Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Набережночелнинский институт КФУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ПРАКТИКА №14-15 ДУ первого порядка (с раздел. перем., однородное, линейное, Бернулли)

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

26.02.2016

Размер:

411.14 Кб

Скачать

☆

Практическое занятие: Тема: Дифференциальные уравнения первого порядка (с разделяющимися уравнениями, однородное, линейное, Бернулли). Приложения ДУ.

ДУ вида называется уравнением с разделёнными переменными. Его общий интеграл имеет вид . ДУ вида или называется уравнением с разделяющимися переменными. Его интегрирование, путём деления обеих частей уравнения на или , сводится (с учётом ) к интегрированию уравнения с разделёнными переменными.

В задачах 9.1-9.12 найти общие решения следующих ДУ с разделяющимися переменными:

9.1. 9.2. 9.3 . 9.4 .

9.5. 9.6. 9.7. 9.8 .

9.10 . 9.11 . 9.12 .

Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка – значит: 1) найти его общее решение или общий интеграл ; 2) найти то частное решение (частный интеграл ) которое удовлетворяет заданному начальному условию .

В задачах 9.17-9.22 найти частные решения ДУ, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

9.17 , . 9.18 , .

9.19 , . 9.20 , .

9.21 , . 9.22 , .

Дифференциальное уравнение вида или , где и - однородные функции одинаковой степени, называется однородным.

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой , или , где - новая неизвестная функция. Интегрируя ДУ с разделяющимися переменными относительно функции и возвращаясь к искомой функции , находим общее решение исходного уравнения.

В задачах 9.23-9.36 найти общие решения следующих однородных дифференциальных уравнений:

9.24 . 9.25 . 9.26 . 9.27 . 9.28 .

9.29 . 9.30. 9.31 . 9.32 .

9.33 . 9.34 . 9.35.

В задачах 9.41-9.46 найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

9.41 , . 9.42 , .

9.43 , . 9.44 , .

9.45 , . 9.46 , .

Уравнение вида называется линейным. Уравнение , в котором правая часть тождественно равна нулю, называется однородным линейным уравнением.

Общее решение неоднородного линейного уравнения находится подстановкой , , где и - неизвестные функции от . Уравнение тогда примет вид . Приравняв нулю выражение в скобках, получим уравнение с разделяющимися переменными , из которого найдём в виде его частного решения , где - какая-нибудь первообразная для . Подставив затем найденное выражение в уравнение , получим уравнение с разделяющимися переменными , из которого найдём в виде его общего решения. В результате найдём и общее решение исходного уравнения в виде .

В задачах 9.47-9.62 найти общие решения следующих линейных дифференциальных уравнений:

9.47 . 9.48 . 9.49 . 9.50 .

9.51 . 9.52 . 9.53 . 9.54 .

9.55. 9.56 . 9.57 . 9.58 .

В задачах 9.63-9.70 найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

9.63,. 9.64 , . 9.65,. 9.66, . 9.67,. 9.68, .

9.69 , . 9.70 ,.

Уравнение вида , где и , называется уравнением Бернулли. Решение уравнения Бернулли можно найти непосредственно подстановкой .

В задачах 9.71-9.78 найти общие решения уравнений Бернулли:

9.71 . 9.72 . 9.73 . 9.74 .

9.75 . 9.76 . 9.77 . 9.78 .

9.130 Функции спроса и предложения на некоторый товар имеют вид: и . Найти зависимость равновесной цены от времени , если в начальный момент времени цена ден.ед.