Методичка. Неопределённый интеграл
.pdfиспользуем
t10 4t9 dt t10dt 4t9dt t10dt 4 t9dt табличныйинтеграл 6
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t10 1 |
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4 |
t9 1 |
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C |
t11 |
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t10 C |
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10 1 |
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t11 |
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выполняем |
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(x 4)11 |
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t |
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C |
обратнуюзамену |
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(x 4) |
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C. |
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t x 4 |
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в) Для нахождения данного интеграла за новую переменную интег-
рирования примем аргумент x функции 5x , входящей в состав
подынтегральной функции, т.е. выполним замену x t . Получим, используя свойство 3 неопределённого интеграла:
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x t |
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d( |
x) dt |
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dx |
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dx |
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2 5tdt |
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( |
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x |
) dx dt |
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dx dt |
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2dt |
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x |
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x |
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5 x |
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dx |
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5t 2dt 2 5tdt |
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x |
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используем |
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5t |
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выполняем |
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t |
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2 5 dt |
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табличный 2 |
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C |
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обратную замену |
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интеграл |
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ln5 |
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t |
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x |
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2 5 |
x |
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C . |
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Пример 2.3 Найти интегралы: |
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ln5 |
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3 |
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arctg(x 2) |
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dx |
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а) |
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1 lnx |
dx ; б) |
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dx; |
в) |
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. |
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x |
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4 x2 |
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cos2 x |
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tg2x 2 |
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Решение.
21
а) |
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Для |
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нахождения |
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данного |
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интеграла, |
подметим, |
что |
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3 |
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1 lnx |
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3 |
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f (x) |
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1 lnx (1 lnx) |
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1 lnx (x) g( (x)), |
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x |
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x |
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где (x) 1 lnx |
и сделаем замену (x) 1 lnx t . Получим: |
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1 lnx t |
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d(1 lnx) dt |
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3 |
1 lnx |
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t |
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dx |
(1 lnx) dx dt |
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dx |
dt |
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t dt |
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dt |
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x |
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x |
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3 |
1 lnx |
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dx 3 t dt |
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x |
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t |
3 |
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t |
3 |
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3 |
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3 |
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табличный |
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C |
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C |
t |
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t C |
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4 |
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интеграл |
6 |
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3 |
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3 |
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выполняем |
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3 |
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обратную замену |
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и сделаем замену (x) arctg(x 2) |
t . Получим, используя свой- |
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ство 3 неопределённого интеграла: |
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выполняем |
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обратную замену |
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данного |
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cos2 x |
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tg2x 2 |
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tg2x 2 |
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tg2x 2 |
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где |
(x) tgx |
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и сделаем замену |
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(x) tg x t . |
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(x) g( (x)), |
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Получим: |
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tg x t |
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d(tg x) dt |
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dx |
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dt |
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(tg x) dx |
dt |
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dx |
dt |
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cos2 x |
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cos |
2 |
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x |
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tg2x 2 |
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t2 |
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2 |
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dx |
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dt |
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cos |
2 |
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x |
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tg |
2 |
x 2 |
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t |
2 |
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2 |
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используем |
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выполняем |
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табличный |
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обратную замену |
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ln |
t |
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t2 |
2 |
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C |
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t tg x |
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интеграл 22 |
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ln tg x tg2x 2 C .
23
Вопросы для самопроверки.
1.В чём состоит суть метода замены переменной интегрирования для нахождения неопределённого интеграла f (x)dx ?
2.Запишите формулу замены переменной интегрирования в не-
определённом интеграле f (x)dx с помощью подстановки
(x) t .
3. К каким интегралам сведутся интегралы cos(ax b)dx ,
sin(ax b)dx , eax bdx заменой ax b t ?
