Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

080100Экономика(МатАнализ и ЛинАлгебра) / Лекции_Линейная_алгебра

.pdf
Скачиваний:
33
Добавлен:
26.02.2016
Размер:
516.27 Кб
Скачать

взятые в определенном порядке.

 

Если e1, e2 , e3

– базис в пространстве и

 

 

a = a1e1 + a2 e2 + a3 e3 ,

(9)

то числа a1, a2 , a3

называются компонентами или координатами вектора a в

этом базисе, а представление (9) – разложением вектора a по базису.

В качестве примера рассмотрим декартову прямоугольную систему ко-

ординат в пространстве 3 . Она образована тремя взаимно перпендикулярными осями, имеющими общее начало координат O: Ox – ось абсцисс, Oy

ось ординат, Oz – ось аппликат (оси координат).

Любая точка в

3 имеет три координаты M (x , y

0

, z

0

).

 

 

0

 

 

Тройка ортов i , j, k образует базис в пространстве

 

3.

Векторы i , j, k

линейно независимые.

 

 

 

 

Рассмотрим вектор OM в 3,

где M (x, y, z) конец вектора

 

z

 

 

 

 

 

 

z

C

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

0

B y

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

x

M1

 

РИС. 2.1.13

Представим вектор OM в виде суммы векторов, лежащих на осях координат:

OM =OM1 + M1M =OA + OB + OC = xi + yj + zk .

Тогда

OM = x i + y j + z k

(10)

 

 

Записывают также OM =(x, y, z).

Частный случай, в 2 имеем a = (x, y) = x i + y j.

21

2.1.3. Линейные операции над векторами в координатах. Длина и направляющие косинусы вектора

Рассмотрим векторы, заданные в координатах.

a = (x1, y1, z1), b = (x2 , y2 , z2 ).

Решим ряд задач, связанных с этими векторами в координатах, учитывая свойства проекции вектора.

1) Модулем (длиной) вектора a называется положительное число

a = x12 + y12 + z12 .

Эта формула вытекает из свойства диагонали прямоугольного параллелепипеда.

2) Условие равенства векторов:

a =b x1 = x2 , y1 = y2 , z1 = z2.

3) Линейные операции над векторами:

a +b =(x1 + x2 , y1 + y1 + y2 , z1 + z2 ),

λa = (λx1, λy1, λz1).

a b = (x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )

4)Направляющими косинусами вектора a называются косинусы углов α, β, γ, которые образует вектор a с осями координат Ox, Oy,Oz соот-

ветственно:

cosα = xa1 , cosβ = ya1 , cos γ = za1 .

Вектор a0 =(cosα, cosβ, cos γ) - единичный вектор, называемый ортом

вектора a.

5) Условие коллинеарности векторов a, b :

a b

x1

=

y1

=

z1

= λ a = λb.

x

 

 

 

 

y

2

 

z

2

 

2

 

 

 

 

 

6)Координаты вектора AB по известным координатам начала A(xA , yA , zA ) и конца B(xB , yB , zB ) вектора:

Пример 13.

AB =(xB xA , yB yA , zB zA )

Даны точки:

 

A(1,1,1), B(2, 1,1), C(2, 0, 1).

Найти вектор

2AB 3AC.

Решение.

 

 

22

AB =(1, 2, 0) 2AB = (2, 4, 0), AC =(3, 1, 2) 3AC (9,3,6),

2AB 3AC = (11, 1, 6).

2.1.3.1. Задача о делении отрезка в данном отношении.

Даны точки A(xA , yA , zA ) и B(xB , yB , zB ).

Найти координаты точки M (x0 , y0 , z0 ), которая делит отрезок AB в от-

ношении λ, то есть

AMMB .

A M B

Решение. Векторы

AM = (x0 xA , y0 yA , z0 zA ), MB = (xB x0 , yB y0 , zB z0 ).

коллинеарны, причем AM = λMB. В силу условия коллинеарности имеем

x0 xA

=

y0 yA

=

z0 zA

= λ.

 

 

 

x

B

x

 

y

B

y

 

z

B

z

0

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

Откуда,

x0 xA = λ(xB x0 ) x0 + λx0 = xA + λxB x0 = xA1++λλxB .

Аналогично находятся y0 , z0.

Итак,

 

x =

xA + λxB

,

y =

yA + λyB

 

,

z

0

=

zA + λzB

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

+ λ

0

1

+ λ

 

 

 

 

 

1 + λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Частный случай: λ =1,

точка M (x0 , y0 , z0 ) делит отрезок AB пополам:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x =

xA + xB

,

y =

yA + yB

,

 

z

0

=

zA + zB

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

2

 

 

0

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23

2.2.Произведения векторов

2.2.1.Скалярное произведение векторов

2.2.1.1.Определение

Скалярным произведением a b двух векторов a и b называется чис-

ло, равное произведению модулей векторов на косинус угла (a,b) между ними

a b = a b cos(a,b) .

