- •Казахстан
- •1.2. Формула трапеции
- •1.3. Формула Симпсона
- •1.4. Задача 1
- •1.5. Постановка задачи (круговой контур)
- •1.6. Решение задачи 2
- •1.6. Алгоритм вычисления определенного интеграла
- •Структурная схема расчета.
- •1.7. Фильтрация жидкости и газа
- •1.8. Несобственный интеграл с бесконечными пределами
- •2. Интерполирование функций. Сплайны первого и второго порядка.
- •2.1.Сплайн 1-го порядка (кусочно-линейная интерполяция)
- •2.2.Сплайн 2-го порядка s(X)
- •Из последней системы определяются
- •3.2. Математическая модель задачи.
- •3.3.Численные методы решения задачи (3.1) – (3.2)
- •4.2. Математическая модель
- •4.3. Приближенный метод решения задачи (4.1) – (4.2)
- •4.4. Трехточечная разностная схема. Метод прогонки
- •4.5. Переменные. Блок-схема
- •Блок-схема
- •5. Смешанная краевая задача для уравнения параболического типа. Нестационарный теплообмен при перевозке нефти трубопроводом.
- •5.1. Постановка задачи
- •5.2. Математическая модель.
- •Систему линейных алгебраических уравнений перепишем в виде
- •5.4. Расчетная схема
- •5.5. Переменные и блок – схема
- •Блок-схема
- •5.6. Задания для лабораторной работы.
- •6. Обратная задача для уравнения теплопроводности
- •6.1. Постановка задачи
- •6.2. Обратная задача
- •6.3. Восстановление кусочно-постоянной среды
- •6.4. Алгоритм метода
- •6.5. Численная реализация
- •6.6. Связь между уравнениями
- •Литература
- •Дополнительная литература
Систему линейных алгебраических уравнений перепишем в виде
(7.11)
i = 1, 2, …, N-1 при каждом j=0,1,…,M-1.
где
Метод прогонки для решения разностной схемы.
Система (7.9) – (7.10) является системой линейных алгебраических уравнений с N-1 неизвестными. Полученная задача решается методом прогонки.
Пусть
. (7.12)
После подстановки в (7.11) получится рекуррентная формула
(7.13)
Для определения преобразуя (7.10) приводим его к виду
(7.14)
где
Сравнивая (7.14) с (7.12) получаем, что
(7.15)
Теперь из (7.12) , (7.15) определяются все
После этого рассматривая совместно (7.12) и (7.9) вычисляются все
В данном случае все условия теоремы 2 из §4 выполняются, поэтому метод прогонки для решения задачи (7.9) – (7.11) является устойчивой.
5.4. Расчетная схема
1) Используя заданные функций вычисляются
(7.16)
2) Из рекуррентного соотношения
определяются все
3) После этого используя формулу правой прогонки
определяются все .
5.5. Переменные и блок – схема
В данном случае искомая функция зависит от двух переменныхt и х. Поэтому соответствующая сеточная функция зависит от двух дискретных переменныхi и j. При программировании мы должны резервировать место в оперативной памяти компьютера для двухмерного массива.
Блок-схема
Начало
α,
Н0,
N,
М, λ(θ), с(θ),ρ(θ), θ1
описание термодинамических
характеристик грунта.
- - - - -
Вычисление параметров
разностной схемы и
начальной функций
Δt,
Δh, У[l],
l =0, …, N У1[0]
= θ1
конец
J = 0, M - 1, 1
E,
αN-1,
β
N-1
коэффициента прогонки
- - - - - -
I = N-1, 1, -1
αi-1,
β
i-1
I = 0, N - 2, 1
рис. 3.
Если M и N достаточно большие величины, то в оперативной памяти компьютера может не хватит места для массива . Чтобы избежать этого, вводятся одномерные массивы.Вместо массивовAi, B i, C iиспользуются идентификаторы A, B, C. Для отводятся одномерные массивы. В формуле (7.16) при определенийAi ,Ci ,B i используется отношение . Если это выражение очень большое, то вычислительный процесс будет не устойчивой. В этом случае не выполняется теорема 2.
Теорема 3. Пусть решение дифференциальной задачи (7.4)-(7.7) θ обладает непрерывными производными до четвертого порядка и если , то решение разностной схемы (7.8) – (7.10) сходится к решению дифференциальной задачи (7.4) – (7.7).
Алгоритм реализации схемы расчета приведен на рис. 3.