080100Экономика(МатАнализ и ЛинАлгебра) / Лекции_Линейная_алгебра

3.2. Плоскость и прямая в пространстве. Основные задачи аналитической геометрии

3.2.1.Уравнения плоскости и прямой в пространстве

3.2.1.1.Уравнение плоскости

Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат в пространстве.

Записав условие перпендикулярности векторов, получим уравнение плоскости

A(x − x0 )+ B (y − y0 )+ C (z − z0 )= 0 ,

которое называется уравнением плоскости, проходящей через точку M0 (x0 , y0 , z0 ) с данным нормальным вектором N =(A, B, C).

2) Так же, как для прямой на плоскости можно записать общее уравне-

ние плоскости:

Ax + By +Cz + D =0, (A2 + B2 + C2 ≠ 0).

41

3.2.1.2. Уравнение прямой в пространстве

1. Любую прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей, если они не параллельны. Поэтому система двух уравнений

A1x + B1 y + C1z + D1 = 0A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

задает прямую в пространстве и называется общими уравнениями прямой в пространстве.

2. При решении задач на прямую в пространстве чаще используют другой

Отметим основные свойства уравнений прямой в пространстве:

1)количество уравнений – 2;

2)уравнения линейные, т.е. содержат переменные в первой степени с числовыми коэффициентами.

3.2.2. Основные задачи аналитической геометрии на плоскости

Рассмотрим основные задачи, связанные с уравнением прямой на плоскости в 2 .

1) Проверить принадлежности точки M0 (x0 , y0 ) прямой

Ax + By +C =0.

Если координаты точки M 0 удовлетворяют уравнению прямой

Ax0 + By0 + C = 0

42

то точка лежит на прямой.

2) Найти точку пересечения прямых

A1x + B1 y + C = 0, A2 x + B2 y + C2 = 0

Для этого решаем систему линейных уравнений

A1x + B1 y = −C1A2 x + B2 y = −C2

Если эта система имеет единственное решение (x0 , y0 ), то точка

M (x0 , y0 ) является точкой пересечения прямых.

3) Найти угол ϕ между прямыми. При вычислении мы можем найти острый угол ϕ или дополнительный к нему тупой угол π − ϕ.

ϕ

а так как tg α1 = k1, tg α2 = k2 , то

tg ϕ = k2 − k1

1 + k1k2

б) Прямые имеют направляющие векторы S1 =(m1,n1 ), S2 =(m2 ,n2 ).

Тогда ϕ=(S1, S2 ), а значит

43

cosϕ= cos(S1, S2 )= S1 S2

S1 S2

или

в) Прямые имеют нормальные векторы N1 =(A1, B1 ), N2 =(A2 , B2 ).

Тогда ϕ=(N1, N2 ), а значит

cosϕ= cos(N1, N2 )= N1 N2

N1 N2

или

4) Условие параллельности двух прямых. Прямые параллельны l1 l2

в) ϕ = 0, tgϕ = 0 k1 = k2 .

5) Условие перпендикулярности двух прямых.

Прямые перпендикулярны l1 l2

а) S1 S2 m1m2 + n1n2 = 0 б) N1 N2 A1 A2 + B1B2 = 0

координаты которых удовлетворяют уравнению второй степени

44

Изучим свойства, построим графики линий второго порядка.

3.3.1. Окружность

Окружность – линия второго порядка, каноническое уравнение которой имеет вид

x2 + y2 = R2 .

Окружность – хорошо известная из школы кривая, которая определялась как множество точек на плоскости, равноудаленных от точки, называемой центром окружности. Расстояние от центра до точек окружности называется ради-

усом.

Для окружности, имеющей уравнение

x2 + y2 = R2

центр находится в точке O (0,0), а радиус – R .

Если центр окружности находится в точке M (x0 , y0 ) , а радиус R , то уравнение окружности имеет вид (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = R2 .

3.3.2. Эллипс

Эллипс – линия второго порядка, каноническое уравнение которой имеет

вид

45

Основное свойство эллипса (фокальное свойство): для любой точки эллипса r1 + r2 = 2a (сумма фокальных расстояний равна большой оси).

Замечание. Если b ≥ a , то фокусы лежат на оси 0y и основное свойство

примет вид: r1 + r2 = 2b .

