080100Экономика(МатАнализ и ЛинАлгебра) / Лекции_Линейная_алгебра

этом базисе, а представление (9) – разложением вектора a по базису.

В качестве примера рассмотрим декартову прямоугольную систему ко-

ординат в пространстве 3 . Она образована тремя взаимно перпендикулярными осями, имеющими общее начало координат O: Ox – ось абсцисс, Oy –

ось ординат, Oz – ось аппликат (оси координат).

РИС. 2.1.13

Представим вектор OM в виде суммы векторов, лежащих на осях координат:

OM =OM1 + M1M =OA + OB + OC = xi + yj + zk .

Тогда

Записывают также OM =(x, y, z).

Частный случай, в 2 имеем a = (x, y) = x i + y j.

21

2.1.3. Линейные операции над векторами в координатах. Длина и направляющие косинусы вектора

Рассмотрим векторы, заданные в координатах.

a = (x1, y1, z1), b = (x2 , y2 , z2 ).

Решим ряд задач, связанных с этими векторами в координатах, учитывая свойства проекции вектора.

1) Модулем (длиной) вектора a называется положительное число

a = x12 + y12 + z12 .

Эта формула вытекает из свойства диагонали прямоугольного параллелепипеда.

2) Условие равенства векторов:

a =b x1 = x2 , y1 = y2 , z1 = z2.

3) Линейные операции над векторами:

a +b =(x1 + x2 , y1 + y1 + y2 , z1 + z2 ),

λa = (λx1, λy1, λz1).

a −b = (x1 − x2 , y1 − y2 , z1 − z2 )

4)Направляющими косинусами вектора a называются косинусы углов α, β, γ, которые образует вектор a с осями координат Ox, Oy,Oz соот-

ветственно:

cosα = xa1 , cosβ = ya1 , cos γ = za1 .

Вектор a0 =(cosα, cosβ, cos γ) - единичный вектор, называемый ортом

вектора a.

5) Условие коллинеарности векторов a, b :

6)Координаты вектора AB по известным координатам начала A(xA , yA , zA ) и конца B(xB , yB , zB ) вектора:

AB =(1, − 2, 0) 2AB = (2, − 4, 0), AC =(−3, −1, − 2) 3AC (−9,−3,−6),

2AB −3AC = (11, −1, 6).

2.1.3.1. Задача о делении отрезка в данном отношении.

Даны точки A(xA , yA , zA ) и B(xB , yB , zB ).

Найти координаты точки M (x0 , y0 , z0 ), которая делит отрезок AB в от-

ношении λ, то есть

AMMB =λ.

A M B

Решение. Векторы

AM = (x0 − xA , y0 − yA , z0 − zA ), MB = (xB − x0 , yB − y0 , zB − z0 ).

коллинеарны, причем AM = λMB. В силу условия коллинеарности имеем

Откуда,

x0 − xA = λ(xB − x0 ) x0 + λx0 = xA + λxB x0 = xA1++λλxB .

Аналогично находятся y0 , z0.

Итак,

23

2.2.Произведения векторов

2.2.1.Скалярное произведение векторов

2.2.1.1.Определение

Скалярным произведением a b двух векторов a и b называется чис-

ло, равное произведению модулей векторов на косинус угла (a,b) между ними

a b = a b cos(a,b) .

Обозначается скалярное произведение также (a,b) , ab .

2)a b =b a ;

3)(λ a)b =λ(a b );

4)(a + b )c = a c + b c ;

5) a a = a a cos0 = a 2 , пишут также a2 = a 2 и называют скалярным

квадратом вектора;

6) скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны

ab = 0 a b .

24

Действительно:

а) если a b , то (a,b) =90° cos(a,b) = 0 , следовательно

ab = ab cos(a,b) = 0;

б) если ab = 0 , то, учитывая, что ab = ab cos(a,b) и a ≠ 0 , b ≠ 0, полу-

чим cos(a,b) = 0 . Из этого следует, что (a,b) =±90° a b .

2.2.1.3. Выражение скалярного произведения в координатах

Получим выражение скалярного произведения векторов в координа-

тах

Пусть a = (x1, y1, z1) , b =(x2 , y2 , z2 ).

