- •Казахстан
- •1.2. Формула трапеции
- •1.3. Формула Симпсона
- •1.4. Задача 1
- •1.5. Постановка задачи (круговой контур)
- •1.6. Решение задачи 2
- •1.6. Алгоритм вычисления определенного интеграла
- •Структурная схема расчета.
- •1.7. Фильтрация жидкости и газа
- •1.8. Несобственный интеграл с бесконечными пределами
- •2. Интерполирование функций. Сплайны первого и второго порядка.
- •2.1.Сплайн 1-го порядка (кусочно-линейная интерполяция)
- •2.2.Сплайн 2-го порядка s(X)
- •Из последней системы определяются
- •3.2. Математическая модель задачи.
- •3.3.Численные методы решения задачи (3.1) – (3.2)
- •4.2. Математическая модель
- •4.3. Приближенный метод решения задачи (4.1) – (4.2)
- •4.4. Трехточечная разностная схема. Метод прогонки
- •4.5. Переменные. Блок-схема
- •Блок-схема
- •5. Смешанная краевая задача для уравнения параболического типа. Нестационарный теплообмен при перевозке нефти трубопроводом.
- •5.1. Постановка задачи
- •5.2. Математическая модель.
- •Систему линейных алгебраических уравнений перепишем в виде
- •5.4. Расчетная схема
- •5.5. Переменные и блок – схема
- •Блок-схема
- •5.6. Задания для лабораторной работы.
- •6. Обратная задача для уравнения теплопроводности
- •6.1. Постановка задачи
- •6.2. Обратная задача
- •6.3. Восстановление кусочно-постоянной среды
- •6.4. Алгоритм метода
- •6.5. Численная реализация
- •6.6. Связь между уравнениями
- •Литература
- •Дополнительная литература
2. Интерполирование функций. Сплайны первого и второго порядка.
Интерполяция |
Приближение функции, известной на конечном множестве точек М, некоторой функцией (сплайном, многочленом Лагранжа и т.п.), значения которой совпадают со значениями данной функции на М. |
Постановка задачи. Функция у = f(x) задана в табличном виде
X |
x0 |
x1 |
x2 |
x3 |
… |
xn |
f(x) |
f(x0) |
f(x1) |
f(x2) |
f(x3) |
… |
f(xn) |
в точках ,
Найти приближенное значение функции у = f(x) в промежуточных точках
Решение. Если аналитический вид функции у = f(x) неизвестен, то значения функции вычисляются приближенно. Приближенные методы вычисленияназывается интерполированием функции. Наиболее точным и простым методом интерполирования функции является интерполирование функции сплайном.
2.1.Сплайн 1-го порядка (кусочно-линейная интерполяция)
Точки исоединяются прямыми линиями, т.е. получаем ломаную линиюА0, А1, А2, …, Аn (рис. 12).Используя уравнение прямой, проходящей через точки Аi (xi, уi), Ai+1 (xi+1 ,уi+1) получим |
у
А1 А3 А2
А0 Аn
a=х0 х1 0 х2 х3 хn=b х
Рис.12 |
(1.1)
где yi = f(xi), xi = a + ih, a = x0. Из (1.1) получим
(1.2)
В (1.2) функция у зависит от i и х. Поэтому запишем в следующем виде
S(x)=(1.3)
Функция (1.3) называется сплайном 1-го порядка.
Лабораторная работа. Задать самостоятельно функцию у = f(x). Составить таблицу функции у = f(x) на отрезке [а;в] в узлах хi =a+ih. Вычислить промежуточные точные значения .
Вычислить погрешность .
Найти среднюю арифметическую величину (мат.ожидание)
и среднеквадратическое отклонение
.
Переменные программирования.
Массивы.
Переменные. Введем обозначения
M а= А, sig =σ , x = x,i=i .
Константы. a, b, n, h, k
2.2.Сплайн 2-го порядка s(X)
На каждом из отрезков (xi, xi+1 ) функция у = f(x) приближается параболой
S(x) =
В узлах х = хi ставятся следующие условия
- непрерывность функции S (x) в узлах
xi , i = 1, 2, …, n-1.
- непрерывность первой производной функции
S (x) в узлах xi , i = 1, 2, …, n-1.
Используя 1) - 3) определяем аi, bi, сi.
Из условия следует, что
.
Сюда можно дописать дополнительный коэффициент .
Из условия 2) и 3) получаем систему
Из последней системы определяются
.
Подставляя в первую систему, получим
или
Окончательно
(1.4)
Для однозначной разрешимости системы (1.4) не хватает одного условия. Для этого дополнительно ставится условие .
Если неизвестно, то приближаем ее.
Тогда получится условие
. (1.5)
Теперь все коэффициенты сi определяются по формуле
.
2.3. Расчетные формулы сплайна 2-го порядка
Сначала вычисляются все коэффициенты .
Задается значение первой производной функций у=f (x) на левой границе отрезки [а,b], т.е. .
Из соотношения рекуррентно определяются все коэффициенты..
По формуле определяются все сi.
2.4. Переменные и структурная схема расчета
Для составления программы вводятся следующие параметры расчета:
Массивы. - значения функций в целых узлах;значения функций в промежуточных узлах;коэффициенты сплайна 2-го порядка;значения сплайна в промежуточных точках;
отклонение;
средняя арифметическая погрешность вычисления;
средне-квадратическое отклонение погрешности вычисления. Константы a, b, n, h=(b-a)/n; k; переменные Ma, SІ, х.
С
начало
а,
в, n,
k, f(x),b[0]
I: = Ø, n, 1
У[i]
= f(x)
У1[i]
= f(x)
I: = Ø, n-1, 1
b[i+1]:
= 2(У[i+1]- У[i]) / h-b[i]
C[i]
= (b[i+1]-b[i]) / h
I: = Ø, n-1, 1
Ma : = Ø
I : = Ø, n-1, 1
Ma : = Ma + D
[i] / n
SI : = 0
SI
: = SQRT (SI)
I
конец
SI:
= SI + (D[i] - Ma)2/(n-1)
Рис.2
3. Расчет показателей нефтяного месторождения в законтурной области пласта при упругом режиме.
3.1. Постановка задачи
Задача. Для условий, данных в задаче 2 требуется определить изменение добычи нефти, воды, текущей нефтеотдачи и обводненности продукции при заданной динамике жидкости в течение 15 лет. Для рассматриваемого месторождения известны данные зависимости (рис.3.1) текущей обводненности продукции от отношения(Qн – накопленная добыча нефти, Nн – запасы нефти). Считается, что эта зависимость будет справедливой в течение |
1
а
0 0.5 Рис.3.1 Зависимость текущей обводненности от относительного отбора нефти η. |
рассматриваемого срока разработки.