21. Натурные и абстрактные модели.

В моделировании есть два различных подхода. Модель может быть похожей копией объекта, выполненной из другого материала, в другом масштабе, с отсутствием ряда деталей. Например, это игрушечный кораблик, домик из кубиков, деревянная модель самолета в натуральную величину, используемая в авиаконструировании и др. Модели такого рода называют натурными.

Модель может, однако, отображать реальность более абстрактно – словесным описанием в свободной форме, описанием, формализованным по каким-то правилам, математическими соотношениями и т.п. Будем называть такие модели абстрактными.

Пример.Модель:y= –x²+ 4 ·x– 3. Вопрос:x= ? Доопределение модели:yдолжен быть максимизирован,x≥ 2.5. Так какyдолжен быть максимизирован, то мы должны стараться двигаться вверх вдоль графика функции (рис.) и следить, чтобы значениеxне стало меньше 2.5. Как видно из рисунка, значениеyстанет максимальным приx= 2.5. Ответ:y= 0.75,x= 2.5.

Рис. Графическая иллюстрация решения задачи с ограничениями

Отметим, что создать модель бывает проще, чем сразу дать себе ответ на интересующий вопрос. Наверное, на практике вы замечали, что часто гораздо проще составить уравнения, чем угадать решение задачи. Например: решено разделить огромный шар размером с Землю на две половинки, полученную половинку снова поделить пополам и так далее. Попробуйте ответить на вопрос: сколько раз (n) надо провести такую операцию, чтобы размер делимой частички в результате достиг размера атома? Наверняка, сразу ответить на этот вопрос не удастся, интуиция подводит, придётся составить модель.

Пусть D= 6 400 км = 6 400 000 м — диаметр шара (Земли), аd= 10^–9м — диаметр атома. Тогда модель есть выражение: 2ⁿ=D/dили 2ⁿ= 6 400 000/10^–9. Отсюда получаем: 2ⁿ= 6.4 · 10¹⁵илиn= log₂(6.4 · 10¹⁵). Итак, приближённо,n= 53. Неожиданный результат, не правда ли?! Можно ли было его предугадать?

Ещё несколько примеров. Тривиальные модели: x= 5°; телефон друга Сидорова – 912–36–54. Такие модели не несут в себе прогностических свойств, поскольку на основе известной информации невозможно вычислить каким-либо образом другую информацию. Зная телефон одного друга Сидорова, невозможно вычислить телефон другого его друга. Это так называемыепра-модели(pra-model). Фактически это данные.

Заметим, что недооценка в современных условиях понятия моделирования ведёт к использованию в АРМах коммерческого назначения только данных. Именно поэтому такие АРМы не способны решать прогностические задачи и решают, в основном, только учётные задачи

22.Общий алгоритм моделирования дискретной случайной величины.

А. Общий алгоритм моделирования.

Если случайная величина дискретная, то ее моделирование можно свести к моделированию независимых испытаний. В самом деле, пусть имеет место следующий ряд распределения:

			…
			…

Обозначим через событие, состоящее в том, что случайная величинапримет значение, при этом. Тогда нахождение значения, принятого случайной величинойв результате испытания, сводится к определению того, какое из событийпоявится. Так как событиянесовместны и вероятность появления каждого из них не изменяется от испытания к испытанию, то для определения последовательности значений, принятых случайной величинойможно использовать алгоритм моделирования последовательности независимых испытаний.

Б. Моделирование случайной величины с биномиальным распределением.

Случайная величина считается распределенной по биномиальному закону, если

где ;— вероятность появления некоторого событияв каждом отдельно взятом испытании;— вероятность появления событиявнезависимых испытанияхраз.

Введем случайную величину — число появлений событияв-ом испытании,Для этой величины имеет место:

, . (1)

Тогда случайное число появлений событиявиспытаниях определяется по формуле

. (2)

Исходя из формул (1) и (2), значения случайной величины определяются следующим образом:

1) находят последовательность значений случайной величины

2) для каждого числа ,проверяют, выполняется ли неравенствоесли неравенство выполняется, то полагаютв противном случае считают

3) находят сумму значений случайных величинкоторая совпадает со значением

Повторяя этот алгоритм, получим последовательность значений случайной величины с биномиальным законом распределения.

В. Моделирование случайной величины, распределенной по закону Пуассона.

Распределением Пуассона называется распределение вероятностей дискретной случайной величины, задаваемое формулой:

, ,

где — число событий простейшего потока, наступающих за некоторый промежуток времени. Распределение Пуассона применяется вместо биномиального распределения тогда, когда числонезависимых испытаний велико (порядка нескольких сотен), а вероятностьпоявления события в каждом отдельно взятом испытании мала, при этом желательно, чтобы имело место.

Алгоритм моделирования случайной величины , распределенной по закону Пуассона при заданном параметреможно представить следующим образом:

1) выбираем таким образом, чтобы вероятностьбыла достаточно малой, например, меньше 0, 01;

2) получаем последовательность значений случайной величины, равномерно распределенной на отрезке;

3) для каждого числа ,проверяем, выполняется ли неравенство; если это неравенство выполняется, то полагают, в противном случае считаем;

4) вычисляем сумму которая совпадает со значением случайной величиныраспределенной по закону Пуассона.