![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Казахстан
- •1.2. Формула трапеции
- •1.3. Формула Симпсона
- •1.4. Задача 1
- •1.5. Постановка задачи (круговой контур)
- •1.6. Решение задачи 2
- •1.6. Алгоритм вычисления определенного интеграла
- •Структурная схема расчета.
- •1.7. Фильтрация жидкости и газа
- •1.8. Несобственный интеграл с бесконечными пределами
- •2. Интерполирование функций. Сплайны первого и второго порядка.
- •2.1.Сплайн 1-го порядка (кусочно-линейная интерполяция)
- •2.2.Сплайн 2-го порядка s(X)
- •Из последней системы определяются
- •3.2. Математическая модель задачи.
- •3.3.Численные методы решения задачи (3.1) – (3.2)
- •4.2. Математическая модель
- •4.3. Приближенный метод решения задачи (4.1) – (4.2)
- •4.4. Трехточечная разностная схема. Метод прогонки
- •4.5. Переменные. Блок-схема
- •Блок-схема
- •5. Смешанная краевая задача для уравнения параболического типа. Нестационарный теплообмен при перевозке нефти трубопроводом.
- •5.1. Постановка задачи
- •5.2. Математическая модель.
- •Систему линейных алгебраических уравнений перепишем в виде
- •5.4. Расчетная схема
- •5.5. Переменные и блок – схема
- •Блок-схема
- •5.6. Задания для лабораторной работы.
- •6. Обратная задача для уравнения теплопроводности
- •6.1. Постановка задачи
- •6.2. Обратная задача
- •6.3. Восстановление кусочно-постоянной среды
- •6.4. Алгоритм метода
- •6.5. Численная реализация
- •6.6. Связь между уравнениями
- •Литература
- •Дополнительная литература
1.8. Несобственный интеграл с бесконечными пределами
Для того, чтобы приближенно вычислить сходящийся несобственный интеграл
с точностью до ε, представляют его в виде
где
выбирают настолько большим, чтобы имело
место неравенство
Затем определенный интеграл
вычисляют по одной из квадратурных формул с точностью ε/2 и приближенно полагают
В
практических расчетах найти величину
во многих случаях затруднительно,
поэтому поступают следующим образом.
Сначала задается определенный шаг
и вычисляются интегралы.
и
проверяется неравенство
если
да, то в качестве значении исходного
интеграла берется
,
если нет, то вычисляется интеграл
и проверяется неравенство
и так далее.
Задача
5. Расчет
технологических показателей
слоисто-неоднородного пласта. Нефтяное
месторождение разрабатывается с
применением заводнения по однородной
схеме расположения скважин. Элемент
однорядной схемы расположения скважин,
содержащий 0,5 добывающий и 0,5 нагнетательной
скважины (всего одну скважину), показан
на рис. 45, откуда видно, что расстояние
между линией нагнетания и линией отбора
l=500м,
а расстояние между скважинами (ширина
элемента)
м.
Продуктовый пласт неоднородный. Его
можно представить модельно
Рис. 8
слоистого пласта [16], состоящего из тонких гидродинамических изолированных пропластков, абсолютная проницаемость которых, подчиняется логарифмически нормальному закону с плотностью распределения по формуле
При
этом средняя проницаемость пласта
общая
толщина пластаh0
= 18,75м, охваченная
заводнением толщина пласта h
= 15м (коэффициент
охвата 0,8). Принимается, что пористость
всех пропластков слоистого пласта m
= 0,2, начальная
насыщенность связанной водой Sсв
= 0,1. Вязкость
нефти в пластовых условиях μн
= 2мПаС,
вязкость воды μв
= 1мПаС.
Рис. 9
Будем считать, что вытеснение нефти водой из отдельных пропластков происходит в соответствии с вытеснением по модели поршневого вытеснения (рис.9), причем во всех пропластках остаточная нефтенасыщенность постоянная, равная Sпост = 0,45. В соответствии с моделью поршневого вытеснения нефти водой относительные проницаемости нефти впереди фронта вытеснения kн и для воды позади фронта вытеснения kв постоянны и одинаковы для всех пропластков, так что kн = 1, kв = 0,5.
Разработка
осуществляется при постоянном перепаде
между линиями нагнетания и отбора,
равном
Предполагается, что за весь рассматриваемый
период ни один элемент системы не
выбивает из разработки. Требуется
рассчитать изменение в течение 15 лет
следующих показателей разработки
месторождения: добыча нефти, обводненность
продукции и текущей нефтеотдачи.
