6.3. Восстановление кусочно-постоянной среды

Предположим, что искомая функция q(x) кусочно-постоянна

В этом случае градиент функционала J(q) записывается в виде:

Решение обратной задачи, т.е. вектор ищем методом простой итерации

6.4. Алгоритм метода

1. Пусть приближение известно.

2. Решаем прямую задачу

3. Решаем сопряженную задачу

5. Находим значение градиента функционала

7. Находим следующее приближение .

6.5. Численная реализация

Введем в области равномерную сетку по времени и пространству с шагами ,. Индексы узлов:,.

Решаем прямую задачу (17)-(20) конечно-разностным методом.

При аппроксимации воспользуемся неявными схемами для уравнения теплопроводности. Уравнения на каждом шаге решаются методом прогонки.

Разностная схема для прямой задачи (24)-(27):

Разностная схема для сопряженной задачи (28)-(31):

Выражение для градиента в случае кусочно-постоянного коэффициента:

Здесь - индекс точки разрыва коэффициента.

6.6. Связь между уравнениями

Рассмотрим, как от уравнения одного вида можно перейти к уравнению другого вида. Пусть

Предположим, что коэффициент имеет вид. Тогда подставивв уравнение (40), перейдем к следующему уравнению

.

Сделаем замену переменной в (41)

и введем новые функции

.

Тогда получим следующее уравнение

.

Если ввести новые функции

,

тогда от уравнения (42) перейдем к уравнению

.

Литература

1. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. - М.: Наука, 1964.

2. Борисов Ю.П., Рябинина З.К., Воинов В.В., Особенности проектирования разработки нефтяных месторождений с учетом их неоднородности. - М.: Недра. 1976.

3. Желтов Ю.П., Стрижков И.Н. и др. Сборник задач по разработке нефтяных месторождений.- М.: Недра, 1985.

4. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Ряжик В.М. Теория нестационарной фильтраций жидкости и газа.- М.: Недра, 1972.

5. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. –3-е изд. – М.: Наука, 1989.

6. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. – М.: Наука, 1988.

7. Макаров В.Л., Хлобыстов В.В. Сплайн – аппроксимация функций. – М.: Высшая школа, 1983.

8. Самарский А.А. Теория разностных схем. – 2-е изд. – М.: Наука, 1983.

9. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – 5-е изд. – М.: Наука, 1977.

10.Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978.

11. Кабанихин С.И., Бектемесов М.А., Шишленин М.А. , Численные методы решения математических задач геофизики.-Алматы,2005 (интранет).

12. Владимиров Е.С. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1971.

Дополнительная литература

1. Н.В.Копченова, И.А.Марон. Вычислительная математика в примерах и задачах. – М.: Наука, 1972.

2. В.И.Дробышевич, В.П.Дымников, Г.С.Ривин. Задачи по вычислительной математике. – М.: Наука, 1980.

3. Куфуд, О. Зондирование методом сопротивлений. М.: Недра, 1980, 232 с.

4. Б.М.Будак, А.А. Самарский, А.Н.Тихонов. Сборник задач по математической физике.- М.: Наука, 1980.

5. Кошляков А.С., Глинпер Э.Б., Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения математической физики. – М.: Наука, 1999.

6. Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической физики. М.: Наука, 2000.