Методичка. Неопределённый интеграл

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет» Набережночелнинский институт

С.Н. Тимергалиев, А.Н. Углов, Г.А. Якупова

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРАКТИКУМ

Учебно-методическое пособие для практических занятий и самостоятельной работы студентов

инженерно-технических, экономических и гуманитарных направлений подготовки бакалавров

Набережные Челны

2015

УДК 51 (076)

Печатается по решению редакционно-издательского совета Набережночелнинского института Казанского (Приволжского) федерального университета

Рецензенты:

С.Н. Матвеев, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики Набережночелнинского института К(П)ФУ И.А. Шакиров, кандидат физико-математических наук, доцент, проректор по дополнительному образованию НИСПТР

Тимергалиев С.Н., Углов А.Н., Якупова Г.А.

Неопределённый интеграл. Практикум: Учебно-методическое пособие для практических занятий и самостоятельной работы студентов инженерно-технических, экономических и гуманитарных направлений подготовки бакалавров. – Набережные Челны: Изд-во:

НЧИ К(П)ФУ, 2015. –74с.

Учебно-методическое пособие составлено на основании требований Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования для студентов инженерно-технических, экономических

игуманитарных направлений подготовки бакалавров, изучающих раздел математики – неопределённый интеграл. Разработано на кафедре «Математика» и предназначено для использования в учебном процессе.

Материал учебно-методического пособия представлен в виде отдельных практических занятий, для каждого из которых изложен краткий теоретический материал, подробно разобрано решение типовых задач, приведены вопросы для самопроверки и задачи для самостоятельного решения, указана рекомендуемая дополнительная учебная литература. Все задачи для самостоятельного решения снабжены ответами. На последних страницах пособия помещены необходимые справочные материалы.

Учебно-методическое пособие адресовано студентам как дневной, так

изаочной формы обучения.

УДК 51 (076)

©Тимергалиев С.Н., Углов А.Н., Якупова Г.А., 2015

©Набережночелнинский институт К(П)ФУ, 2015

2

Основными понятиями данного раздела математики являются понятия первообразной и неопределённого интеграла.

Операция интегрирования (нахождения неопределённого интеграла) значительно сложнее операции дифференцирования (нахождения производной). Интегрирование часто может быть выполнено не единственным способом. Выбор наиболее рационального способа зависит от тренированности и сообразительности, знания искусственных приёмов.

Студент, пользующийся этим пособием должен перед каждым практическим занятием изучить соответствующий теоретический материал, внимательно, с выполнением всех действий на бумаге, разобрать решённые примеры, ответить на теоретические вопросы и только после этого приступить к задачам, предложенным для самостоятельного решения. Таблицу производных и интегралов следует заучить.

Для удобства и краткости записи условимся придерживаться следующих сокращений: - любой, всякий; - существует; R - множество действительных чисел; C R - произвольная постоянная; - тожественное равенство, т.е. равенство при любых значениях аргумента.

Практическое занятие 1. Первообразная. Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование.

Литература: [1] –C.274-278; [2] –C.193-200; [3] –C.159-163.

3

Свойства первообразной функции.

на промежутке X , то F2 (x) F1(x) C .

Таким образом, функция f (x) может иметь различные первообразные, но все они отличаются друг от друга только постоянными слагаемыми.

Неопределённым интегралом от функции f (x) на промежутке

X называется совокупность всех её первообразных F(x) C и

обозначается f (x)dx .

В обозначении f (x)dx : - знак интеграла; x - переменная ин-

тегрирования; f (x) - подынтегральная функция; f (x)dx - подынтегральное выражение.

Неопределённый интеграл является функцией переменной интегрирования на данном промежутке.

Операция нахождения неопределённого интеграла от функции f (x) называется интегрированием этой функции.

Функция f (x), для которой на промежутке X существует неопределённый интеграл, называется интегрируемой на этом промежутке.

Неопределённый интеграл f (x)dx на промежутке X существу-

ет для любой непрерывной на этом промежутке функции f (x)

(достаточный признак интегрируемости).

Основные свойства неопределенного интеграла:

1.f (x)dx f (x) .

2.f (x)dx f (x) C .

3.kf (x)dx k f (x)dx, где k - некоторое число.

4

a 0,b - некоторые числа.

Нахождение неопределенного интеграла f (x)dxсостоит в таком

преобразовании подынтегрального выражения, чтобы получить интегралы из таблицы основных интегралов (приложение №3). Основными методами интегрирования являются: непосредственное интегрирование, интегрирование заменой переменной и по частям.

Непосредственным интегрированием (интегрированием методом разложения) функции f (x) называют такой способ нахожде-

ния неопределенного интеграла f (x)dx, при котором с помощью

только тождественных преобразований подынтегральной функции f (x) и свойств 3-4 неопределенного интеграла, его нахождение сводится к нахождению табличных интегралов.

Рекомендации к решению задач.

При непосредственном интегрировании необходимо внимательно посмотреть на подынтегральную функцию f (x), а также на таблицу основных интегралов и правильно установить какими из табличных интегралов придётся воспользоваться. Это определит, тем самым, и те тождественные преобразования функции f (x), которые необходимо будет выполнить для нахождения неопределённо-

m

го интеграла f (x)dx, в частности, преобразования: nxm xn ,

1x k .

xk

Если подынтегральную функцию f (x) можно представить в виде суммы (разности) нескольких функций, то, как правило, это следу-

ет сделать, а затем интеграл f (x)dx, используя свойство 4, раз-

бить на сумму (разность) интегралов.

Примеры решения задач.

5

Решение. Во всех трех случаях воспользуемся одним и тем же табличным интегралом 6 (приложение №3) от степенной функции xk , но при различных значениях степени k .

Пример 1.2 Найти интегралы: а) 7x5dx ; б) 34 x3 dx; в) 6 dx. x3

Решение. Во всех трех случаях, используя свойство 3, т.е. вынося за знак интеграла постоянный множитель, а также табличный интеграл 6 (приложение №3), получаем:

6

Решение. При решении этих примеров, используя свойства 4 и 3, т.е. представляя интеграл в виде суммы и разности интегралов и вынося за знак интеграла постоянный множитель, а также табличные интегралы 1,2,6, 7 (приложение №3), получаем:

а) (x3 3x2 4x 5)dx x3dx 3x2dx 4xdx 5dx

Замечание. Если нахождение данного интеграла сводится к нахождению алгебраической суммы интегралов, то для записи окончательного ответа поступают следующим образом: каждый из интегралов в алгебраической сумме находят с точностью до постоянной, а затем, к полученному выражению, прибавляют произвольную постоянную С .

7