Решение. Для того, чтобы получить формулы для расчета дебитов нефти и воды с учетом вероятностно-статистического распределения пропластков по проницаемости, сложим все пропластки в один «штабель», в нижней части которого расположен пропласток с «бесконечно большой», а вверху – с нулевой проницаемостью. Поскольку принимается, что абсолютная проницаемость некоторого пропластка в слоистом пласте может быть «бесконечно большой», обводнение такого слоистого пласта начнется в момент закачки воды, т.е. в момент времени t = 0. Другие пропластки, имеющие конечную проницаемость, будет обводняться в соответствующие моменты времени. Время t обводнения пропластка, имеющего проницаемость определяется по формуле [4]:
Расход воды, закачиваемой в обводнившую часть слоистого пласта, равна
Нефть
добывается из необводнившихся, пропластков
с проницаемостью
.
Формула для дебита нефти из слоистого
пласта имеет вид
Дебит
жидкости
Обводненность добываемый из слоистого
пласта имеет продукции
Чтобы определить изменение во времени текущей нефтеотдачи элемента э=э(t), можно определить накопленную добычу нефти элемента по формуле
и затем разделить ее на геологические запасы нефти в элементе. Так как добыча нефти исчисляется в объемных единицах, приведенных к пластовым условиям, будем определять не геологические запасы нефти элемента в массовых единицах, а объем нефти Vнэ в пластовых условиях в элементе пласта. Имеем
Текущая нефтеотдача составит hэ = θнэ/Vнэ.
Определение показателей разработки месторождения. Согласно плану разбуривания и обустройства месторождения ежегодно в течение шести лет, т.е. в течение срока ввода месторождения в разработку, в эксплуатацию передается по 50 элементам. Всего за 15 лет будет введено в эксплуатацию 300 элементов. Для простоты считаем, что добыча нефти с разбуриваемых и обустраиваемых элементов будет происходить с начала каждого года. Для определения добычи нефти и воды в целом по месторождению суммируются добыча нефти воды по элементам. Обводненность добываемой из месторождения продукции вычисляют по формуле
всего по месторождению в разработку вовлекается объем нефти в пластовых условиях
Коэффициент
охвата по месторождению в целом
.
Поэтому общий объем нефти в пласте
Нефтеотдача по месторождению в целом определяется как отношение объема накопленной добычи нефти
к первоначальному объему нефти в пласте Vн.
Задача
6. При
разработке нефтяного месторождения,
имеющего площадь нефтеопасности S
= 2494,08104
м2,
использована площадное заводнение при
семиточечной схеме расположения скважин.
Расстояние между двумя добывающими или
между добывающей и нагнетательной
скважинами
.
Радиус нагнетательной скважины rc
= 0,1м.
Продуктивный пласт неоднородный по
толщине и его можно представить моделью
слоисто-неоднородного пласта. Плотность
распределения абсолютной проницаемости
соответствует логарифмическому закону.
При этом k
= 0,2510-12
м2,
σ = 0,5. Общая
толщина пласта составляет 25м, а толщина
пропластков, вовлекаемых в разработку,
h
= 20м. Пористость
нефтенасыщенных пород m
= 0,23, вязкость
нефти в пластовых условиях
μн
= 2,5мПаС,
вязкость воды μв
= 1мПаС.
Насыщенность пласта связанной водой
Sсв
= 0,1. Вытеснение
нефти водой происходит поршневым
способом, при этом для всех пропластков
kн
=1, kв
=0,4, Sност
=0,4, так что
μв/
kв
= μн/
kн.
Перепад давления между нагнетательной
скважиной и контуром отбора радиусом
R
составляет ∆ρс
= 2106Па.
Скорость ввода элементов в разработку – 10 элементов за год, срок ввода месторождения в разработку – 6 лет. Таким образом, всего в разработку вводится 60 элементов.
Требуется определить изменение в течение 15 лет следующих показателей:
Добычи нефти, обводненности продукции и текущей нефтеотдачи для одного элемента разработки.
Добычи нефти, воды и текущей нефтеотдачи для месторождения в целом.
Решение. Проницаемость k* пропластков, обводнившихся к моменту времени t определяется по формуле:
(32)
Будем приближенно считать, что при разработке элемента семиточечной системы происходит радиальное вытеснение нефти водой, закачиваемой в нагнетательную скважину, к «контуру отбора», имеющему форму окружности радиуса R (рис.10), на которой находится добывающие скважины.
Элементарный расход воды dqi, поступающей в i-й пропласток толщиной dhi, в этом случае составит
Рис. 10
Будем предполагать, что в некоторый момент времени t фронт воды, вытесняющий нефть из i-го пропластка, продвинулся на расстояние rв от начала координат (рис. 10).
Разделяя переменные в приведенном выражении и интегрируя в пределах rc r rв, получаем
где
– давление на фронте вытеснения нефти
водой. Впереди фронта вытеснения движется
нефть. Поэтому после интегрирования
аналогичного выражения для нефти в
пределахrв
r
R
имеем
где Рк – давление на контуре добывающих скважин. Из последних двух равенств следует, что
(30)
где Рс – давление на нагнетательной скважине,
Рк – давление на добывающей скважине.
