Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

2012_MATAN-2 / 2012 МАТАН-2 / 2012 ПРАКТИКА / ПРАКТИКА №16-17 ДУ высших порядков (ДУ допускающие понижение порядка, НЛДУ со спец. правой частью)

.doc
Скачиваний:
21
Добавлен:
26.02.2016
Размер:
475.14 Кб
Скачать

3

Практическое занятие: Тема: Дифференциальные уравнения высших порядков (допускающие понижение порядка, линейные со специальной правой частью).

Уравнение вида называется простейшим дифференциальным уравнением -го порядка. Его общее решение находят, выполняя последовательно интегрирований. Уравнение вида , , не содержащее явно искомой функции , с помощью подстановки , где - новая неизвестная функция, приводится к уравнению порядка . Уравнение вида , не содержащее явно независимой переменной , с помощью подстановки , где - новая неизвестная функция от новой независимой переменной , приводится к уравнению порядка на единицу ниже. При этом преобразуются так: , ,…..

В задачах 9.131-9.150 найти общие решения ДУ, допускающих понижение порядка:

9.131 . 9.132 . 9.133 . 9.135 . 9.136 .

9.137 . 9.138 . 9.139 . 9.140 .

9.141 . 9.142 . 9.143 . 9.145 . 9.146 .

9.147 . 9.149 . 9.150.

В задачах 9.151-9.160 найти частные решения следующих уравнений при указанных начальных условиях:

9.151 , , . 9.153 , , .

9.154 , , . 9.155 , , .

9.156 , , . 9.157 , , .

9.158 , , . 9.159 , , .

Общее решение однородного линейного уравнения имеет вид , где - фундаментальная система его решений; - произвольные постоянные. Любая система из линейно независимых частных решений ,,…, однородного линейного уравнения называется фундаментальной системой его решений.

Фундаментальная система решений однородного ЛДУ с постоянными коэффициентами строится на основе характера корней характеристического уравнения . А именно: 1) если - действительный простой корень характеристического уравнения, то ему в ФСР соответствует частное решение дифференциального уравнения; 2) если - действительный корень кратности , то ему в ФСР соответствует линейно независимых частных решений: ,,,…,; 3) если - пара простых комплексно-сопряжённых корней характеристического уравнения, то ей в ФСР соответствует два линейно независимых частных решения: , .

В задачах 9.171-9.184 найти общие решения однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

9.171 . 9.172 . 9.173 . 9.174 . 9.175 .

9.176 . 9.177 . 9.178 . 9.179 .

9.181 . 9.183 . 9.184 .

В задачах 9.185-9.188 найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

9.185 , , . 9.186 , , .

9.187 , , . 9.188 , , .

Общее решение неоднородного ЛДУ имеет вид , где - общее решение соответствующего однородного уравнения, - какое-нибудь частное решение данного неоднородного уравнения.

Частное решение уравнения с правой частью специального вида ищется методом неопределённых коэффициентов в виде , где , если число не является корнем характеристического уравнения, и равно кратности корня в противном случае; и - полные многочлены степени с неопределёнными коэффициентами. Примерами полных многочленов с неопределёнными коэффициентами степени соответственно являются: , , , ,…. Для нахождения коэффициентов многочленов и , надо подставить решение в неоднородное ДУ и приравнять коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях полученного равенства. В результате получим систему уравнений, решив которую, найдём значения коэффициентов.

Частное решение неоднородного ЛДУ с правой частью равно сумме частных решений неоднородных уравнений с той же левой частью и правыми частями (принцип наложения решений).

В задачах 9.189-9.202 для каждого из неоднородных линейных ДУ с постоянными коэффициентами написать общие решения уравнений (числовых значений коэффициентов в частных решениях не находить):

9.189 , если: а); б); в) ; г) .

9.190 , если: а); б); в) ; г) .

9.191 . 9.192. 9.193 .

9.196 . 9.197 . 9.198 .

В задачах 9.203-9.212 для каждого из неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами найти их общие решения:

9.203 . 9.204 . 9.205.

9.206 . 9.207 . 9.208 . 9.209 .

В задачах 9.213-9.218 найти частные решения уравнений, удовлетворяющих указанным начальным условиям:

9.213 , , . 9.214 , .

9.215 , , . 9.216 , , .

ОТВЕТЫ: 9.131 9.132

9.133 9.135 9.136 9.137

9.138 9.139 9.140

9.141 9.142 9.143

9.145 9.146 9.147 9.149

9.150 9.151 9.153 9.154

9.155 9.156 9.157 9.158 9.159

9.171 9.172 9.173 9.174

9.175 9.176 9.177

9.178 9.179 9.181

9.183 9.184 9.185

9.186 9.187 9.188 9.189 ,

где а) ; б) ; в) ; г) .

9.190 , где а) ; б) ; в) ;

г). 9.191

9.192 9.193

9.196 9.197

9.198 9.203

9.204 9.205

9.206 9.207 9.208

9.209 9.213 9.214 9.215

9.216

Соседние файлы в папке 2012 ПРАКТИКА