Эксцентриситетом эллипса называется число ε = ac . Для эллипса ε <1 (для окружности a =b c = 0 ε = 0 ).

3.3.3. Гипербола

Гипербола – это линия второго порядка, каноническое уравнение которой имеет вид

РИС. 3.3.2

Основное (фокальное) свойство гиперболы: r1 − r2 = 2a .

Эксцентриситет гиперболы – это число ε= ac >1.

3.3.4. Парабола

Парабола – это линия второго порядка, каноническое уравнение которой имеет вид

y2 = 2 px . 46

РИС. 3.3.3

Основное свойство параболы: расстояние от любой точки M параболы до фокуса и до директрисы одинаковы: MF = MN r = d .

Эксцентриситет параболы равен единице: ε =1.

47

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Математика: Учебник для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления (060000) / Б.Т. Кузнецов – 2-е изд., перераб. и доп. – М: ЮНИТИ-ДАНА, 2012. – 719 с. – (Серия «Высшее профессиональное образование: Экономика и управление»).

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

а) основная литература

Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [Н.Ш. Кремер и др.]; под ред. проф. H . Ш. Кремера. – 3-е изд. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012. – 479 с. – (Серия «Золотой фонд российских учебников»)

Кузнецов Б.Т. Математика : Учебник для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления (060000) / Б.Т. Кузнецов. – 2-е изд., перераб. и доп . – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012. – 719 с. – (Серия «Высшее профессиональное образование: Экономика и управление»).

Бурмистрова Е.Б. Математический анализ и дифференциальные уравнения: учеб. / Е.Б. Бурмистрова, С.Г. Лобанов. – М.: Изд. Центр "Академия", 2010.

– 368 с.

Бурмистрова Е.Б. Линейная алгебра, дифференциальное исчисление функций одной переменной: учеб. / Е.Б. Бурмистрова, С.Г. Лобанов. - М.: Изд. Центр "Академия", 2010. - 336 с.

Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И. Ермакова. – ИНФРА-М, 2007. – 575 с. (Серия «Высшее образование»).

Протасов Ю. М. Математический анализ. Учебное пособие. – М.: Издательство «ФЛИНТА», 2012. – 165 с. – Университетская библиотека онлайн.

Геворкян П. С. Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. – М.: Физматлит, 2011. – 207 с. – Университетская библиотека онлайн.

48

б) дополнительная литература

Математика для экономистов: электронный учебник / С.И. Макаров. - М.: КНОРУС, 2009. – Электронный опт. диск.

Математика для экономистов: уч. пособ. / С.И. Макаров. – 2-е изд., стер. –

М.: КНОРУС, 2008. – 264 с.

Красс М.С. Математика для экономического бакалавриата: учеб. / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. – М.: ИНФРА-М, 2012. – 472 с.

Математика для экономистов. Задачник: уч.-практ. пособ. / под ред. С.И. Макарова, М.В. Мищенко. – М.: КНОРУС, 2008. – 360 с.

Математическое моделирование в экономике: учебное пособие/В.И. Мажукин, О.Н. Королева – М.: Изд-во «Флинта», Московский гуманитарный уни-

верситет, 2004. – 232 с.

Шапкин А. С. Шапкин В. А. Математические методы и модели исследования операций. Учебник. – 5-е изд. – М.: Дашков и Ко, 2012. – 397 с. – Университетская библиотека онлайн.

Баврин И.И. Высшая математика. – М. AKADEMA, 2004. – 611с. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.

Высшая школа, 2003. – 479 с.

Шипачев В.С. Высшая математика. – М. Высшая школа, 2005. – 479с. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. – М. Высшая школа,

2004. – 304с.

Математическое программирование в примерах и задачах. /И.Л. Акулич. – М.: Высшая школа, 1986. – 319 с.

Задачи и модели исследования операций: Учебное пособие в 3-х частях/ С.И. Жогаль, И.В. Максимей – Гомель: БелГУТ, 1999. Ч.1 Аналитические модели исследования операций. – 110 с.

Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие для студентов втузов. В двух частях. Часть I. – 4-е изд.испр. и доп. – М.: Высш. шк., 1986. – 304 с., ил.

49