Для того, чтобы получить формулы для расчета дебитов нефти и воды с учетом вероятностно-статистического распределения пропластков по проницаемости, сложим все пропластки в один «штабель» в нижней части которого расположен пропласток с «бесконечно большой», а вверху – с нулевой проницаемостью. Тогда общая толщина h слоев с проницаемостью не ниже k0, отсчитываемая от кровли штабеля пропластков-модели слоистого пласта, будет выражаться по формуле соответствующего вероятностно-статистического закона распределения проницаемости
где Н – общая толщина слоистого пласта. Дифференцируя, равенство имеем
где f(k) – вероятностно-статистическая плотность. То есть dh = Hf(k)dk. Учитывая это, на основе формулы (30) получим следующие выражения для дебита нефти, приведенного к пластовым условиям и воды:
Выражение для элементарного расхода воды, поступающей в i-й пропласток можно написать, рассматривая согласно рис.47 характер перемещения со временем фронта вытеснения нефти водой i-м пропластке и распределения в нем остаточной нефтенасыщенности пласта связанной водой имеем
(31)
Приравнивая правые части (30) и (31) и опуская индекс i, получаем
Выполняя интегрирование при ∆Рс = const, приходим к следующему соотношению определения rв при различных значениях времени t.
Поскольку
принимается, что абсолютная проницаемость
некоторого пропласта в слоистом пласте
может быть «бесконечно большой»,
обводнение такого слоистого пласта
начнется в момент закачки воды, т.е. в
момент времени t
= 0. Другие пропластки, имеющие конечную
проницаемость, будет обводняться в
соответствующие моменты времени.
Поэтому, чтобы найти проницаемость
пропластков, обводнившихся к моменту
времениt
= t*,
необходимо положить в последнем равенстве
rв=R.
Тогда получим формулу (32).
Замечание. Для прямолинейного вытеснения нефти водой уравнение (31) принимает вид:
где в – ширина элемента, хв(t) – продвижение воды за время t.
Замечание. Абсолютная проницаемость гидродинамический изолированных слоистых пропластков могут подчиняться гамме-распределения, плотность которого определяется по формуле
Задания для лабораторной работы.
№ п/п |
Известные параметры |
Распределение |
Определить |
Точность |
1 |
Прямолинейное вытеснение, в, l, H, H0, Scв, Sност, μн, μв, kн, kв, σ |
Нормально-логарифмическое |
qн(t), qв(t), qж(t), υ, |
ε = 10-8 |
2 |
Прямолинейное
вытеснение, в, l,
H,
H0,
Scв,
Sност,
μн,
μв,
kн,
kв,
|
гамма |
qн(t), qв(t), qж(t), υ, |
ε = 10-9 |
3 |
Семиточечное вытеснение R H, H0, Scв, Sност, μн, μв, kн, kв, σ |
Нормально-логарифмическое |
qн(t), qв(t), qж(t), υ, |
ε = 10-8 |
4 |
Семиточечное вытеснение R H, H0, Scв, Sност, μн, μв, kн, kв, |
Гамма |
qн(t), qв(t), qж(t), υ, |
ε = 10-10 |
Задача 7. Предположим, что плоский пласт состоит из двух областей с различными свойствами (проницаемостью, пористостью и т.д.), разделенных прямолинейной границей (рис. 11). Пусть в момент t = 0 первоначально стационарное состояние возмущается в результате пуска скважины в точке (а, 0) с постоянным расходом q. Тогда распределенные давления в каждой из областей описывается уравнениями.
(33)
На границе х = 0 выполняются условия непрерывности давлений и потоков:
Рис. 11
Во втором уравнений (33) в правую часть непосредственно введен точечный источник интенсивности q. Через δ, как обычно, обозначена дельта-функция, определяемая условиями
Решение.
В работе [5] при
(малые времена) получено
Пусть
теперь имеется обратная неравенство:
,
в этом случае распределение давления
имеет вид:
Замечание.
П.Я. Полубаринова-Кочина рассмотрела
аналогичную стационарную задачу и
показала, что распределение давления
в той части пласта, где находится
источник, совпадает с распределением
давления в однородной среде при действий
двух источников интенсивностью
(где
)
расположенных симметрично относительно
границы раздела.
Задания для лабораторных работ.
№ п/п |
Заданные параметры |
Определить |
Точность |
1 |
x1, x2, k1, k2, q, a |
P(x, y, t) при малых t |
ε = 10-8 |
2 |
x1, x2, k1, k2, q, a |
P(x, y, t) при больших t |
ε = 10-10 |