Методичка. Неопределённый интеграл

xdx

1

1

x 1

12 4(x 1)

2

arcsin

C

4

2

8 8x 4x

2

3

1

1

x 1

8 8x

4x

2

arcsin

C .

2

4

3

Вопросы для самопроверки.

1.

С помощью каких замен переменной интегрирования можно

найти интегралы:

4 3x

dx,

x2 1

dx,

x3

dx.

5x 2

2x 3

4 x

2.

С помощью каких замен переменной интегрирования можно

найти интегралы:

xdx

,

xdx

.

2

2 3x

2

x 3

3.

С помощью каких замен переменной интегрирования можно

найти интегралы:

xdx

,

xdx

,

xdx

.

3 x

2

2

2

x

4

3x

2

5.

Выделите

полный

квадрат

в

выражениях: x2 2x 3,

x2 4x 13,

2x2 5x 7 , 2 x x2 ,

2 3x 2x2 .

Упражнения для самостоятельного решения.

Найти следующие интегралы:

4.1

а)

2x 3

dx

б)

1 3x

dx

в)

3x 4

dx

2x 1

3 2x

5 x

4.2

а)

x2 1

dx

б)

x2 3

dx

в)

x2 5x 7

dx

x 1

x 2

x 3

4.3 а)

xdx

б)

xdx

в)

xdx

4x

2

5

3x

2

1

2 3x

2

4.4 а)

(x 3)dx

б)

(2x 3)dx

в)

(3x 2)dx

x

2

9

x

2

4

4 x

2

4.5 а)

dx

б)

dx

в)

dx

x

2

6x 5

x

2

4x 5

6x x

2

5

4.6 а)

dx

б)

dx

2x

2

5x 7

2 3x 2x

2

4.7 а)

(6x 1)dx

б)

(x 3)dx

в)

(7 x)dx

2

2

3 2x x

2

x 4x 13

x 2x 2

4.8 а)

(x 4)dx

б)

xdx

2

8 4x 4x

2

x x 12

dx

4.9

Неопределённый

интеграл

равен

3 2x x2

ax 1

arcsin

C. Тогда a ...?, b ...?

b

4.10

Неопределённый

интеграл

1 3x

dx

равен

3 2x

4.1 а)

x ln|2x 1| C ;

б)

3

x

11

ln|2x 3| C;

4

2

в)

3x 19ln|5 x| C .

(x 1)2

(x 2)2

4.2 а)

2x 2ln | x 1| C ;

б)

4x ln | x 2| C ;

2

2

(x 3)2

в)

x ln | x 3| C.

2

1

1

1

4.3

а)

ln|4x2 5| C ;

б)

3x2

1 C ;

в)

2 3x2

C .

8

3

3

4.4

а)

| C;

б)ln | x2

9| arctg x 3 C;

x2 4 3ln | x

x2 4

2arcsin x

2 C .

в)

3

4 x2

4.5

а)

1

x 5

C ;

б)ln

C ;

ln

x 2

x2 4x 5

x 1

4

x 3

в)arcsin

C .

2

2

4x 5

1

4x 3

4.6

а)

arctg

C ;

б)

arcsin

C .

5

31

31

2

4.7

а) 3ln | x

2

11

x 2

C ;

4x 13|

arctg

3

3

б)

C ;

x2 2x 2 2ln

x 1

x2

2x 2

x 1

в)

3 2x

x

2

C .

6arcsin

2

4.8

а)

1

ln | x2 x 12|

9

x 4

C;

ln

2

x 3

14

1

2x 1

1

б)

8 4x 4x

2

C .

arcsin

4

3

a 1, b 2.

4

4.9

4.10

a 11.

P (x)

b xm b xm 1

... b

вида

R(x)

m

0

1

m

. Если m n , то дробь

Q (x)

xn a xn 1

a

0

... a

n

n

1

Pm(x)

T

(x)

Sl(x)

, где

T

(x),S

(x) - многочлены от x ,

Q

n

(x) m n

Q (x)

m n

l

n

Простыми называют дроби вида:

A1

,

Ak

,

B1x C1

,

ax b

(ax b)k

ax2 bx c

Bk x Ck

, где A,B ,C - некоторые числа,

k 1, причем трех-

(ax2 bx c)k

i i i

менателя Q (x)

на множители (ax b) , (ax b)k , (ax2 bx c),

n

(ax2 bx c)k .

Каждому множителю

вида

(ax b) в разложении правильной

дроби соответствует простая дробь

A1

.

ax b

Каждому множителю вида

(ax b)k , где

k 1, в разложении

правильной дроби соответствует сумма из k

простых дробей вида

A1

A2

...

Ak

.

ax b

(ax b)2

(ax b)k

Каждому

множителю

вида

(ax2 bx c)

(без действительных

Каждому множителю вида (ax2 bx c)k , где

k 1, в разложе-

нии правильной дроби соответствует сумма из k

простых дробей

вида

B1x C1

B2x C2

...

Bkx Ck

.

ax2 bx c

(ax2 bx c)2

(ax2 bx c)k

Числа Ai,Bi,Ci

,

входящие в разложение, заранее неизвестны. Их

рую,

находят неизвестные числа Ai,Bi,Ci и, тем самым,

находят

окончательный вид разложения.

Итак,

для

интегрирования

рациональной

дроби

P (x)

b xm

b xm 1

... b

m

0

1

m

необходимо:

Q (x)

xn

a xn 1

a

0

... a

n

n

1

Pm(x)

T

(x)

Sl(x)

, где l n;

Q

n

(x)

m n