Учитывая свойства 5 и 6 скалярного произведения, составим таблицу ска-

лярных произведений единичных векторов i , j, k.

Отсюда имеем

ab =(x1i + y1 j + z1k )(x2i + y2 j + z2k ) =

= x1x2ii + y1x2 ji + z1x2ki + x1 y2ij + y1 y2 j 2 + z1 y2kj + +x1z2ik + y1z2 jk + z1z2k 2 = x1x2 + y1 y2 + z1z2 .

Итак, получим выражение скалярного произведения в координатах

ab = x1x2 + y1 y2 + z1z2 .

Пример 15. Дано: a =(1,0,−2) , b = (−1,1,3) .

Найти: ab , a2 , a (a − 2b) .

Решение.

ab =1 (−1) + 0 1 + (−2) 3 = −7 ; a2 = a 2 =12 + (−2)2 =5;

a(a − 2b) = a a − 2ab = a2 − 2ab =5 +14 =19 .

25

2.2.1.4. Приложения скалярного произведения

Из определения и свойств скалярного произведения вытекают следующие приложения скалярного произведения.

Если вектора a, b перпендикулярны ( a b ), то по свойству 6 имеем, что ab = 0 . Расписывая скалярное произведение в координатах, получим

x1x2 + y1 y2 + z1z2 = 0 .

2.2.2.Векторное произведение двух векторов

2.2.2.1.Определения:

Тройка некомпланарных векторов a , b , c , приведенных к общему началу, называется правой, если из конца вектора c видно, что кратчайший пово-

рот от вектора a к вектору b происходит против часовой стрелки (Рис. 2.2.2).

Пример правой тройки: орты i , j , k (Рис. 2.2.3).

по часовой стрелке (Рис. 2.2.4).

26

Стрелки показывают кратчайшее движение против часовой стрелки. Отсюда имеем

a ×b =(x1i + y1 j + z1k )×(x2i + y2 j + z2k )=

= x1x2i ×i + y1x2 j ×i + z1x2k ×i + x1 y2i × j + y1 y2 j × j + +z1 y2k × j + x1z2i ×k + y1z2 j ×k + z1z2k ×k = −y1x2k + +z1x2 j + x1 y2k − z1 y2i − x1z2 j + y1z2i =(y1z2 − z1 y2 )i −

−(x1z2 − z1x2 ) j +(x1 y2 − y1x2 )k .

Таким образом, имеем,

Или, учитывая свойство разложения определителя по элементам строки, можно записать

a ×(a − 2b )= a ×a − 2a ×b = 0 − 2a ×b =(−2,14,−4).

28

2.2.2.4. Приложения векторного произведения

1. Площадь треугольника ABC

Даны векторы a , b .

Найти такой вектор c , чтобы c a , c b .

В силу определения векторного произведения в качестве вектора c мож-

но взять вектор c = a ×b .

4. Угол между векторами a и b

sin (a,b )= aa×bb .

2.3.Комплексные числа

2.3.1.Комплексные числа, их изображение на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа

Введение комплексных чисел связано с развитием алгебры. Они возникли

всвязи с решением кубических уравнений и долгое время не находили приложений. Поэтому появились названия «мнимая единица», мнимое число» и т.п.

29

В настоящее время комплексные числа нашли широкое применение во многих науках.

2.3.1.1. Определения

Комплексным числом называется выражение z = x +iy , где x, y – дей-

ствительные числа, а i – новое число, обладающее свойством i2 = −1 и называ-

емое мнимой единицей. Число x называется действительной частью, y –

мнимой частью комплексного числа z . Они обозначаются x = Re z , y =Im z .

Множество комплексных чисел обозначается буквой .

Выражение z = x +iy называется алгебраической формой записи ком-

плексного числа. В дальнейшем мы познакомимся и с другими формами записи.

Два комплексных числа z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 называются равными,

Обычные действительные числа можно рассматривать как частный случай комплексных чисел, у которых мнимая часть равна нулю Im z = 0 . Все точки, изображающие действительные числа, будут лежать на оси Ox . Поэтому ось Ox называют действительной осью.

30