Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4605 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Набережночелнинский институт КФУ
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Методичка. Неопределённый интеграл

.pdf
Скачиваний:
80
Добавлен:
26.02.2016
Размер:
656.87 Кб
Скачать
☆

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

используем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 dx 12

 

 

 

 

6

 

 

 

x

 

 

 

 

dx

 

 

табличные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

интегралы 1,3,6,7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

8x 12 2

 

x 6ln| x

|

 

 

C 8x 24

x 6ln| x

|

C

 

 

3

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8x 24

 

6ln | x|

 

 

C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

б)

 

sin2

 

xdx

sin

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x

 

1 cos2 x

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1 cos

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

1

 

dx

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

cos

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

x

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

используем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 dx

 

 

 

 

 

 

dx

 

табличные

 

tgx x C .

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

cos

 

 

x

 

 

 

 

 

cos

 

x

 

 

 

 

 

 

 

интегралы 1,13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

 

x

x 2

dx

 

 

2 x

 

x

sin

 

 

cos

 

 

sin

 

 

 

2sin

 

 

2

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

2 x

 

cos

 

 

cos

 

 

dx

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

2 x

 

cos

2 x

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

x

 

x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

2sin

 

 

cos

 

 

sin

2

 

 

 

 

2

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx sinxdx

(1 sinx)dx

sinx

 

 

используем

 

 

 

 

табличные

 

x cosx C .

 

 

 

интегралы 1,11

 

 

 

 

 

 

Пример 1.6 При каких значениях параметров a

 

и b

функция

F(x) ax3

bx2

x 4

является первообразной

 

для

функции

f (x) (3x 1)2 ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

Воспользуемся

 

определением

первообразной:

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая,

 

 

 

 

 

что

F (x) f (x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

bx

2

 

 

2

2bx 1

и

(3x 1)

2

9x

2

6x 1

F (x) (ax

 

 

x 4) 3ax

 

 

 

11

получим тождественное равенство 3ax2 2bx 1 9x2 6x 1, которое будет верным тогда и только тогда, когда в обеих его частях будут равны коэффициенты при одинаковых степенях x . Прирав-

нивая коэффициенты, получим:

3a 9

a 3,

b 3.

 

 

2b 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

Пример 1.7 Неопределённый

интеграл

 

1

 

 

 

x

 

dx

равен

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a(x2 b) C . Тогда a ...?, b ...? 7 4x

Решение. Найдём интеграл методом непосредственного интегрирования, представим его в требуемом виде, после чего найдём неизвестные значения параметров a и b.

 

 

1 4

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

x

 

dx

x4 x4

dx x4dx x 4dx

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

 

 

5

1

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4

 

 

 

x

4

 

 

 

 

 

 

x4

 

 

x

4

 

 

 

 

4

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

C

x4

 

 

C

 

 

 

 

3

 

 

 

 

5

 

 

 

 

7

 

 

 

1

 

 

7

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4

 

 

 

 

 

 

 

 

4

4

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

приводим

к общемузнаменателю

 

 

7 1

 

 

 

 

 

 

7

 

1

 

 

 

 

 

4(x2

 

 

 

 

a(x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x4 x4 4 7

 

 

4x4 4

4 7

 

7)

 

b)

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

C

 

 

 

 

C.

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

74

 

x

7 4

 

x

7 4

 

x

 

 

 

7x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда делаем вывод, что a 4,

b 7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вопросы для самопроверки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

Сформулируйте

 

определение первообразной для

функции

 

f (x), заданной на промежутке X .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Можно ли утверждать, что две различные первообразные для одной и той же функции отличаются на постоянное слагаемое? Какие из следующих функций:

12

sinx,(sinx 5),5sinx,(sinx 5x),(sinx 5) являются первооб-

разными для функции f (x) cosx?

3.Что называется неопределённым интегралом от функции f (x),

заданной на промежутке X ? Для каких функций он всегда существует?

4.Сформулируйте свойства неопределённого интеграла.

5.В чём состоит метод непосредственного интегрирования для нахождения неопределённого интеграла f (x)dx ?

Упражнения для самостоятельного решения.

Найти интегралы непосредственным интегрированием, используя свойства и таблицу интегралов:

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

1.1

а)

 

6x

 

 

 

8x

 

 

 

 

5

dx

 

б)

2x

 

 

3x

 

 

4x

 

 

 

 

 

 

6 dx

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2

а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

x

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

4

 

x

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

б) x5

 

3x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.4

а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

2

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

3

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.5

а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

x

3

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x

 

3

 

x

2

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.6

а)

10x8 3

 

 

 

 

 

 

б)

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

 

2x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

x

4

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.7

а)

 

(x2 1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

(x2 2)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

 

 

1 x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

13

1.8 а)

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

3

x2 4 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2

 

1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 x)2

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.9 а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

б) x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2

1)(x2 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

 

 

 

 

б) ( x 1)(x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1)dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.11

