Методичка. Неопределённый интеграл

v(x) dv(x) (x

3

1)dx

x4

x

и применим формулу интегри-

4

рования по частям. Получим:

4

4

1

(x3

1)lnxdx uv

vdu

lnx

x

x

x

x

dx

4

4

x

x

4

3

lnx

x

x

1 dx .

4

4

x

3

1

x

4

Учитывая,

что

1 dx

x C ,

находим

4

4

4

(x3

x

4

x

4

1)lnxdx lnx

x

x C .

4

16

(x3

x

4

x

4

1)lnxdx

x lnx

x C .

4

16

ln(2x 3) .

Поэтому положим

u(x) ln(2x 3), тогда

dv(x) dx.

После

чего

найдём

1

2

dx,

du(x) u (x)dx (ln(2x 3)) dx

(2x 3) dx

2x 3

2x 3

v(x) dv(x) dx x

и

применим формулу интегрирования по

частям. Получим:

2

ln(2x 3)dx

ln(2x 3) x x

dx

uv vdu

2x 3

2x

xln(2x 3)

dx.

2x 3

Теперь

находим

2x

2x 3 3

(2x 3) 3

3

dx

dx

dx

1

dx

2x 3

2x 3

2x 3

2x 3

dx 3

dx

x

1

ln(2x 3) C

(использовали

таблич-

3

2x 3

2

ный интеграл 8 ).

Тогда ln(2x 3)dx

1

xln(2x 3) x 3

ln(2x 3) C

2

xln(2x 3) x

3

ln(2x 3) 3C .

(3C) С ,

2

Переобозначив

окончательный ответ запишем в виде:

ln(2x 3)dx

3

x

ln(2x 3) x C

.

2

arctgx. Поэтому положим u(x) arctgx, тогда

dv(x) xdx . После

чего

найдём

1

dx ,

1 x2

x2

du(x) u (x)dx (arctgx) dx

v(x) dv(x) xdx

и применим формулу интегрирования по

частям. Получим:

2

xarctgxdx

x2

x2

1

uv vdu

arctgx

2

2

2 dx

1 x

x2

1

x2

arctgx

dx.

2

2

1 x2

Теперь

находим

x2

x2 1 1

(1 x2 ) 1

1

dx

dx

dx

1

dx

1 x

2

1 x

2

1 x

2

1 x

2

dx

dx

x arctgx C

(использовали тождественное пре-

1 x

2

образование ( x2 x2

1 1), свойства неопределённого интеграла

и таблицу интегралов).

Тогда xarctgxdx

x2

arctgx

1

x arctgx C

2

2

x2

1

1

1

arctgx

x

arctgx

C .

2

2

2

2

1

Переобозначив

C

С

, окончательный ответ запишем в виде:

2

x

2

1

1

xarctgxdx

arctgx

x C .

2

2

интегралах:

(3x 5)sin7xdx ,

x2e3xdx,

интегралах:

3

x lnxdx,

(x2 1)ln(2x)dx,

xdx

xdx

xcosxdx

интегралах:

,

,

.

cos2 x

sin2 3x

sin2 x

3.1. а) (x 7)sinxdx

б) (3 2x)cosxdx

в) (x 2)exdx

3.2. а)

xsin2xdx

б) xcos5xdx

в)

xe3xdx

3.3. а)

xsin4xdx

б) xcos6xdx

в) (x 2)3x dx

3.4. а)

(1 3x)cos2xdx

б) (3x 4)sin5xdx

в) (4 x)e 3xdx

3.5. а)

lnxdx

б) xlnxdx

в) x2 lnxdx

3.6. а)

ln

x

dx

б)

ln(1 x2 )dx

в) ln(5 4x)dx

x

3.7. а)

arctgxdx

б) arcsinxdx

в) arccosxdx

3.8. а)

arctg2xdx

б) arcsin3xdx

в) arccos4xdx

3.9.

Неопределённый

интеграл

(x 2)cos3xdx

равен

(x 2)

sin3x

cos3x

C . Тогда a ...?,

b ...?

a

b

lnx

aln

x

b

3.10. Неопределённый

интеграл

dx

равен

C .

3

Тогда a ...?, b ...?

x

x

x

Ответы.

3.1. а)

(7 x)cosx sinx C ; б)

(3 2x)sinx 2cosx C ;

в)

(x 1)ex C .

3.2. а)

1

xcos2x

1

sin2x C ;

1

1

2

1

4

1

б)

xsin5x

cos5x C;

в)

xe3x

e3x C .

5

25

3

9

3.3. а)

1

xcos4x

1

sin4x C;

б)

1

xsin6x

1

cos6x C ;

16

36

4

6

в)

3x

(x 2)ln3 1

. 3.4. а)

(1 3x)

3

cos2x C ;

C

sin2x

ln2 3

2

4

б)

(3x 4)

cos5x

3

sin5x C;

в)

(x 4)

e 3x

1

e 3x C .

5

25

x2

x2

3

x3

9

x

3

3.5. а)

xlnx x C; б)

lnx

C ;

в)

lnx

C .

2

4

3

9

3.6. а)

2

xlnx 4 x C;

б) xln(1 x2 ) 2x 2arctgx C ;

5

1

2

в)

x

ln(5 4x) x C. 3.7. а) xarctgx

ln(1 x

) C ;

2

4

б)

xarcsinx 1 x2 C ;

в) xarccosx 1 x2

C .

3.8. а)

1

ln(1 4x2) C ; б) xarcsin3x

1

C ;

xarctg2x

1 9x2

4

3

в)

1

C . 3.9. a 3,b 9.

3.10.

xarccos4x

1 16x2

4

Pn(x)

,

x

,

x

,

Ax B

,

Ax B

.

ax b

ax2 b

ax2 b

ax2 bx c

ax2 bx c

Интегралы вида

Pn (x)

dx, где P (x) a

xn a xn 1

... a

, на-

ax b

n

n

0

1

Интегралы вида

x

dx и

x

dx , находят заменой

ax

2

2

b

ax

b

Ax B

dx,

сначала в квадратном трёхчлене ax2 bx c вы-

ax2 bx c

деляют

полный

квадрат

2

2

b

2

b

b 2

b 2

ax

bx c a

x

x

c a x

x

c

a

a

2a

2a

2

b

b 2

b

2

c a

x

b 2

c

b2

. Затем,

a x

x

a

a

4a

2a

2a

2a

b

делают замену переменной интегрирования

x

t

и, исполь-

2a

табличных

интегралов

(приложение №3) и интегралов вида

x

dx

и

x

dx .

ax

2

2

b

b

ax

t 2

3x 2 t x

t 2

3

d(3x 2) dt

3

1 dt

3x 1

3

1

(t 3)dt

dx

3x 2

3t

3

t

(3x 2) dx dt

1

3

1

dt

используем

1

dt

1

dt

таблицу

t ln|t | C

t

t

3