Методичка. Неопределённый интеграл

3

5

3

5

6.7 а)

x

sin4x

C

б)

x

sin8x

C

2

8

2

16

6.8 а)

x

sin8x

C

б)

3

x

1

sin6x

1

sin12x C

8

12

96

64

8

6.9 а)

1

tg3x tgx x C

б)

1

tg2x ln|cosx| C

3

1

1

2

1

1

6.10 а)

cos4x

cos6x C б)

sin3x

sin7x C

8

12

6

14

R1(t)dt , где R1 - рациональная функция относительно аргумента

1

t , с помощью подстановки (ax b)

p

t , где

p - наименьший об-

щий знаменатель дробей

m1

,

m2

,...,

mk

.

n2

n1

nk

Интегралы вида R(x,

)dx , R(x,

a2

x2

x2 a2 )dx, где R -

вида R1(sint,cost)dt , где R1

- рациональная функция относитель-

но аргументов sint

и cost ,

с помощью тригонометрических под-

становок:

R(x,

x asint

R1

(sint,cost)dt

x ,

a2 x2 )dx

dx

acostdt

t arcsin

a

x atgt

R(x,

x2 a2

)dx

a

R1(sint,cost)dt

x ,

dx

dt

t arctg

cos2 t

a

x

a

R(x,

cost

a .

x2 a2 )dx

R1(sint,cost)dt

asint

t arccos

x

dx

dt

cos

2

t

R(x,

Интегралы вида

ax2 bx c)dx ,

где

R - рациональная

функция

своих аргументов,

приводятся к

интегралам

вида

2

b 2

b2

полного квадрата ax

bx c a x

c

,

с последующей

2a

4a

заменой переменной x

b

t .

2a

Замечание.

Такой

способ

нахождения

интегралов

R(x,

)dx

ax2 bx c

требует последовательного выполнения не-

x2 2x 2 (x2 2x) 2 (x2

2x 12 1) 2 (x 1)2 1 и сдела-

ем замену (x 1) t .

Получим

x 1 t x t 1

x2 2x 2dx (x 1)2

1dx

t2 1dt

dx (t 1) dt dt

используем

1

t

2

2

2

2

2

2

t

1 dt

табличный

ln|t t

1

|

t

1

2

2

интеграл 24

выполняем

1

x 1

обратную

ln| x 1

(x 1)

2

(x

2

1 C

1|

1)

2

2

замену

1

|

x 1

ln| x 1

x2 2x 2

x2 2x 2 C .

2

dx

2

Пример 7.2 Найти интеграл

.

(1 4 x) x

Решение.

1

1

Подынтегральная функция имеет вид R(x,x4,x2 ) . Наименьшим

общим знаменателем дробей

1

,

1

является знаменатель p 4. По-

1

4

2

этому делаем замену x

p

t , где

p 4. Получим:

dx

1

4t

3

dt

tdt

x4 t x t4

4

(1 t)t

2

(1

4

x) x

4

3

t 1

dx

(t ) dt 4t dt

(t 1 1)dt

1

используем

4

4

1

dt

таблицу

4t 4ln|t 1| C

t 1

t 1

интегралов

выполняем

4

4

4

x

4ln1

x

C .

обратную

замену

x tgt

1 x2

x2

12

tg2

t 1

dt

dx

dx

dt

4

4

4

2

x

x

dx

tg

t

cos

t

cos2 t

1

dt

cost

cost

dt .

sin

4

t

cos

2

t

sin

4

t

cos4 t

Пришли

к интегралу

вида

R1(sint,cost)dt .

Так

как

функция

R (sint,cost)

cost

является

нечётной относительно

аргумента

1

sin4 t

cost ,

то

делаем

замену

sint z .

Получим

sint z

cost

1 z2

dz

dz

z

2

4

dt cost

1 z

dz

sin

4

z

4

z

4

1 z

2

t

dz

dt

1 z

2