Элементарные булевые функции

Булевой функцией f(x₁, x₂, ..., x_n) называется функция, которая принимает два значения 0 или 1 в зависимости от переменных х₁, каждая из которых может также принимать только два значения 0 или 1.

Одной из важнейших интерпретаций теории булевых функций является теория переключательных функций. Первоначально математический аппарат теории булевых функций был применен для анализа и синтеза релейно-контактных схем с операциями последовательного и параллельного соединения контактов.

Любая булевая функция может быть представлена таблицей, в левой части которой перечислены все наборы переменных, а в правой части - значения функции. Пример такого задания для трех переменных представлен в таблице.

Представление булевой функции

x1	x2	x3	f(х1,х2,х3)
0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	0
1	1	1	1

Для формирования столбца значений переменных удобен лексико­графический порядок, в соответствии с которым каждый последующий набор значений получается из предыдущего прибавлением 1 в двоичной системе счисления, например, 100=011+1.

Булевая функция п переменных может иметь 2ⁿ наборов. Поскольку функция принимает только два значения, общее число булевых функций и переменных равно 2²ⁿ. Таким образом, функция одной переменной может иметь четыре значения: у = х; у = -x (отрицание х); у = 0 (константа 0); у = 1 (константа 1).

Из них выделим функцию "отрицание X" (обозначается -X). Эта функция представлена в таблице

Функция отрицания

x	-x
0 1	1 0

Булевых функций двух переменных - 16. Те из них, которые имеют специальные названия, представлены в таблице.

Булевы функции двух переменных

x1 x2	x1  x2	x1 & x2	x1  x2	x1 ~ x2	x1  x2	x1  x2	x1  x2
0 0	0	0	1	1	0	1	1
0 1	1	0	1	0	1	0	1
1 0	1	0	0	0	1	0	1
1 1	1	1	1	1	0	0	0

В таблице представлены следующие функции двух переменных:

x₁  x₂ – дизъюнкция;

x₁ & x₂ – конъюнкция;

x₁  x₂ – импликация;

x₁ ~ x₂ – эквивалентность;

x₁  x₂ – сложение по модулю 2;

x₁  x₂ – стрелка Пирса;

x₁  x₂ – штрих Шеффера

Остальные функции специальных названий не имеют и могут быть выражены через перечисленные выше функции.

Формулы логики булевых функций

Формула логики булевых функций определяется индуктивно следующим образом:

1. Любая переменная, а также константы 0 и 1 есть формула.

2. Если A и B - формулы, то ¬A, AB, A&B, AB, A~B есть формулы.

3. Ничто, кроме указанного в пунктах 1-2, не есть формула.

Пример 2.1.

Выражение (-xy)&((yz)~x) является формулой

Выражение (–x&yz¬~x) не является формулой

Часть формулы, которая сама является формулой, называется подформулой.

Пример 2.2.

x&(yz) – формула; yz – ее подформула.

Функция f есть суперпозиция функций f₁,f₂, ... ,f_n, если f получается с помощью подстановок этих формул друг в друга и переименованием переменных.

Пример 2.3.

f₁ = х₁&х₂ (конъюнкция); f₂ =-x (отрицание).

Возможны две суперпозиции:

1)f=f₁(f₂) = (—х₁)&(—х₂) - конъюнкция отрицаний;

2)f=f₂(f₁) = -(x₁&х₂) - отрицание конъюнкции.

Порядок подстановки задается формулой.

Всякая формула задает способ вычисления функции, если известны значения переменных.

Пример 2.4.

Построим таблицу значений функции

f(x₁,х₂,х₃)=¬(х₂ ¬х₃)~( x₁х₂).

Вычисление функции f(x₁ х₂, х₃)

x1	x2	x3	¬x3	x2¬x3	¬(x2¬x3)	¬x1	¬x1  x2	f(x1,х2,х3)
0	0	0	1	1	0	1	1	0
0	0	1	0	1	0	1	1	0
0	1	0	1	1	0	1	1	0
0	1	1	0	0	1	1	1	1
1	0	0	1	1	0	0	0	1
1	0	1	0	1	0	0	0	1
1	1	0	1	1	0	0	1	0
1	1	1	0	0	1	0	1	1

Таким образом, формула каждому набору аргументов ставит в соответствие значение функции. Следовательно, формула так же, как и таблица, может служить способом задания функции. В дальнейшем формулу будем отождествлять с функцией, которую она реализует. Последовательность вычислений функции задается скобками. Принято соглашение об опускании скобок в соответствии со следующей приоритетностью операций: ¬, &, ,  и ~.