а)

ex

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

2x 1 3x2

2 x dx

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 sin

3

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

2

 

 

 

 

 

2

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.12

а)

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

x sin

 

 

dx

 

 

 

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

2 2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.13

а)

 

2 sinx

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

cos2

 

x 3cosx 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

sin

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.14

а)

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

e

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

2x 3cosx

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.15

а)

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x2 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x2 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.16

а)

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 4x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.17

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При

 

 

 

 

каких

 

 

 

значениях

 

 

параметров

 

 

 

и

 

 

 

 

 

b функции

F (x)

(2 bx)2

 

 

 

 

и

 

 

F (x) 1 x 2x2

 

 

являются

первообразными

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для одной и той же функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.18

Если функция

 

 

F(x) 2x3 3x2

4x 5

 

является первообраз-

ной для функции

f (x), то значение f (2) ...?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3

 

 

 

)2

 

 

 

 

1.19

 

 

 

Неопределённый

 

 

интеграл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

равен

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax b

x

9ln| x| C . Тогда a ...?,

b ...?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

1.20

 

 

 

 

 

 

Неопределённый

 

 

 

 

интеграл

 

 

 

 

 

 

(1

 

 

 

 

 

x)2

 

 

dx

 

 

 

 

равен

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

ax b

 

 

x

3

 

C . Тогда a ...?,

b ...?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.1

а) 2x3 4x2

 

3ln| x| 5x C

 

 

б)

 

 

 

 

x3

 

 

2x2

 

 

5ln| x| 6x C

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2

а) ln| x|

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) 2ln| x|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

2x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3

а)

2

 

x

 

 

 

 

 

3

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

x6

 

 

 

 

 

 

3x2

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

x

 

 

 

8

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

C

x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

1.4

а) 6

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

9 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

x2 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

x

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.5

а) 2

 

 

 

 

 

44

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

33

 

 

 

2x C

 

 

x

 

x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.6

а) 2x5

1

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

1

 

 

1

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.7

а)

2ln| x|

 

 

 

 

 

1

 

C б)

4x

 

4

 

 

C в)x

2ln| x

|

1

C

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x2

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

1.8

а)

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

2(x 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

 

6

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

(x 4)3

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

x6

 

 

 

 

4

 

 

x3

 

C

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

x5

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.9

а)4ln| x|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

x2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

2x2 12x 6

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.10 а) 3

 

 

 

 

 

 

3x

4

 

 

 

 

 

 

3x

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

x x C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.11 а) ex tgx C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

2x

x3

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.12 а) cosx ctgx C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) ctgx tgx C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

1.13

а) 2сtgx ln

x

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg

 

 

 

C

 

x 3ln

tg

 

 

 

 

 

 

 

 

2tgx C

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

1.14

а) ex

1

 

2arctgx C

 

б)

x2 3sinx 4arcsinx C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.15

а)

 

ln

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

arctg

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

8

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.16

а)

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

x

 

 

x2

 

C

ln

 

 

 

 

 

x

2x2

3

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2x

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

arcsin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

5

 

1.17a 32,b 8

 

1.18 f (2) 16

1.19a 1,b 12

 

1.20a 3,b 4

Практическое занятие 2. Интегрирование заменой переменной.

Литература: [1] –C.278; [2] –C.200-201; [3] –C.163-165.

Краткиe сведения из теории.

Часто, заменой переменной интегрирования x t , удается све-

сти нахождение интеграла f (x)dx к нахождению более простого,

по новой переменной, интеграла g(t)dt с последующей заменой

t x .

Интегрирование заменой переменной основано на следующей теореме.

Теорема. Пусть f (x) - функция, непрерывная на промежутке X и

пусть x (t) - непрерывно дифференцируемая на промежутке T функция с множеством значений X , имеющая обратную функцию t 1(x) . Тогда справедливо равенство:

f (x)dx f ( (t)) (t)dt t 1(x) .

Интегрирование заменой переменной очень часто выполняется с помощью подстановки (x) t следующим образом:

16

 

(x) t

 

 

d (x) dt

 

f (x)dx

g(t)dt G(t) C t (x)

 

 

 

(x)dx dt

 

 

 

f (x)dx g(t)dt

G( (x)) C F(x) C ,

где G(t) и F(x) - первообразные для функций g(t) и f (x), соответственно.

Функция t (x) подбирается таким образом, чтобы подынтегральное выражение приняло более удобный вид для интегрирования по новой переменной. Выбор ее определяется конкретным видом подынтегрального выражения.

Рекомендации к решению задач.

При интегрировании заменой переменной необходимо внимательно посмотреть на подынтегральную функцию f (x) и правильно установить, какое выражение (x) следует принять за но-

вую переменную интегрирования t. В качестве новой переменной интегрирования очень часто выбирают аргументы тех основных элементарных функций, которые входят в выражение функции f (x).

Заменить переменную интегрирования в неопределённом интеграле, вообще говоря, можно разными способами. Наиболее удачной считается та замена, которая позволяет найти исходный неопределённый интеграл наиболее просто.

