- •Глава 9. Дифференциальные и разностные уравнения.
- •§1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •9.1. 9.2.
- •9.23 . 9.24.
- •9.47 . 9.48.
- •9.89 . 9.90.
- •§2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •9.131 . 9.132. 9.133.
- •9.161 ,. 9.162,.
- •9.163 ,. 9.164,,.
- •9.165 . 9.166,,. 9.167,,. 9.168,,. 9.169. 9.170.
- •9.171 . 9.172.
- •9.191 .
- •9.245 9.246
- •9.263 9.264
- •9.273 9.274
- •9.281 .
- •9.313. 9.314 .
- •9.323 . 9.324.
- •9.325 . 9.326.
- •9.327 . 9.328.
- •9.331 .
- •9.349 ,,;
- •10.1 . 10.2 .
- •10.3 . 10.4.
- •10.5 . 10.6.
9.161 ,. 9.162,.
9.163 ,. 9.164,,.
9.165 . 9.166,,. 9.167,,. 9.168,,. 9.169. 9.170.
Уравнение вида называетсялинейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) -го порядка ,где коэффициенты - непрерывные функции или постоянные. Если, то уравнение называетсяоднородным. Однородное линейным уравнение -го порядка имеет вид.
Любая система из линейно независимых частных решений,,…,однородного линейного уравнения называетсяфундаментальной системой его решений.
Общее решение однородного линейного уравнения имеет вид, где- фундаментальная система его решений;- произвольные постоянные .
Фундаментальная система решений однородного ЛДУ с постоянными коэффициентамистроится на основе характера корнейхарактеристического уравнения .
А именно: 1) если - действительный простой корень характеристического уравнения, то ему в ФСР соответствует частное решениедифференциального уравнения;2) если - действительный корень кратности, то ему в ФСР соответствуетлинейно независимых частных решений:,,,…,;3) если - пара простых комплексно-сопряжённых корней характеристического уравнения, то ей в ФСР соответствует два линейно независимых частных решения:,;4) если - пара комплексно-сопряжённых корней кратности, то ей в ФСР соответствуетлинейно независимых частных решений:,,,,,,.
В задачах 9.171-9.184 найти общие решения однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
9.171 . 9.172.
9.173 . 9.174.
9.175 . 9.176.
9.177 . 9.178 .
9.179 . 9.180.
9.181 . 9.182. 9.183. 9.184.
В задачах 9.185-9.188 найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:
9.185 ,,.
9.186 ,,.
9.187 ,,.
9.188 ,,.
Общее решение неоднородного ЛДУ имеет вид, где- общее решение соответствующего однородного уравнения,- какое-нибудь частное решение данного неоднородного уравнения.
Частное решение уравнения с правой частью специального видаищетсяметодом неопределённых коэффициентов в виде , где, если числоне является корнем характеристического уравнения, иравно кратности корняв противном случае;и- полные многочлены степенис неопределёнными коэффициентами. Примерами полных многочленов с неопределёнными коэффициентами степенисоответственно являются:,,,,…. Для нахождения коэффициентов многочленови, надо подставить решениев неоднородное дифференциальное уравнение и приравнять коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях полученного равенства. В результате получим систему уравнений, решив которую, найдём значения коэффициентов.
Частное решение неоднородного ЛДУ с правой частьюравно сумме частных решенийнеоднородных уравнений с той же левой частью и правыми частями(принцип наложения решений).
Частное решение уравнения с любой правой частьюможет быть найденометодом вариации произвольных постоянных. Для дифференциального уравнения второго порядка метод состоит в следующем. Если известна фундаментальная система решений однородного уравнения , то частное решение соответствующего неоднородного уравнения ищется в виде, где неизвестные функции,определяются из системы уравнений.
В задачах 9.189-9.202 для каждого из неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами написать общие решения уравнений (числовых значений коэффициентов в частных решениях не находить):
9.189 ,если:
а); б);
в) ; г).
9.190 ,если:
а); б);
в) ; г).