) – дифференцируемые функции.

Все формулы выводятся по шагам.

23

2.2.2.3. Производная степенной и показательной функций.

а) Степенная функция y = xn

y = xn y′ = nxn−1

б) Показательная функция y = a x .

y = a x y′ = ax ln a

Частный случай

y = ex y′ = ex

2.2.2.4. Производные обратных тригонометрических функций.

Производные этих функций имеют вид:

2.2.3. Производная сложной функции.

Определение:

Функция y называется сложной функцией переменной x , если

y = f (u ), u = g ( x) y = f g ( x) ,

а u называется промежуточной переменной. Примеры:

1)y = u2 , u = tg x y = tg2 x;

2)y = ln u, u = sin x y = ln sin x.

Функции y = f (u ), u = g ( x) называются звеньями сложной функции. Го-

ворят, что сложная функция состоит из двух звеньев. Сложная функция может состоять из большего числа звеньев. Например, функция

25

y = f g (j( x)) состоит из трех звеньев.

Например:

y = u2 , u = cos v, v = ln x y = cos2 (ln x)

При дифференцировании сложной функции важно уметь представить ее в виде цепочки звеньев.

При решении задач промежуточные переменные стараются не вводить.

2.2.4.Производные неявных функций

2.2.4.1.Неявные функции одной и двух переменных

Пусть значения двух переменных x и y связаны между собой уравнени-

ем

Такой способ задания зависимости между x и y называется неявной функци-

ей

26

Интересно было бы получить формулы дифференцирования неявной функции, которые можно было бы применять, не выражая y из уравнения.

Пусть уравнение F ( x, y ) = 0 определяет неявную функцию y = y ( x) . Для отыскания производной y′(x) можно поступить следующим образом:

1)Найдем производную функции F ( x, y ) , помня, что y = y ( x) .

2)Из полученного равенства найдем выражение производной y′(x) .

Пример 5.

Найти производную неявной функции x2 + y2 = 4 в точке M (2, 2 ) .

Решение. Чтобы найти функцию F ( x, y ) перенесем число 4 в левую

часть уравнения. Тогда x2 + y2 − 4 = 0.

Найдем производные обеих частей равенства

2x + 2 y × y′ = 0 .

Отсюда найдем

y′ = − x .

Производная от первой производной ( y′)′ называется производной вто-

рого порядка (второй производной) и обозначается

2

y′′, f ′′(x), d y , d x2

то есть y′′ = ( y′)′ .

27

Аналогично, производная третьего порядка y′′′ = ( y′′)′ обозначается так-

3

же f ′′′(x), d y . d x3

В общем случае, производная n -го порядка – это производная от производной (n − 1) -го порядка

y(n) = ( y(n−1) )′ .

Механический смысл второй производной. Если функция s = s (t) –

уравнение прямолинейного движения точки, а s′(t) = v(t) – скорость движения,

то s′′(t) – это скорость изменения скорости, то есть ускорение a (t) . Таким об-

Замечания:

28

1. В формулировке теоремы условие x → x0 можно заменить на условие

x→ ∞ .

2.Правило Лопиталя можно применить несколько раз.

3.Утверждение теоремы остается справедливым, если в условии выполняется равенство

2.3. Приложение производной для исследования функций

При решении многих задач техники и экономики возникает проблема выбора оптимального варианта среди множества возможных решений. Например, требуется найти решение экономической задачи, обеспечивающее наибольшую прибыль или наименьшие издержки производства. В первом случае нам нужно найти точку, в которой достигается наибольшее значение функции прибыли, во втором – наименьшее значение функции издержек. Простейшие задачи оптимизации сводятся к задачам исследования функции одной переменной на экстремум. Поэтому данная тема имеет важное прикладное значение.

На данной лекции мы познакомимся с понятиями возрастающей и убывающей функций, точки максимума и точки минимума, рассмотрим методы исследования на возрастание, убывание и точки экстремума.

Л

2 Знак = означает использование правила Лопиталя.

29