- •Глава 9. Дифференциальные и разностные уравнения.
- •§1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •9.1. 9.2.
- •9.23 . 9.24.
- •9.47 . 9.48.
- •9.89 . 9.90.
- •§2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •9.131 . 9.132. 9.133.
- •9.161 ,. 9.162,.
- •9.163 ,. 9.164,,.
- •9.165 . 9.166,,. 9.167,,. 9.168,,. 9.169. 9.170.
- •9.171 . 9.172.
- •9.191 .
- •9.245 9.246
- •9.263 9.264
- •9.273 9.274
- •9.281 .
- •9.313. 9.314 .
- •9.323 . 9.324.
- •9.325 . 9.326.
- •9.327 . 9.328.
- •9.331 .
- •9.349 ,,;
- •10.1 . 10.2 .
- •10.3 . 10.4.
- •10.5 . 10.6.
9.245 9.246
9.247 9.248
9.249 9.250
9.251 9.252
В задачах 9.253-9.258 найти общие решения следующих однородных систем уравнений (для облегчения работы в задачах указаны корни характеристического уравнения):
9.253 9.254
9.255 9.256
9.2579.258
В задачах 9.259-9.262 найти методом исключения общие решения следующих неоднородных систем уравнений:
9.259 . 9.260 .
9.261 . 9.262 .
Решение нормальной системы ДУ,, определённое при всехназываетсяустойчивым по Ляпунову, если для любого существуеттакое, что для всякого решениятой же системы, значения которого в точкеудовлетворяют неравенствам,, при всехсправедливы неравенства,. Если решениене только устойчиво, но и при условии,, удовлетворяет соотношению,, то это решение называетсяасимптотически устойчивым.
Если система дифференциальных уравнений описывает некоторое движение, то в случае устойчивости решений характер движений мало изменяется при малом изменении начальных данных.
Вопрос об устойчивости решения системы,, сводится к вопросу об устойчивости нулевого решения (точки покоя) другой системы, получаемой из данной с помощью замены,.
Точкой покоя системы ,, где функции,- непрерывно дифференцируемы, называется такая точка, в которойи.
Точкой покоя системы двух однородных ЛДУ с постоянными коэффициентами ,,является начало координат, т.е. нулевое решение данной системы. Для исследования точки покоя такой системы, надо найти корниихарактеристического уравнения системыи в зависимости от вида корней, определить характер точки покоя, в соответствие с приведённой в таблице их классификацией.
Корни , |
Характер точки покоя |
Устойчивость точки покоя | |
Действительные и различные:
|
, |
Устойчивый узел (рис. a) |
Асимптотически устойчива |
, |
Неустойчивый узел (рис. a) |
Неустойчива | |
Разных знаков |
Седло (рис. б) |
Неустойчива | |
Комплексно-сопряжённые: |
, |
Устойчивый фокус (рис. в) |
Асимптотически устойчива |
, |
Неустойчивый фокус (рис. в) |
Неустойчива | |
, |
Центр (рис. г) |
Устойчива | |
Действительные и равные |
|
Устойчивый вырожденный узел (рис. д) |
Асимптотически устойчива |
|
Неустойчивый вырожденный узел (рис. д) |
Неустойчива | |
Действительные и равные (для системы ,) |
|
Устойчивый дикритический узел (рис. е) |
Асимптотически устойчива |
|
Неустойчивый дикритический узел (рис. е) |
Неустойчива |
Если система ,описывает движение точки, то интегральные кривые называют траекториями движения точки. В случае устойчивого узла и фокуса точка, двигаясь по траекториям, неограниченно приближается к началу координат при, и неограниченно удаляется от него в противном случае.
В задачах 9.263-9.272 определить характер точек покоя следующих систем дифференциальных уравнений.