4.Получите представления подынтегральной функции f (x), за-
данной |
выражениями: |
xg(ax2 b), |
1 |
g(lnx), |
sinx g(cosx), |
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cosx g(sinx), e |
x |
g(e |
x |
) |
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x |
и укажите (x) . |
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в виде (x) g( (x)) |
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5. Получите представления подынтегральной функции |
f (x), за- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
данной |
выражениями: |
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1 |
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g(arctgx), |
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1 |
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g(arcctgx), |
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1 x2 |
1 x2 |
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1 |
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1 |
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g(arcsinx), |
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1 |
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g(arccosx), |
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g(tgx), |
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cos2 |
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1 x2 |
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1 x2 |
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x |
||||||||||||||
1 |
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sin2 x g(ctgx) в виде (x) g( (x)) и укажите (x) . |
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Упражнения для самостоятельного решения. |
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Найти интегралы заменой переменной интегрирования: |
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2.1 а) |
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dx |
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б) |
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2 3xdx |
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||||||||||||||||
5x 2 |
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2.2 а) |
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dx |
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б) |
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dx |
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4x 5 |
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3 4x |
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2.3 а) x (2x 5)10 dx |
б) |
x (3 x)4 dx |
|
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24
2.4а)
2.5а)
2.6а)
xdx |
|
б) |
xdx |
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|
|
|
|
3 |
|
(2 3x) |
4 |
|
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|||
(x 2) |
|
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|
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||||
e 4x 5dx |
б) 43 2xdx |
|
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|
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|||
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x |
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|||
sin(3x 5)dx |
б) cos |
|
|
|
dx |
|||
|
|
|
||||||
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
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|
2.7 а) |
|
|
dx |
cos |
2 |
(3x 1) |
|
|
|
2.8 а) xe (x2 1)dx
2.9 а) ex dx x
б) |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
dx |
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sin |
2 2x |
3cos |
|
5x |
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|||||||||
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3 |
|
4 |
|||||||||||||||||
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б) x2ex3dx |
|
в) x3x2 dx |
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|
xdx |
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|
|
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|
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|
|
|
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|
||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
tgx |
dx |
|
|
|||||||||
cos |
2 |
(x |
2 |
) |
|
|
|
cos |
2 |
x |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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2.10 |
а) sin4 x cosxdx |
|
б) ecosx sinxdx |
в) |
cos5x |
dx |
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|
sin5x |
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|||||||||
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|
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|
dx |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lnx |
|
|
|
|
|||||||||||||
2.11 |
а) sin(lnx) |
|
б) |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
x |
|
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
x(ln |
2 |
x 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||
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tg |
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|
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||||||||||||||||
|
|
а) |
x 1 |
|
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|
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|
|
б) |
|
|
|
arcsinx |
в) x |
5 |
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|
|
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|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.12 |
|
dx |
|
|
|
|
dx |
|
5 x |
2 |
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
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|
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1 x |
2 |
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
x 1 |
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|
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||||||||||||||||
2.13 |
а) |
|
xdx |
|
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|
б) |
|
|
x2dx |
|
|
|
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|
|
в) |
|
|
|
|
exdx |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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1 x |
6 |
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1) |
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(x |
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sin3x |
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dx |
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1 sinx |
dx |
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Ответы. |
3 cos3x |
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1 sin2x |
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x cosx |
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3 4x |
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(3 x)6 C |
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1 |
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5 |
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2 |
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3 |
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1 |
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3 |
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2x |
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1 |
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5x |
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15 |
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3 |
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3 |
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2.8 а) |
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3x2 |
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2 |
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2.9 а) 2e |
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C |
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3 |
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12 |
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|||||||||||
2.13а) |
1 |
|
|
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б) |
1 |
|
arctg(x3) C в)ln |
|
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|
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|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln |
x2 |
|
1 x4 |
|
C |
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|
|
|
e2x |
2 |
|
C |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
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1 |
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3 |
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1 |
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1 |
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|||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||
2.14 а) |
|
|
|
|
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|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
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|
C в) |
|
|
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|
|
C |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4(x2 1)2 |
|
30 50x2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.15а) |
1 |
ln |
|
3 cos3x |
|
C б) |
|
1 |
ln |
|
1 sin2x |
|
C в) ln |
|
x cosx |
|
C |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
Практическое занятие 3. Интегрирование по частям.
