2. Интерполирование функций. Сплайны первого и второго порядка.

Интерполяция

Приближение функции, известной на конечном множестве точек М, некоторой функцией (сплайном, многочленом Лагранжа и т.п.), значения которой совпадают со значениями данной функции на М.

Постановка задачи. Функция у = f(x) задана в табличном виде

X	x0	x1	x2	x3	…	xn
f(x)	f(x0)	f(x1)	f(x2)	f(x3)	…	f(xn)

в точках ,

Найти приближенное значение функции у = f(x) в промежуточных точках

Решение. Если аналитический вид функции у = f(x) неизвестен, то значения функции вычисляются приближенно. Приближенные методы вычисленияназывается интерполированием функции. Наиболее точным и простым методом интерполирования функции является интерполирование функции сплайном.

2.1.Сплайн 1-го порядка (кусочно-линейная интерполяция)

Точки исоединяются прямыми линиями, т.е. получаем ломаную линиюА0, А1, А2, …, Аn (рис. 12).Используя уравнение прямой, проходящей через точки Аi (xi, уi), Ai+1 (xi+1 ,уi+1) получим

у А1 А3 А2 А0 Аn a=х0 х1 0 х2 х3 хn=b х Рис.12

(1.1)

где y_i = f(x_i), x_i = a + ih, a = x₀. Из (1.1) получим

(1.2)

В (1.2) функция у зависит от i и х. Поэтому запишем в следующем виде

S(x)=(1.3)

Функция (1.3) называется сплайном 1-го порядка.

Лабораторная работа. Задать самостоятельно функцию у = f(x). Составить таблицу функции у = f(x) на отрезке [а;в] в узлах х_i =a+ih. Вычислить промежуточные точные значения .

Вычислить погрешность .

Найти среднюю арифметическую величину (мат.ожидание)

и среднеквадратическое отклонение

.

1. Переменные программирования.

Массивы.

Переменные. Введем обозначения

M а= А, sig =σ , x = x,i=i .

Константы. a, b, n, h, k

2.2.Сплайн 2-го порядка s(X)

На каждом из отрезков (x_i, x_i+1 ) функция у = f(x) приближается параболой

S(x) =

В узлах х = х_i ставятся следующие условия

1. 

2. - непрерывность функции S (x) в узлах

x_i , i = 1, 2, …, n-1.

3. - непрерывность первой производной функции

S (x) в узлах x_i , i = 1, 2, …, n-1.

Используя 1) - 3) определяем а_i, b_i, с_i.

1. Из условия следует, что

.

Сюда можно дописать дополнительный коэффициент .

2. Из условия 2) и 3) получаем систему

Из последней системы определяются

.

Подставляя в первую систему, получим

или

Окончательно

(1.4)

Для однозначной разрешимости системы (1.4) не хватает одного условия. Для этого дополнительно ставится условие .

Если неизвестно, то приближаем ее.

Тогда получится условие

. (1.5)

Теперь все коэффициенты с_i определяются по формуле

.

2.3. Расчетные формулы сплайна 2-го порядка

1. Сначала вычисляются все коэффициенты .

2. Задается значение первой производной функций у=f (x) на левой границе отрезки [а,b], т.е. .

3. Из соотношения рекуррентно определяются все коэффициенты..

4. По формуле определяются все с_i.

2.4. Переменные и структурная схема расчета

Для составления программы вводятся следующие параметры расчета:

Массивы. - значения функций в целых узлах;значения функций в промежуточных узлах;коэффициенты сплайна 2-го порядка;значения сплайна в промежуточных точках;

отклонение;

средняя арифметическая погрешность вычисления;

средне-квадратическое отклонение погрешности вычисления. Константы a, b, n, h=(b-a)/n; k; переменные Ma, SІ, х.

С

начало

труктурная схема расчета.

а, в, n, k, f(x),b[0]

- - - - - - - - - - - ввод начальных данных

I: = Ø, n, 1

У[i] = f(x)

I : = Ø, n-1, 1

У1[i] = f(x)

I: = Ø, n-1, 1

b[i+1]: = 2(У[i+1]- У[i]) / h-b[i]

I : = Ø, n-1, 1

C[i] = (b[i+1]-b[i]) / h

I: = Ø, n-1, 1

Ma : = Ø

I : = Ø, n-1, 1

Ma : = Ma + D [i] / n

SI : = 0

SI : = SQRT (SI)

I

конец

: = Ø, n-1, 1

SI: = SI + (D[i] - Ma)²/(n-1)

Рис.2

3. Расчет показателей нефтяного месторождения в законтурной области пласта при упругом режиме.

3.1. Постановка задачи

Задача. Для условий, данных в задаче 2 требуется определить изменение добычи нефти, воды, текущей нефтеотдачи и обводненности продукции при заданной динамике жидкости в течение 15 лет. Для рассматриваемого месторождения известны данные зависимости (рис.3.1) текущей обводненности продукции от отношения(Qн – накопленная добыча нефти, Nн – запасы нефти). Считается, что эта зависимость будет справедливой в течение

1 а 0 0.5 Рис.3.1 Зависимость текущей обводненности от относительного отбора нефти η.

рассматриваемого срока разработки.