9.281 .

9.282 .

9.283 .

9.284 .

9.285 .

9.286 .

9.287 .

9.288 .

В задачах 9.289-9.292 найти частные решения разностных уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

9.289 .

9.290 .

9.291 ,

.

9.292 .

В задачах 9.293-9.308 найти общие решения следующих неоднородных разностных уравнений

9.293 .

9.294 .

9.295 .

9.296 .

9.297 .

9.298 .

9.299 .

9.300.

9.301 .

9.302.

9.303.

9.304 .

9.305 .

9.306 .

9.307 .

9.308 .

В задачах 9.309-9.312 найти частные решения разностных уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

9.309

.

9.310 .

9.311 .

9.312 .

По аналогии с нормальными системами дифференциальных уравнений рассматриваются также и нормальные системы разностных уравнений вида , где- искомые функции,- заданные функции целочисленного аргумента,. Число называется порядком системы. Совокупность функций ,,…,обращающих каждое уравнение системы в тождество, называетсярешением этой системы.

Условия ,,…,, где,,…,- заданные числа, называются начальными условиями.

Общим решением системы РУ -го порядка называется решение:

,,…,,

зависящее от произвольных постоянных, такое, из которого при надлежащем выборе значений постоянныхможно получить решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям,,…,.

Частным решением системы называется решение ,,…,, получаемое из общего при конкретных значениях постоянных.

Нормальные системы разностных уравнений аналогично системам дифференциальных уравнений можно решать методом исключения неизвестных функций приводя их к одному разностному уравнению -го порядка. Для нахождения решения, например, системы двух разностных уравнений, где,- неизвестные функции целочисленного аргументапоступают следующим образом. Сначала, используя первое из уравнений системы, получим уравнение, в которое затем подставим второе уравнение системы, с учётом выражения, найденного из первого уравнения системы. В результате получим разностное уравнение 2-го порядка относительно неизвестной функции, решив которое найдём функцию, где,- произвольные постоянные. Подставивв формулу, определим функцию. Совокупность функций,даёт общее решение системы.

В задачах 9.313-9.320 найти методом исключения решения следующих систем разностных уравнений:

9.313. 9.314 .

9.315. 9.316.

9.317. 9.318.

9.319.

9.320.

§5. Дифференциальные уравнения в частных производных.

Дифференциальным уравнением в частных производных называется равенство, содержащее неизвестную функцию от нескольких независимых переменных, сами независимые переменные и частные производные неизвестной функции по независимым переменным. Порядок старшей частной производной называется порядком уравнения. Функция, обращающая уравнение в тождество, называется решением уравнения. Процесс нахождения решения называется интегрированием. Интегрируя уравнение с частными производными, находят семейство решений, зависящее от произвольных функций, а не только от произвольных постоянных, как это имеет место в случае обыкновенного дифференциального уравнения. Это семейство решений, зависящее от произвольных функций, называется общим решением уравнения с частными производными.

Уравнение вида

,

где - неизвестная функция от независимых переменных;,- заданные функции своих аргументов, называетсяквазилинейным уравнением в частных производных первого порядка. Задачей Коши для этого уравнения называется задача о нахождении среди всех решений этого уравнения такого решения , которое удовлетворяло быначальному условию , где- заданная непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов;- заданное число.

В случае уравнения задача Коши состоит в нахождении решения, удовлетворяющего начальному условиюили условию.

Интегрирование уравнения сводится к интегрированию соответствующей ему системы обыкновенных дифференциальных уравнений в симметрической форме:

.

Если и- независимые интегралы этой системы, то равенство, где- произвольная непрерывно дифференцируемая функция, являетсяобщим решением уравнения в частных производных в неявной форме. Разрешив его относительно , есливходит только в один из интеграловили, получим общее решение в явной форме, где- произвольная непрерывно дифференцируемая функция.

Для нахождения частного решения, подставив начальное условие в интегралыи, получим два уравнения вида,. Исключив из них, получим равенство, связывающееи. Подставив в которое вместоилевые части интегралови, получим искомое частное решение. Аналогично находится частное решение для начального условия.

В задачах 9.321-9.322 найти общие решения простейших дифференциальных уравнений в частных производных.

9.321 а),где ;б) .

9.322 а),где ;б) .

В задачах 9.323-9.328 найти общие решения уравнений в частных производных первого порядка.