Литература: [1] –C.279-281; [2] –C.202-203; [3] –C.165-167.
Краткиe сведения из теории. Рекомендации к решению задач.
26
Если u(x) и v(x) - непрерывно дифференцируемые функции, то справедлива формула интегрирования по частям:
|
|
|
|
u(x)v (x)dx u(x)v(x) v(x)u (x)dx |
|
||
или кратко: udv uv vdu . |
|
|
|
Этой формулой пользуются в тех |
случаях |
для |
вычисления |
f (x)dx , когда подынтегральное выражение f (x)dx |
можно так |
||
|
|
vdu оказывает- |
|
представить в виде uv (x)dx udv, что интеграл |
ся проще интеграла udv.
Для эффективного применения данной формулы необходимо
сначала |
выполнить |
правильное |
представление |
|||||||
f (x)dx u(x)dv(x), |
после |
чего |
найти |
|
|
|
и |
|||
|
du(x) u (x)dx |
|
||||||||
v(x) dv(x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Замечание. Интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|||
dv(x) v |
(x)dx находится с точностью |
|||||||||
до постоянного слагаемого, т.е. в качестве |
|
v(x) выбирается одна |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из первообразных для подынтегральной функции v (x). |
|
|
||||||||
Этим методом вычисляются: |
|
|
|
Pn (x)cos( x )dx, |
||||||
1) |
Всегда |
интегралы |
вида |
|
||||||
Pn (x)sin( x )dx, |
Pn (x)e x dx, Pn (x)a x dx, причем в |
|||||||||
качестве u(x) |
выбирается всегда P (x) a |
0 |
xn a xn 1 ... a |
n |
. |
|||||
|
|
|
|
n |
|
|
1 |
|
2) Часто интегралы, подынтегральная функция которых содержит в качестве множителя одну из следующих функций: ln x, loga x, arcsin x, arccosx, arctgx , arcctgx, причем в качестве u(x) выбирается в этом случае одна из указанных выше функций. Исклю-
чение составляют интегралы вида |
f (x)dx , где |
f (x) |
1 |
g(lnx), |
||||
|
||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
x |
||
f (x) |
g(arctgx) , |
f (x) |
g(arcсtgx) , |
|||||
|
1 x2 |
|||||||
1 x2 |
|
|
|
|
|
27
f (x) |
|
1 |
|
g(arcsinx) , |
|
f (x) |
|
1 |
|
g(arccosx), которые нахо- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 x2 |
|
|
|
1 x2 |
arctgx t , |
|||||
дят заменой |
|
переменной, |
соответственно: ln x t, |
||||||||
arcctgx t, |
arcsin x t , |
arccosx t. |
|
Указанные группы интегралов не исчерпывают всех без исключения интегралов, берущихся методом интегрирования по частям. В некоторых случаях для нахождения интеграла формулу интегрирования по частям приходится применять более одного раза. Кроме того, на практике метод интегрирования по частям может комбинироваться с другими методами интегрирования – методом замены переменной и непосредственным интегрированием.
Примеры решения задач. |
|
|
|
|
|||
Пример 3.1. Найти интегралы: |
|
|
|
|
|||
а) |
(x 1)cosxdx |
б) xe 2xdx |
в) (4x 3)sin 2xdx |
|
|||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
а) |
Данный |
интеграл |
является |
интегралом |
вида |
||
Pn (x)cos( x )dx, где |
Pn (x) x 1. Поэтому |
положим |
|||||
u(x) x 1, |
тогда |
dv(x) cosxdx. |
После чего |
найдём |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
du(x) u (x)dx (x |
1) dx 1 dx dx , |
|
|
используем
v(x) dv(x) cosxdx табличный sin x и применим
интеграл12
формулу интегрирования по частям. Получим: |
|
(x 1)cosxdx uv vdu (x 1)sin x sin xdx. |
Теперь |
используем
найдём интеграл sin xdx табличный сosx C и полу-
интеграл11
чим (x 1)cosxdx (x 1)sin x ( cosx C)
(x 1)sin x cosx C.
