5.6. Задания для лабораторной работы.

Составить программу и произвести расчет при следующих начальных данных распределения температуры и теплопроводных характеристиках грунта.

1. Температура воздуха изменяется по закону

.

Варианты значений θ_max и θ_min:

1. θmax = - 400, θmin = -500 2. θmax = - 430, θmin = -510 3. θmax = - 300, θmin = -380 4. θmax = - 200, θmin = -300 5. θmax = - 350, θmin = -450 6. θmax = - 240, θmin = -350

7. θmax = - 180, θmin = -250 8. θmax = - 130, θmin = -200 9. θmax = - 240, θmin = -330 10. θmax = - 280, θmin = -400 11. θmax = - 140, θmin = -250 12. θmax = - 340, θmin = -450

Глубина заложения трубопровода Н = 1,5 м; t_max =24 час, считаем, что начальное распределение температуры от трубопровода до поверхности изменяется по закону

Температура на поверхности трубопровода равен θ₁ = 45⁰.

Теплопроводные характеристики грунта приведены в таблице 1.

	ρ,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	340 1,8 – 1,9 1,9 – 1,95 2,6 – 2,8 2,3 - 3 2,2 – 2,4 2,3 –2,6 3,3 3-3,2 2-2,2 3,3-3,5 2,4-2,6	0,075 + 0,00021 · θ 0,72 + 0,0005 · θ 0,8 + 0,0006 · θ 4,0 - 0,0015 · θ 4,0 - 0,0017 · θ 1,45 - 0,0002 · θ 1,8 + 0,0016 · θ 1,2 + 0,00055 · θ 1,6 + 0,00045 · θ 4,5 - 0,0012 · θ 1,4 + 0,0025 · θ 4,7 - 0,0014 · θ	0,91 0,21 + 0,00055 · θ 0,2 + 0,00003 · θ 0,2 + 0,0002 · θ 0,43 + 0,0001 · θ 0,2 + 0,0003 · θ 0,19 + 0,0001 · θ 0,13 + 0,0003 · θ 0,12 + 0,0035 · θ 0,15 + 0,0031 · θ 0,23 + 0,0004 · θ 0,32 + 0,0005 · θ

6. Обратная задача для уравнения теплопроводности

6.1. Постановка задачи

Пусть - коэффициент теплопроводности,

- температура в точке z в момент времени t.

Тогда процесс распространения тепла на отрезке описывается уравнением

В прямой задаче надо найти по известной функции.

Для единственности решения прямой задачи необходимо задать начальные условия

и по одному условию на каждой из границ, например, поток

Если данные прямой задачи (1)-(4) достаточно гладкие и , то решение прямой задачи существует и единственно.

6.2. Обратная задача

Пусть о решении прямой задачи (1)-(4) известна дополнительная информация

Требуется определить один из коэффициентов уравнения (1) (или какую-либо их комбинацию) из соотношений (1)-(5).

Численное решение обратной задачи (1)-(5) будем искать при , минимизируя целевой функционал

Зададим начальное приближение .

Приближение будем вычислять методом простой итерации

Здесь - достаточно малое число,- градиент функционала.

Обратная задача 1: найти коэффициент из соотношений:

Найдем приращение функционала (6):

Здесь .является решением следующей задачи

Рассмотрим сопряженную задачу:

Умножим обе части равенства (12) на функцию и проинтегрируем по области:

Проинтегрируем по частям выражение

Имеем

Тогда учитывая условия (13)-(15) и (17)-(19), получим, что

Последние два слагаемых в правой части равенства (21) имеют второй порядок малости. Тогда получаем следующий градиент функционала

Здесь - решение сопряженной задачи.