- •Казахстан
- •1.2. Формула трапеции
- •1.3. Формула Симпсона
- •1.4. Задача 1
- •1.5. Постановка задачи (круговой контур)
- •1.6. Решение задачи 2
- •1.6. Алгоритм вычисления определенного интеграла
- •Структурная схема расчета.
- •1.7. Фильтрация жидкости и газа
- •1.8. Несобственный интеграл с бесконечными пределами
- •2. Интерполирование функций. Сплайны первого и второго порядка.
- •2.1.Сплайн 1-го порядка (кусочно-линейная интерполяция)
- •2.2.Сплайн 2-го порядка s(X)
- •Из последней системы определяются
- •3.2. Математическая модель задачи.
- •3.3.Численные методы решения задачи (3.1) – (3.2)
- •4.2. Математическая модель
- •4.3. Приближенный метод решения задачи (4.1) – (4.2)
- •4.4. Трехточечная разностная схема. Метод прогонки
- •4.5. Переменные. Блок-схема
- •Блок-схема
- •5. Смешанная краевая задача для уравнения параболического типа. Нестационарный теплообмен при перевозке нефти трубопроводом.
- •5.1. Постановка задачи
- •5.2. Математическая модель.
- •Систему линейных алгебраических уравнений перепишем в виде
- •5.4. Расчетная схема
- •5.5. Переменные и блок – схема
- •Блок-схема
- •5.6. Задания для лабораторной работы.
- •6. Обратная задача для уравнения теплопроводности
- •6.1. Постановка задачи
- •6.2. Обратная задача
- •6.3. Восстановление кусочно-постоянной среды
- •6.4. Алгоритм метода
- •6.5. Численная реализация
- •6.6. Связь между уравнениями
- •Литература
- •Дополнительная литература
3.2. Математическая модель задачи.
Текущая обводненность продукции скважин определяется следующим соотношением: дебит воды, добываемой одновременно с нефтью из всех скважин;
qн – дебит нефти.
Понятно, что . Так как кривая на рис.3.1 выражает зависимость.
Поскольку получим. Из предыдущего равенства имеем
. или . (3.1)
. (3.2)
Полученная задача Коши (3.1) – (3.2) решается различными численными методами.
Теория вытеснения нефти водой, развитая Баклеем и Левереттом, изложена в [4]. В качестве аппроксимирующей функций зависимости приведенной в рис.6 используем выражение
(3.3)
называется функцией Баклея – Леверетта, где а – положительная константа.
3.3.Численные методы решения задачи (3.1) – (3.2)
Поясним основные понятия, возникающие при использовании численных методов.
Введем по переменной t равномерную сетку с шагом h>0, т.е. рассмотрим множество точек .
1. Метод Эйлера. Уравнение (3.1) заменяется разностным уравнением
.
Где
Решение этого уравнения находится явным образом по рекуррентной формуле .
Погрешность метода. , где– константа, зависящая от правой части дифференциального уравнения (3.1). В этом случае метод имеет первый порядок точности.
2. Метод Рунге – Кутта второго порядка точности.
Предположим, что приближенное значение решение исходной задачи в точкеуже известно. Для нахожденияпоступим следующим образом. Сначала, используя схему Эйлеравычислим промежуточное значение, а затем воспользуемся разностным уравнением, из которого явным образом найдем искомое значение.
Погрешность метода. , где– константа, зависящая от исходных данных (3.1). Этот метод имеет второй порядок точности.
3. Метод Рунге – Кутта третьего порядка точности.
Считаем, что решение задачи (3.1) – (3.2) в точке уже известно. Тогда решение задачи (3.1) – (3.2) определяется по следующей схеме:
Погрешность метода.
, где – константа, не зависящая отк.
4. Метод Рунге – Кутта четвертого порядка точности.
Погрешность метода.
, где – константа, зависящая от начальных данных и не зависящая отк.
Замечание: Метод Рунге-Кутта также применяется, если неизвестная функция является вектором, т.е.
, где .
4. Задача теплообмена в трубопроводе нефтеперевозки. Дифференциальные уравнения второго порядка. Краевая задача 1-го рода.
4.1. Постановка задачи
Задача. Длинный трубопровод с теплопроводностью λ (ккал/м.час град.) находится в состоянии теплового равновесия, т.е. температура точек трубопровода не изменяется во времени. Потеря тепла через поверхность трубопровода в окружающую среду, температура которой , пропорциональна разности температур с постоянным коэффициентом теплопередачиα (ккал/м2. час град.). Считая температуру θ во всех точах поперечного сечения трубопровода постоянной, найти ее зависимость θ = θ(х) от координаты, отсчитываемой от какого-либо конца.
4.2. Математическая модель
Строго говоря, решение этой задачи приводит к дифференциальному уравнению с частными производными, так как температура в поперечном сечений трубопровода не вполне постоянна и является функцией расстояния х и расстояния поверхности стержня.
Однако, если трубопровод достаточно тонкий и если теплопроводность его велика, то мы можем без существенной ошибки пренебречь температурными градиентами в направлениях перпендикулярных к оси трубопровода и принять температуру постоянной в каждой точке поперечного сечения, перпендикулярного оси Ох. При таком допущении температура является функцией только одного независимого переменного х и распределение температуры может быть описано обыкновенным дифференциальным уравнением.
Пусть длина стержня равна l м, периметр поперечного сечения p м, площадь поперечного сечения Q м2. Исследуем процесс распространения тепла в элементарном отрезке длиной dx на расстоянии х от того конца стержня, температура которого t1. Количество тепла проходящего за время d через сечение трубопровода находящееся на расстоянии х от начало трубопровода, согласно теории теплопередачи, будет равно:
Количество тепла, прошедшее за время d через сечение, находящееся на расстоянии х + dx от начала, будет равна:
Участок стержня, заключенный между сечениями, отстоящими от начала на расстояниях х и х + dx, вследствие теплопроводности, приобретает за время d количество тепла, равное разности указанных количеств, т.е.:
За то же время потеря тепла от этого же участка в окружающую среду будет равна:
Но так как изучаемый нами процесс является стационарным, то:
Окончательно мы приходим к следующему дифференциальному уравнению:
В итоге получена задача:
Это уравнение с постоянными коэффициентами. Его общий интеграл будет:
Используя граничные условия, составим систему:
откуда
Подставляя значения С1 и С2 получим:
Выделим элемент длины dх, находящийся на расстоянийхот левого конца, и примем его температуру равной. За время∆tчерез левую границу этого элемента пройдет количество тепла
а через правую на расстоянии х+dхот конца
Таким образом, выделенный участок приобретает за время tколичество тепла, равное разности
.
Вместе с тем потеря тепла этого элемента через поверхности в окружающую среду равна
.
Вследствие предположения о стационарности процесса эти количества равны, т.е.
откуда
(4.1)
Пусть на обоих концах стержня поддерживается постоянная температура . Тогда краевые условия имеют вид.
, (4.2)
Численный пример. Пусть = 10
= 300 ккал/мчасград
тогда
При этом случае получится зависимость