- •6.1 . 6.2.
- •§2. Частные производные
- •6.22 . 6.23.
- •6.24 . 6.25. 6.26. 6.27. 6.28. 6.29. 6.30. 6.31. 6.32.
- •6.33 . 6.34.
- •§3 Дифференциал.
- •6.41 . 6.42. 6.43.
- •6.44 . 6.45. 6.46.
- •§4. Дифференцирование сложных и неявных функций.
- •§5. Некоторые приложения частных производных.
- •§6 Формула Тейлора.
- •§7 Экстремумы функций нескольких переменных
- •6.82 . 6.83. 6.84. 6.85.
- •6.109 А) ;
- •6.110 А) ;
- •6.111 А) ;
- •Глава 7. Интегральное исчисление
- •§1. Неопределённый интеграл.
- •1. . 2..
В задачах 6.1-6.17 найти и изобразить графически область определения следующих функций:
6.1 . 6.2.
6.3 . 6.4.
6.5 . 6.6.
6.7 . 6.8.
6.9 . 6.10.
6.11 . 6.12.
6.13 . 6.14.
6.15 . 6.16. 6.17. 6.18.
6.19. Построить линии уровня следующих функций:
а) ; б); в); г).
Число называется пределом функциипри(или в точке), и пишут, если для любого числанайдётся числотакое, что при всех, удовлетворяющих условию, выполняется неравенство. Для функциипишут.
Вычисление предела функции нескольких переменных часто сводят к вычислению предела функции одной переменной с помощью замены переменных.
Функция называетсянепрерывной в точке , если. Функция непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Если в точке нарушено хотя бы одно из следующих условий:1) функция определена в точке ; 2) существует конечный предел ;3) , тоназываетсяточкой разрыва функции . Точки разрыва могут быть изолированными, образовывать линии разрыва, поверхности разрыва.
6.20 Найти следующие двойные пределы:
а) ; б) ;
в) ; г) .
6.21 Найти точки разрыва следующих функций:
а) ; б);
в) ; г).
§2. Частные производные
Частной производной (1-ого порядка) функции в точкепо переменнойназывается предел, если этот предел существует. Частную производную обозначаютили.
Частные производные вычисляются по обычным правилам дифференцирования функции одной переменной, в предположении, что все аргументы функции, кроме аргумента , по которому берётся производная, постоянны.
Частными производными второго порядка функции называются частные производные от её частных производных первого порядка. При этом используются обозначения:
, ().
Производные () называютсясмешанными. Аналогично определяются и обозначаются частные производные порядка выше второго. Для функции частные производные обозначаются:
, ,,,,,… или,….
Если смешанные частные производные, подлежащие вычислению, непрерывны, то результат многократного дифференцирования функции по различным переменным не зависит от порядка дифференцирования.
В задачах 6.22-6.32 найти частные производные от следующих функций:
6.22 . 6.23.
6.24 . 6.25. 6.26. 6.27. 6.28. 6.29. 6.30. 6.31. 6.32.
В задачах 6.33-6.34 найти частные производные от следующих функций:
6.33 . 6.34.
6.35 Проверить равенство , если
а) ; б).
6.36 Проверить равенство , если
В задачах 6.37-6.40 найти указанные частные производные:
6.37 , если . 6.38, если.6.39,если.6.40,если .
§3 Дифференциал.
Полным приращением функции в точке, соответствующим приращениям аргументовназывается разность.
Функция называетсядифференцируемой в точке , если её полное приращение может быть представлено в виде, гдепри,- числа, не зависящие от.
Полным дифференциалом функциив точкеназывается главная, линейная относительночастьполного приращенияфункции, равная, где.
Функция, обладающая в точкенепрерывными частными производными, всегда имеет в этой точке полный дифференциал. Для функциидифференцируемость в точке равносильна существованию в этой точке её полного дифференциала.
Форма записи первого дифференциала не изменится и в том случае, если переменные являются функциями новых, независимых переменных (свойство инвариантности формы первого дифференциала).
Дифференциалом 2-ого порядка функции называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается, т. е.. В общемдифференциалом порядка называется дифференциал от дифференциала-ого порядка и обозначается, т.е..
Если - независимая переменная, то для нахождения дифференциалафункциисправедлива символическая формула, формально раскрываемая по биномиальному закону. Например, для функциисправедливы формулы:,,
а для функции - формулы:,
.
Для функции -кратная дифференцируемость в точкеравносильна существованию в этой точке её полного дифференциала-ого порядка.
Если функция раз дифференцируема в точке, то в этой точке значение любой смешанной частной производной-ого порядка не зависит от порядка дифференцирования.
В задачах 6.41-6.46 найти дифференциалы первого и второго порядков от следующих функций: