Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский кооперативный институт (филиал РУК)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

080100Экономика(МатАнализ и ЛинАлгебра) / Лекции_Линейная_алгебра

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.02.2016

Размер:

516.27 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

1.3.Системы линейных алгебраических уравнений

1.3.1.Системы линейных алгебраических уравнений

1.3.1.1.Определения

Зададим систему из n линейных уравнений с n неизвестными

a		x	+	+a	x	= h ,
	11	1		1n	n	1
						(3)
a		x	+	+a	x	= h .
	n1	1		nn	n	n

Числа aij , называемые коэффициентами системы (3), заданы. Будем еще говорить, что система (3) определяется матрицей

a		a
	11	1n
A =			(4)
a		a
	n1	nn

ее коэффициентов.

Нас будет интересовать вопрос о разрешимости системы (3) для каждой системы чисел (h1,...,hn ) .

Система чисел (x1,..., xn ) называется решением системы уравнений (3),

если числа xi удовлетворяют этим уравнениям.

1.3.2.Метод Крамера решения систем линейных уравнений

1.3.2.1.Метод Крамера

Если определитель матрицы A не равен нулю:

		a11	a1n
=	A	=	≠ 0 ,
=	A	=	≠ 0 ,

an1 ann

то система (3) для любой системы чисел (h1,...,hn ) имеет единственное реше-

ние, вычисляемое по формулам Крамера2:

x = i	(i =	1,n	) .	(5)
i

2 Г. Крамер (1704—1752) — швейцарский •математик. 11

Здесь i – определитель, получаемый из определителя

, если в нем за-

менить числа i -го столбца соответственно на числа h1, …, hn :

i =

a1 1

a1 i−1 h1 a1 i+1

a1 n

(6)

an 1

an i−1 hn an i+1

an n

Пример 8.

Пример

Решить по методу Крамера систему

2x − y = 4,

= −3.

Решение.

x + 2 y

Находим определители

2 −1

= 5,

x =

4 −1

y =

2 4

= −10 .

= 5.

1 2

−3 2

1 − 3

Отсюда, x = 55 =1, y = −510 = −2 – решение системы.

1.3.3. Матричный метод решения систем линейных уравнений

Существует метод решения системы линейных уравнений

a		x	+	+a	x	= h ,
	11	1		1n	n	1	(7)
							(7)
a		x	+	+a	x	= h	,
	n1	1		nn	n	n

основанный на использовании обратной матрицы. Этот метод называется мат-

ричным методом.

Рассмотрим этот метод на примере системы трех уравнений

a x + a y + a z = h ,
11	12	13	1
a21x + a22 y + a23 z = h2 ,				(8)
a x + a y + a z = h .
31	32	33	3

Данный метод состоит из следующих этапов: 1. Составим три матрицы

a11		a12	a13
A = a	21	a	a	,
	21	22	23
a		a	a
	31	32	33

h1			x
H = h		,	X = y	.
	2
h			z
	3

Назовем A – матрицей системы, H – матрицей свободных членов, X – матрицей решений.

Система уравнений запишется в матричном виде

A X = H .

2. Пусть A – невырожденная матрица. Тогда найдем обратную матрицу

A−1 .

3. Найдем матрицу решений по формуле

X = A−1 H .

Эта формула следует из рассуждений

AX = H A−1 AX = A−1H EX = A−1H X = A−1H.

Пример 9. Решить матричным методом систему

x	+ 2z = −5,
	− y + 3z = −10,
2x	− y + 3z = −10,
	y + 2z = −2.
	y + 2z = −2.

Решение.

1. Составим три матрицы

	1 0 2		−5		x
	2 −1 3		−10	,
A =	2 −1 3	, H =	−10	,	X = y .
	0 1 2		−2
	0 1 2		−2		z

изапишем систему в виде AX = H.