Обозначается скалярное произведение также (a,b) , ab .

 

 

 

 

 

Пример 14.

 

a

 

= 2,

 

b

 

=3,

(a,b )= 60°.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти скалярное произведение a b .

 

 

 

 

 

Решение. ab = 2 3 cos60° = 2 3 1 = 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2.2.1.2. Свойства скалярного произведения

 

 

 

 

 

1) Учитывая

 

(см.

 

Рис.

2.2.1), что

b

 

 

b

 

cos(a,b )= Прab , то

 

a b =

 

a

 

Прab .

Аналогично,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Прab

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a b =

 

b

 

Прb a;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.2.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)a b =b a ;

3)(λ a)b (a b );

4)(a + b )c = a c + b c ;

5) a a = a a cos0 = a 2 , пишут также a2 = a 2 и называют скалярным

квадратом вектора;

6) скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны

ab = 0 a b .

24

Действительно:

а) если a b , то (a,b) =90° cos(a,b) = 0 , следовательно

ab = ab cos(a,b) = 0;

б) если ab = 0 , то, учитывая, что ab = ab cos(a,b) и a 0 , b 0, полу-

чим cos(a,b) = 0 . Из этого следует, что (a,b) 90° a b .

2.2.1.3. Выражение скалярного произведения в координатах

Получим выражение скалярного произведения векторов в координа-

тах

Пусть a = (x1, y1, z1) , b =(x2 , y2 , z2 ).

Учитывая свойства 5 и 6 скалярного произведения, составим таблицу ска-

лярных произведений единичных векторов i , j, k.

 

i

j

k

i

1

0

0

 

 

 

 

j

0

1

0

 

 

 

 

k

0

0

1

 

 

 

 

Отсюда имеем

ab =(x1i + y1 j + z1k )(x2i + y2 j + z2k ) =

= x1x2ii + y1x2 ji + z1x2ki + x1 y2ij + y1 y2 j 2 + z1 y2kj + +x1z2ik + y1z2 jk + z1z2k 2 = x1x2 + y1 y2 + z1z2 .

Итак, получим выражение скалярного произведения в координатах

ab = x1x2 + y1 y2 + z1z2 .

Пример 15. Дано: a =(1,0,2) , b = (1,1,3) .

Найти: ab , a2 , a (a 2b) .

Решение.

ab =1 (1) + 0 1 + (2) 3 = −7 ; a2 = a 2 =12 + (2)2 =5;

a(a 2b) = a a 2ab = a2 2ab =5 +14 =19 .

25

2.2.1.4. Приложения скалярного произведения

Из определения и свойств скалярного произведения вытекают следующие приложения скалярного произведения.

1.

Длина вектора a =(x, y, z)

 

 

 

a

 

=

 

 

a

 

2 = a2 = xx + yy + zz ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

= x2 + y2 + z2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

Угол γ между векторами a = (x1, y1, z1) , b = (x2 , y2 , z2 ):

 

 

 

 

 

cos γ = cos(ab) =

 

ab

.

 

 

 

 

 

 

a

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Условие перпендикулярности векторов a, b :

Если вектора a, b перпендикулярны ( a b ), то по свойству 6 имеем, что ab = 0 . Расписывая скалярное произведение в координатах, получим

x1x2 + y1 y2 + z1z2 = 0 .

2.2.2.Векторное произведение двух векторов

2.2.2.1.Определения:

Тройка некомпланарных векторов a , b , c , приведенных к общему началу, называется правой, если из конца вектора c видно, что кратчайший пово-

рот от вектора a к вектору b происходит против часовой стрелки (Рис. 2.2.2).

Пример правой тройки: орты i , j , k (Рис. 2.2.3).

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

c

 

 

b

 

k

 

 

 

 

a

x

i

j

y

 

a

 

b

 

 

РИС. 2.2.2

 

РИС. 2.2.3

 

РИС. 2.2.4

Тройка a , b , c левая, если поворот от a к b

виден из конца вектора c

по часовой стрелке (Рис. 2.2.4).

26

Векторным произведением векторов a и b называется вектор c (Рис. 2.2.5), удовлетворяющий трем условиям:

1)c a , c b ,

2)c = a b sin(a,b ),

c = a ×b

b

3) a , b , c – правая тройка.

 

a

Обозначения векторного произведения: a ×b , a,b .

b ×a

 

 

 

РИС. 2.2.5

 

 

2.2.2.2. Свойства векторного произведения

1.a ×b = −b × a . Смену знака легко увидеть из Рис. 2.2.4.

2.(λa)×b = λ(a ×b ).

3.(a + b )×c = a ×c + b ×c .

4.a ×a = 0 для любого вектора a , так как sin(a,a)=sin 0°=0 длина

вектора a × a равна нулю.

5.Векторное произведение двух ненулевых векторов равно нулю 0, тогда

итолько тогда, когда векторы коллинеарны

a ×b = 0 a b .

Условие a ×b = 0 является условием коллинеарности векторов a и b .

2.2.2.3. Выражение векторного произведения векторов a =(x1, y1, z1 ), b =(x2 , y2 , z2 ) в координатах.

Учитывая определение и свойства векторного произведения, составим таблицу векторных произведений единичных векторов i , j , k (Рис. 6).

27

k

 

 

i

j

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

i

0

k

j

i

j

 

 

 

 

j

k

0

i

 

 

РИС. 2.2.6

 

 

j

 

 

 

k

i

0

 

 

 

 

 

 

Стрелки показывают кратчайшее движение против часовой стрелки. Отсюда имеем

a ×b =(x1i + y1 j + z1k )×(x2i + y2 j + z2k )=

= x1x2i ×i + y1x2 j ×i + z1x2k ×i + x1 y2i × j + y1 y2 j × j + +z1 y2k × j + x1z2i ×k + y1z2 j ×k + z1z2k ×k = −y1x2k + +z1x2 j + x1 y2k z1 y2i x1z2 j + y1z2i =(y1z2 z1 y2 )i

(x1z2 z1x2 ) j +(x1 y2 y1x2 )k .

Таким образом, имеем,

 

 

y

z

 

,

 

x

z

 

,

 

x

y

 

 

.

 

 

 

 

 

 

a ×b =

 

y

1

z

1

 

 

1

z

1

 

 

1

y

1

 

 

 

 

2

2

 

 

 

x

2

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Или, учитывая свойство разложения определителя по элементам строки, можно записать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

j

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a ×b =

x1

y1

z1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

y2

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 16.

Даны векторы: a =(2,0,1), b =(1,1,3)

Найти: векторные произведения: a ×b,

 

 

 

 

a ×(a 2b ).

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

,

 

2

1

 

,

 

 

2 0

 

 

= (1,7,2);

 

 

 

 

 

 

 

 

a ×b =

 

1

3

 

 

1

3

 

 

 

1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a ×(a 2b )= a ×a 2a ×b = 0 2a ×b =(2,14,4).

28

2.2.2.4. Приложения векторного произведения

1. Площадь треугольника ABC

B

Из геометрии известно, что

 

SABC = 1

AB AC sin ϕ (Рис. 2.2.7).

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

Переходя к векторам, получим

 

2

 

 

 

 

 

(

 

 

)

 

2

 

 

РИС. 2.2.7

SABC = 1

AB

 

 

AC

sin

 

AB, AC

 

=

1

AB × AC

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

2. Площадь параллелограмма

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

SABDC = 2SABC =

AB × AC

.

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РИС. 2.2.8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Нахождение вектора, перпендикулярного двум данным

 

 

 

 

Даны векторы a , b .

Найти такой вектор c , чтобы c a , c b .

В силу определения векторного произведения в качестве вектора c мож-

но взять вектор c = a ×b .

4. Угол между векторами a и b

sin (a,b )= aa×bb .

2.3.Комплексные числа

2.3.1.Комплексные числа, их изображение на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа

Введение комплексных чисел связано с развитием алгебры. Они возникли

всвязи с решением кубических уравнений и долгое время не находили приложений. Поэтому появились названия «мнимая единица», мнимое число» и т.п.

29

В настоящее время комплексные числа нашли широкое применение во многих науках.

2.3.1.1. Определения

Комплексным числом называется выражение z = x +iy , где x, y – дей-

ствительные числа, а i – новое число, обладающее свойством i2 = −1 и называ-

емое мнимой единицей. Число x называется действительной частью, y

мнимой частью комплексного числа z . Они обозначаются x = Re z , y =Im z .

Множество комплексных чисел обозначается буквой .

Выражение z = x +iy называется алгебраической формой записи ком-

плексного числа. В дальнейшем мы познакомимся и с другими формами записи.

Два комплексных числа z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 называются равными,

если равны их действительные и мнимые части,

то есть x1 = x2 и

y1 = y2 . В

частности z = 0 , если x = y =0 . Числа z = x +iy

и

z = x iy называются ком-

плексно-сопряженными.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3.1.2. Изображение комплексных чисел на плоскости

 

 

 

 

 

Комплексные числа изображаются точ-

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ками или векторами на плоскости. В декарто-

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (x, y)

вой системе координат каждому комплексному

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

числу z = x +iy ставится в соответствие точка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (x, y) или радиус-вектор OM =(x, y) с теми

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

же координатами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РИС. 2.3.1

 

 

 

 

 

Обычные действительные числа можно рассматривать как частный случай комплексных чисел, у которых мнимая часть равна нулю Im z = 0 . Все точки, изображающие действительные числа, будут лежать на оси Ox . Поэтому ось Ox называют действительной осью.

30