2012_MATAN-2 / 2012 МАТАН-2 / 2012 ПРАКТИКА / ПРАКТИКА №5 Интегрирование тригонометрических и иррациональных выражений

3

Практическое занятие: Тема: Неопределённый интеграл (интегрирование тригонометрических и иррациональных выражений).

Интегралы вида , где -рациональная функция относительно аргументов и , приводятся к интегралам вида , где -рациональная функция относительно аргумента , с помощью универсальной тригонометрической подстановки . При этом используются формулы: , , .

Применение универсальной подстановки, иногда приводит к громоздким вычислениям. В частных случаях используют подстановки:

1) , если , при этом: , ;

2) , если , при этом: , ;

3) , еслиили, при этом: , , ;

4) , если , при этом . Здесь - рациональная функция относительно аргументов , .

Интегралы вида , где , - целые неотрицательные числа, вычисляют, преобразуя подынтегральную функцию с помощью формул: , .

Интегралы вида ,, вычисляют, преобразуя подынтегральную функцию по формулам:

; ; .

В задачах 7.91-7.118 найти следующие интегралы от тригонометрических функций:

7.91. 7.92 . 7.93. 7.94. 7.95.

7.96. 7.97. 7.98. 7.99. 7.100.

7.101. 7.102. 7.103 . 7.105. 7.108. 7.109. 7.110. 7.112. 7.113. 7.114. 7.115. 7.116.

Интегрирование гиперболических функций аналогично интегрированию тригонометрических функций. При этом используются формулы: ; ; ; .

В задачах 7.119-7.130 найти следующие интегралы от гиперболических функций:

7.119. 7.120. 7.121. 7.123. 7.124.

Интегралы вида , где -рациональная функция своих аргументов, -целые числа, вычисляются с помощью подстановки , где - наименьший общий знаменатель дробей .

Вычисление интегралов вида , где -рациональная функция своих аргументов, выделением полного квадрата в квадратном трёхчлене и заменой , сводится к вычислению интегралов вида: 1) ; 2) ; 3) , где - рациональная функция своих аргументов. Последние интегралы, соответственно, с помощью тригонометрических или гиперболических подстановок: 1) или ; 2) или ; 3) или

приводятся к интегралам вида или , где - рациональная функция своих аргументов

В задачах 7.131-7.140 найти следующие интегралы от иррациональных функций:

7.131а); б); в). 7.132а); б).

7.133а); б); в). 7.134а); в)

7.135 в).

Смешанные задачи на интегрирование.

В задачах 7.141-7.180 найти следующие интегралы:

7.141 . 7.142. 7.143. 7.145. 7.149. 7.152. 7.154. 7.156. 7.162. 7.163

ОТВЕТЫ: 7.91 7.92 7.93 7.94

7.95 7.96 7.97 7.98

7.99 7.100 7.101 7.102 7.103

7.105 7.108 7.109 7.110

7.112 7.113 7.114 7.115

7.116 7.119 7.120 7.121 7.123

7.124 7.131 а) б) в) 7.132 а)

б) 7.133 а)

б) в) 7.134 а)

в) 7.135 в) 7.141 7.142

7.143 7.145 7.149 7.152

7.154 7.156 7.162

7.163