28
Переобозначив ( С) С , окончательный ответ запишем в виде:
(x 1)cosxdx (x 1)sin x cosx C .
б) Данный интеграл является интегралом вида |
Pn(x)е x dx , где |
|||||||||||||||||||||
P (x) x. Поэтому положим u(x) x, |
тогда dv(x) е 2xdx. По- |
|||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx 1 dx dx, |
|||||||
сле |
чего |
найдём |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
du(x) u (x)dx (x) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d( 2x) dt |
|
|
|
|
||||
v(x) dv(x) e 2xdx |
|
делаем |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
( 2x) dx dt |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
замену |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2dx dt dx |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
используем |
|
|
|
|
|
|
выполняем |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
обратную |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
2x |
|
|||||||||||
|
|
e |
dt |
табличный |
|
|
|
e |
|
|
|
замену |
|
|
e |
|
|
|
и |
|||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
интеграл10 |
|
|
|
|
|
|
t 2x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
применим формулу интегрирования по частям. Получим:
|
xe |
2x |
xdx uv |
|
vdu |
|
|
|
1 |
|
2x |
|
|
|
|
|
1 |
|
2x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
dx |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
e 2x |
1 |
e 2xdx. |
Учитывая, что |
e 2xdx |
1 |
e 2x C, |
находим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
C |
|
||||||
xe |
2x |
xdx |
|
|
|
2x |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
2x |
1 |
|
|
2x |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
C |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Переобозначив |
C |
С , окончательный ответ запишем в виде |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
xe 2xxdx |
x |
e 2x |
|
1 |
e 2x |
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
в) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Данный |
|
|
|
|
|
|
интеграл |
|
|
|
является |
|
|
|
|
|
интегралом |
вида |
||||||||||||||||||||||||||||
Pn(x)sin( x )dx , |
|
|
|
где |
|
|
|
Pn (x) 4x 3. |
Поэтому |
|
положим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u(x) 4x 3, |
|
|
тогда |
|
|
|
dv(x) sin2xdx . |
|
|
|
После |
|
чего |
найдём |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
du(x) u (x)dx (4x 3) dx 4dx, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d(2x) dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
делаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2x) dx dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
v(x) dv(x) sin2xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
замену |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt dx |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2dx |
2 |
dt |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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используем |
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выполняем |
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1 |
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1 |
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обратную |
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1 |
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sindt |
табличный |
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cost |
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замену |
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cos2x и |
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2 |
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2 |
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2 |
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интеграл |
11 |
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t 2x |
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применим формулу интегрирования по частям. Получим: |
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(4x 3)sin2xdx |
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1 |
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uv vdu (4x 3) |
cos2x |
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2 |
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1 |
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(4x 3) |
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1 |
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cos2x dx |
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cos2x |
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cos2xdx. |
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2 |
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2 |
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2 |
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Учитывая, |
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что |
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cos2xdx |
1 |
sin2x C , |
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находим |
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(4x 3) |
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2 |
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(4x 3)sin2xdx |
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1 |
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1 |
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cos2x |
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sin2x C |
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2 |
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2 |
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(4x 3) |
cos2x |
1 |
sin2x |
C |
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C |
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2 |
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4 |
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2 |
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Переобозначив |
С , окончательный ответ запишем в виде |
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2 |
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(4x 3) |
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1 |
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(4x 3)sin2xdx |
cos2x |
sin2x C . |
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2 |
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4 |
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Пример 3.2. Найти интегралы: |
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a) |
(x3 1)lnxdx |
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б) ln(2x 3)dx |
в) |
xarctgxdx |
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Решение. |
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а) |
В данном интеграле подынтегральная функция содержит lnx . |
Поэтому положим u(x) lnx, тогда |
dv(x) (x3 |
1)dx. После чего |
|||
найдём |
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1 |
dx, |
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|
||||
du(x) u (x)dx (lnx) dx |
|
x
30