2.Найдем обратную матрицу (см. пример из прошлой лекции): а) Найдем определитель матрицы

								A				1	0	2
											=	2 −1 3			= −2 + 4 −3 = −1.
											=	2 −1 3			= −2 + 4 −3 = −1.
												0	1	2
б) Найдем алгебраические дополнения
A = +		−1 3					= −5 ,						A	= −				2 3			= −4 , A				= +			2 −1			= 2 ,
A = +		−1 3					= −5 ,						A	= −				2 3			= −4 , A				= +			2 −1			= 2 ,
11			1		2								12					0 2					13					0	1
			1		2													0 2										0	1
A = −						0 2				= 2 ,			A	=		1 2			= 2 , A				= −				1 0			= −1,
A = −						0 2				= 2 ,			A	=		1 2			= 2 , A				= −				1 0			= −1,
	21					1 2							22			0 2						23					0 1
						1 2										0 2											0 1
A	=			0 2					= 2 ,				A	= −			1 2			=1,		A		=		1 0				= −1.
A	=			0 2					= 2 ,				A	= −			1 2			=1,		A		=		1 0				= −1.
31				−1 3									32				2 3					33				2 −1
														13

и составим матрицу
	−5 −4			2
		2	2
A =				−1 .
		2	1
				−1
в) Найдем транспонированную матрицу
	−5		2	2
T		−4	2	1
A	=				.
		2	−1
				−1

г) Найдем обратную матрицу

−5 2 2

5 −2 −2

−1

−4 2 1

4 −2 −1

−1

−2 1 1

−1 −1

3. Найдем матрицу решений

5 −2 −2

−5

−1

X = A

−1

−10

4 −2 −1

−2

−2 1 1

Ответ: x = −1, y = 2, z = −2 – решение системы.

1.3.4. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Рассмотрим еще один метод решения систем линейных уравнений, основанный на использовании матриц – метод Гаусса (метод исключения неизвестных). Рассмотрим его на примере системы трех уравнений.

Метод Гаусса решения системы

a11x + a12 y + a13 z = h1,a21x + a22 y + a23 z = h2 ,a31x + a32 y + a33 z = h3.

состоит из следующих этапов:

1. Составим расширенную матрицу

ных членов

	a11	a12	a13
	= a	a	a
A	= a	a	a
	21	22	23
	a	a	a
	31	32	33

системы, добавив столбец свобод-

h1 h2 .

2. Преобразуем матрицу A к треугольному виду с помощью элементарных преобразований строк

a11 a12 a13

b11 b12 b13

= a

b b

21 22 23

22 23

0 b

31 32 33

3. Запишем систему линейных уравнений, соответствующих матрице B

b x + b y + b z = g ,
	11	12	13	1
		b22 y + b23 z = g2 ,
			b33 z = g3
			b33 z = g3

и решим ее. Решение этой системы является также решением заданной системы.

Пример 10. Решить методом Гаусса систему уравнений

x	+ 2z = −5,

2x − y + 3z = −10,
	y + 2z = −2.
	y + 2z = −2.

Решение. Составим расширенную матрицу и преобразуем ее к треугольному виду

	1 0 2			−5	1 0 2	−5	1 0	2	−5


		2	−1 3	−10	0 −1 −1	0	0 −1 −1		0	= B .
A =
		0	1 2	−2	0 1 2	−2	0 0	1	−2

Запишем систему с расширенной матрицей B и решим ее

x	+ 2z = −5,	z = −2,
	− y − z = 0,	y = −z = 2,

	z = −2,	x = −5 − 2z = −1.

Ответ: Совокупность x = −1,		y = 2, z = −2 – решение системы.

Тема 2. Векторная алгебра

2.1. Векторы. Линейные операции над векторами

Понятие вектора возникло в XIX в. в связи с потребностями механики и физики. Основы векторного исчисления заложены английским математиком Гамильтоном и немецким математиком Грассманом.

2.1.1. Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось

2.1.1.1. Определения

Вектором называется отрезок, которому приписано определенное направление, т.е. указаны начало и конец отрезка.

	Обозначается: a или AB , где
A	A – начало, B – конец вектора.
A

РИС. 2.1.1

Модулем (длиной) вектора называется длина отрезка и обозначается

a , AB

Вектор, модуль которого равен нулю, называется нулевым вектором 0 . Нулевой вектор направления не имеет.

Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным векто-

ром или ортом e направления, указанного этим вектором.

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны ей.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Обозначается a b .

При этом коллинеарные векторы могут быть одинаково направленны-

ми, обозначается a ↑↑ b (Рис. 2.1.2) или противоположно направленными,

обозначается a ↑↓ b (Рис. 2.1.3).

a					b	a	b
			Рис. 2.1.2				РИС. 2.1.3
Векторы a и b					равны a =b, если:
	a
1)		=	b	,	2) a ↑↑ b.
1)		=	b	,	2) a ↑↑ b.

Из этого определения следует, что при параллельном переносе вектора, получается вектор, равный исходному. Поэтому начало вектора можно помещать в любую точку пространства, а вектор называют свободным.

В некоторых науках рассматриваются также скользящие векторы, которые можно перемещать вдоль прямой и связанные векторы, начало которых фиксировано.

2.1.1.2. Линейные операции над векторами

Введем линейные операции над векторами.

1. Суммой векторов a и b называется вектор a + b, для построения ко-

торого существует два правила:

а) правило треугольника: a + b лежит на стороне треугольника, постро-

енного на векторах a, b, имеет начало, совпадающее с началом вектора a, а

конец в конце вектора b (Рис. 2.1.4);

б) правило параллелограмма: a + b – диагональ параллелограмма, по-

строенного на векторах a, b, как на сторонах (Рис. 2.1.5).

	a +b
a +b	b
a +b
	a
РИС. 2.1.4	РИС. 2.1.5

Свойства:

a + b = b + a ,

(a + b )+ c = a + (b + c ).

2.Суммой нескольких векторов a + b + c + d называется вектор, который строится по правилу многоугольника: это вектор, замыкающий ломаную линию, составленную из слагаемых векторов.

d a +b +c + d

РИС. 2.1.6

3. Разностью векторов a и b называется вектор a −b = a +(−1)b, кото-

рый можно построить следующим образом:

a −b

РИС. 2.1.7

4. Произведением вектора a на число λ называется вектор, удовлетворяющий условиям:

1)λ a = λ a

2)λ a ↑↑ a если λ > 0 , λ a ↑↓ a если λ < 0 .

Пример 11.

a	1	a	−a

	2

РИС. 2.1.8

Свойства:

λ(a +b )=λa + λb , (λ +μ)a =λa +μa , λ(μa)=(λμ)a .

2.1.1.3. Проекция вектора

Пусть дан вектор AB и ось Ou (прямая с направлением, заданным ортом e и началом координат O ) (Рис. 2.1.9).

Найдем проекции точек A и B на ось Ou - это точки A′, B′.

′	′	.
Построим вектор A B		.
			B
		A
	e
0		A′	B′	u
		РИС. 2.1.9

Проекцией вектора AB на ось Ou называется число

	′ ′	если	′ ′	↑↑e,

	A B		A B
ПрOu AB =	A′B′	если	A′B′↑↓e.

−

Пример 12.

	B1			A2
A1	B1		B
			2
0	u	0	1	u
1	3		1	4
ПрOu A1B1 = 2.			ПрOu A2 B2 = −3.
	РИС. 2.1.10			РИС. 2.1.11

Свойства проекций вектора

1. ПрOu a = a cosα.

0 ПрOu a u

РИС. 2.1.12

2.ПрOu (a ± b )= ПрOu a ± ПрOub .

3.ПрOu λa = λПрOu a .

2.1.2. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис. Разложение вектора по базису. Координаты вектора

2.1.2.1. Линейная зависимость и независимость векторов

Система векторов a, b, c называется линейно зависимой, если один век-

тор можно выразить как линейную комбинацию других.

	a =λ1b + λ2c.
Система векторов a, b, c	называется линейно независимой, если равен-
ство λ1a + λ2b + λ3c = 0 выполняется только при λ1 = λ2 = λ3 = 0.
2.1.2.2. Базис. Разложение вектора по базису. Координаты вектора
Базисом в пространстве	3 называются любые 3 некомпланарные векто-
ра, взятые в определенном порядке.
Базисом на плоскости	2 называются любые 2 неколлинеарные вектора,
	20

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 080100Экономика(МатАнализ и ЛинАлгебра)

#
26.02.2016483.32 Кб35ЗаданияСР_ЛА_080100.pdf
#
26.02.2016690.03 Кб27ЗаданияСР_МА_080100.pdf
#
26.02.2016516.27 Кб32Лекции_Линейная_алгебра.pdf
#
26.02.20161.35 Mб43Лекции_Математический анализ.pdf
#
26.02.201623.29 Mб192Линейная алгебра_080100_заоч_1_курс_экз_паспорт.pdf
#
26.02.2016753.52 Кб43Математика_Словарь терминов.pdf
#
26.02.201620.68 Mб62Математический анализ_080100_заоч_1_курс_экз_паспорт.pdf
#
26.02.2016630.28 Кб25ПланыПЗ_ЛА_080100.pdf