Для того, чтобы видеть нужные подстановки необходимо держать в уме таблицу основных неопределённых интегралов и уметь представлять подынтегральную функцию f (x) через функции, для которых существуют табличные интегралы, в частности видеть

представления:

f (x) xg(ax2

b),

f (x)

1

g(lnx),

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

x

f (x)

g(arctgx) ,

f (x)

 

 

g(arcsinx) ,

в общем случае

 

 

 

 

1 x2

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

f (x) (x)g( (x)), где в качестве новой переменной t выбирается аргумент (x) функции g . Такое умение вырабатывается путём решения задач.

17

Примеры решения задач.

 

Пример 2.1 Найти интегралы:

в) e 2x 7dx.

а) 3 3 x dx; б) cos(3x 2)dx;

Решение.

а) Для нахождения данного интеграла представим подынтеграль-

1

 

ную функцию в виде степенной 3

3 x

(3 x)

3

и за новую пере-

менную интегрирования примем её аргумент, т.е. выполним замену (3 x) t . Получим, используя свойство 3 неопределённого интеграла:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 x t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d(3 x) dt

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

3 x dx (3 x)

3

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3 x) dx dt dx dt dx dt

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3 x)3 dx t3 ( dt) t3dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

используем

 

 

1

1

 

 

 

 

4

 

 

 

 

( t

)dt

t

dt

 

 

 

 

t3

 

 

 

 

t3

 

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

табличный

 

 

 

C

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

интеграл 6

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 3

 

 

 

 

 

выполняем

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

C

обратнуюзамену

 

 

 

3 (3 x)

 

C .

 

 

 

4

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 3 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) Для нахождения данного интеграла за новую переменную интег-

рирования примем аргумент (3x 2)

функции cos(3x 2) , т.е. вы-

полним замену 3x 2 t. Получим,

используя свойство 3 неопре-

делённого интеграла:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x 2 t

 

 

 

 

 

 

 

 

d(3x 2) dt

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos(3x 2) dx (3x

2) dx dt 3dx

dt dx

 

dt

 

 

 

 

1

 

1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos(3x 2)dx cost

 

dt

 

cosdt

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

 

18

используем

 

1

costdt

1

costdt

 

 

 

1

sint C

 

 

табличный

 

3

3

 

 

 

 

интеграл 12

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

выполняем

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

обратнуюзамену

 

 

sin(3x 2) C .

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

t 3x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) Для нахождения данного интеграла за новую переменную интегрирования примем аргумент ( 2x 7) функции e 2x 7 , т.е. выпол-

ним замену 2x 7 t . Получим, используя свойство 3 неопределённого интеграла:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 7 t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d( 2x 7) dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

2x 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

dx ( 2x 7) dx dt 2dx dt dx

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 7

 

t

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

dx e

 

dt

 

 

e

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t

 

 

1

 

 

 

 

 

используем

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

t

 

 

 

 

 

 

 

 

e

dt

 

 

 

dt

табличный

 

 

 

C

 

 

2

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

интеграл 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

выполняем

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

обратнуюзамену

 

e 2x 7 C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 2x 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2.2 Найти интегралы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

5

 

 

dx

.

 

 

 

 

 

 

 

 

а) x

 

 

 

dx;

б) x(x 4)9 dx;

x

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

а) Для нахождения данного интеграла за новую переменную интег-

1

рирования примем аргумент (x 1) функции x 1 (x 1)2 , входящей в состав подынтегральной функции, т.е. выполним замену

19

x 1 t. Получим, используя свойство 4 неопределённого интегра-

ла:

xx 1 dx (x

x

x 1 t x t 1

 

 

 

 

d(x 1) dt

 

 

 

 

 

(t 1)

 

 

1) dx dt dx dt

 

tdt

 

 

 

 

x 1dx (t 1) t dt

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

t

 

t

dt

 

t

dt t

2

dt

 

 

t

dt

 

 

 

 

используем

 

 

 

 

 

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

табличные

 

 

t2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

t

 

t C

t t C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

3

 

5

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

интегралы4,6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

t

 

 

 

t t C 2t

t

 

 

 

C

 

 

 

 

t

t(3t 5) C

5

 

 

3

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

выполняем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

обратнуюзамену

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

(x 1)

 

 

 

 

 

3(x 1) 5 C

2

(x 1)

 

3x 8 C .

 

 

 

 

x 1

x 1

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) Для нахождения данного интеграла за новую переменную интегрирования примем аргумент функции (x 4)9 , входящей в состав подынтегральной функции, т.е. выполним замену x 4 t. Получим, используя свойства 3 и 4 неопределённого интеграла:

 

 

 

x 4 t x t 4

 

 

 

 

 

 

 

d(x 4) dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

dx

 

 

 

9

dt

x(x 4)

 

(x 4) dx dt dx dt

 

(t 4)t

 

 

x(x 4)9 dx (t 4)t9 dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности