7.1. В качестве исходной информации использовать индивидуальные значения признаков по предприятиям
Линейная зависимость
Данный вид зависимости описывается уравнением:
Для определения параметров а0 и а1 на основе требований метода наименьших квадратов составляется система нормальных уравнений:
,
,
где:
xi – индивидуальное значение факторного признака,
yi – индивидуальное значение результативного признака,
– параметры
уравнения регрессии.
Из решения системы уравнений получаются следующие параметры уравнения регрессии:
;
;
Для нахождения параметров уравнения составим вспомогательную таблицу (Таблица 8).
Таблица 8
|
№ предприятия |
Объем товарной продукции |
Фонд заработной платы |
|
|
|
|
1 |
163,8 |
33,6 |
26830,44 |
5503,68 |
1128,96 |
|
2 |
236,5 |
63,2 |
55932,25 |
14946,8 |
3994,24 |
|
3 |
843,3 |
241 |
711154,89 |
203235,3 |
58081 |
|
4 |
1005,9 |
275,3 |
1011834,81 |
276924,27 |
75790,09 |
|
5 |
696,3 |
159,7 |
484833,69 |
111199,11 |
25504,09 |
|
6 |
1031,3 |
209 |
1063579,69 |
215541,7 |
43681 |
|
7 |
1361,2 |
251,8 |
1852865,44 |
342750,16 |
63403,24 |
|
8 |
1712,9 |
286,3 |
2934026,41 |
490403,27 |
81967,69 |
|
9 |
538,9 |
149,3 |
290413,21 |
80457,77 |
22290,49 |
|
10 |
350,4 |
93,4 |
122780,16 |
32727,36 |
8723,56 |
|
11 |
2149,9 |
406,9 |
4622070,01 |
874794,31 |
165567,61 |
|
12 |
352,8 |
80,6 |
124467,84 |
28435,68 |
6496,36 |
|
13 |
1187,1 |
278,2 |
1409206,41 |
330251,22 |
77395,24 |
|
14 |
262,4 |
70,9 |
68853,76 |
18604,16 |
5026,81 |
|
15 |
438,8 |
92 |
192545,44 |
40369,6 |
8464 |
|
16 |
1150,5 |
260,8 |
1323650,25 |
300050,4 |
68016,64 |
|
17 |
249,4 |
71,6 |
62200,36 |
17857,04 |
5126,56 |
|
18 |
655,3 |
191 |
429418,09 |
125162,3 |
36481 |
|
19 |
2549,5 |
450,9 |
6499950,25 |
1149569,6 |
203310,81 |
|
20 |
536,8 |
120,5 |
288154,24 |
64684,4 |
14520,25 |
|
21 |
311,2 |
79,7 |
96845,44 |
24802,64 |
6352,09 |
|
22 |
809,7 |
175,5 |
655614,09 |
142102,35 |
30800,25 |
|
23 |
166,7 |
38,1 |
27788,89 |
6351,27 |
1451,61 |
|
24 |
2185,1 |
417,4 |
4774662,01 |
912060,74 |
174222,76 |
|
25 |
2066,2 |
343,9 |
4269182,44 |
710566,18 |
118267,21 |
|
| |||||
|
∑ |
23011,9 |
4840,6 |
33398860,5 |
6519351,3 |
1306063,6 |
а0 =38,136
а1 =0,168
y =38,136+0,168*х
Т.к. ai>0, то связь между исследуемыми признаками является прямой, т.е. увеличение факторного признака влечет за собой увеличение и результативного признака.
Теснота связи при линейной зависимости измеряется с помощью линейного коэффициента корреляции, который определяется по формуле:
rxy
=
=0,97
Величина линейного коэффициента корреляции 0,97 говорит о наличии тесной прямой связи между объемом товарной продукции и фондом заработной платы.
Так же наличие этой связи можно рассмотреть на графике:
При подборе адекватной математической функции важное значение имеет остаточная дисперсия результативного признака.
,
где
– эмпирическое
(фактическое) значение результативного
признака.
–
выровненное
значение результативного признака.
Чем меньше остаточная дисперсия, тем лучше подбор линии регрессии, т.к эта линия должна проходить в максимальной близости от эмпирических данных. Таким образом, сравнив остаточную дисперсию двух видов зависимостей, мы сможем сделать вывод о том, какая из них подходит больше.
Рассчитаем остаточные дисперсии результативного признака для линейной зависимости.
Расчетная таблица для определения дисперсии результативного признака (Таблица 9).
Таблица 9
|
№ предприятия |
Фонд заработной платы |
Y(x) |
(y-y(x))2 | ||
|
1 |
33,6 |
43,811712 |
104,279062 | ||
|
2 |
63,2 |
48,811744 |
207,021911 | ||
|
3 |
241 |
78,84572 |
26294,0105 | ||
|
4 |
275,3 |
84,639676 |
36351,3591 | ||
|
5 |
159,7 |
65,112524 |
8946,79062 | ||
|
6 |
209 |
73,44028 |
18376,4377 | ||
|
7 |
251,8 |
80,670056 |
29285,4577 | ||
|
8 |
286,3 |
86,497796 |
39920,9207 | ||
|
9 |
149,3 |
63,355756 |
7386,41308 | ||
|
10 |
93,4 |
53,913128 |
1559,21306 | ||
|
11 |
406,9 |
106,86955 |
90018,2721 | ||
|
12 |
80,6 |
51,750952 |
832,267571 | ||
|
13 |
278,2 |
85,129544 |
37276,201 | ||
|
14 |
70,9 |
50,112428 |
432,12315 | ||
|
15 |
92 |
53,67664 |
1468,67992 | ||
|
16 |
260,8 |
82,190336 |
31901,4121 | ||
|
17 |
71,6 |
50,230672 |
456,648179 | ||
|
18 |
191 |
70,39972 |
14544,4275 | ||
|
19 |
450,9 |
114,30203 |
113298,195 | ||
|
20 |
120,5 |
58,49086 |
3845,13344 | ||
|
21 |
79,7 |
51,598924 |
789,670472 | ||
|
22 |
175,5 |
67,78146 |
11603,2839 | ||
|
23 |
38,1 |
44,571852 |
41,8848683 | ||
|
24 |
417,4 |
108,64321 |
95330,7566 | ||
|
25 |
343,9 |
96,227588 |
61341,6237 | ||
|
| |||||
|
Итого |
4840,6 |
1771,074 |
631612,48 | ||
=
=25264,49
Степенная зависимость
Данный вид зависимости описывается уравнением:
Для определения параметров производится логарифмирование степенной функции:
Для определения параметров логарифмической функции строится система нормальных уравнений по способу наименьших квадратов:
Для нахождения параметров уравнения составим вспомогательную таблицу (Таблица 10).
Таблица 10
|
№ предприятия |
Объем товарной продукции |
Фонд заработной платы |
lg x |
( lg x)2 |
lg y |
lg y * lg x |
|
1 |
163,8 |
33,6 |
2,214313897 |
4,903186036 |
1,526339277 |
3,37979427 |
|
2 |
236,5 |
63,2 |
2,373831145 |
5,635074305 |
1,800717078 |
4,27459828 |
|
3 |
843,3 |
241 |
2,9259821 |
8,561371251 |
2,382017043 |
6,96973923 |
|
4 |
1005,9 |
275,3 |
3,002554808 |
9,015335376 |
2,439806211 |
7,32565187 |
|
5 |
696,3 |
159,7 |
2,842796395 |
8,081491344 |
2,203304916 |
6,26354727 |
|
6 |
1031,3 |
209 |
3,013385018 |
9,080489265 |
2,320146286 |
6,99149406 |
|
7 |
1361,2 |
251,8 |
3,13392194 |
9,821466729 |
2,401055726 |
7,52472122 |
|
8 |
1712,9 |
286,3 |
3,233732009 |
10,45702271 |
2,456821348 |
7,94470183 |
|
9 |
538,9 |
149,3 |
2,731508184 |
7,461136957 |
2,174059808 |
5,93846216 |
|
10 |
350,4 |
93,4 |
2,544564097 |
6,474806446 |
1,970346876 |
5,01367392 |
|
11 |
2149,9 |
406,9 |
3,33241826 |
11,10501146 |
2,60948769 |
8,69590443 |
|
12 |
352,8 |
80,6 |
2,547528576 |
6,489901848 |
1,906335042 |
4,856443 |
|
13 |
1187,1 |
278,2 |
3,074487305 |
9,452472189 |
2,444357126 |
7,51514495 |
|
14 |
262,4 |
70,9 |
2,418963831 |
5,851386014 |
1,850646235 |
4,47664631 |
|
15 |
438,8 |
92 |
2,642266619 |
6,981572885 |
1,963787827 |
5,18885102 |
|
16 |
1150,5 |
260,8 |
3,060886623 |
9,369026919 |
2,416307587 |
7,39604357 |
|
17 |
249,4 |
71,6 |
2,396896449 |
5,745112588 |
1,854913022 |
4,44603444 |
|
18 |
655,3 |
191 |
2,816440168 |
7,93233522 |
2,281033367 |
6,424394 |
|
19 |
2549,5 |
450,9 |
3,406455016 |
11,60393578 |
2,654080235 |
9,04100493 |
|
20 |
536,8 |
120,5 |
2,729812507 |
7,451876324 |
2,080987047 |
5,68070447 |
|
21 |
311,2 |
79,7 |
2,493039588 |
6,215246389 |
1,901458321 |
4,74041087 |
|
22 |
809,7 |
175,5 |
2,908324139 |
8,458349299 |
2,244277121 |
6,52708533 |
|
23 |
166,7 |
38,1 |
2,2219356 |
4,93699781 |
1,580924976 |
3,51271348 |
|
24 |
2185,1 |
417,4 |
3,339471317 |
11,15206868 |
2,620552445 |
8,75125972 |
|
25 |
2066,2 |
343,9 |
3,315172357 |
10,99036776 |
2,536432176 |
8,40870984 |
|
| ||||||
|
Итого |
23011,9 |
4840,6 |
70,72 |
203,22 |
54,62 |
157,28 |
a0 =1,86
a1 =1,17
y = 1,86*х1,17
При парных нелинейных зависимостях для определения тесноты связи между результативным и факторным признаками и оценки степени влияния факторного признака на результативный используются индексы корреляции и детерминации.
Индекс корреляции:
,
где
-
факторная дисперсия результативного
признака y;
-
общая дисперсия результативного
признака.
Величина индекса корреляции находится в пределах от -1 до +1. Чем ближе по абсолютной величине индекс корреляции к 1, тем теснее связь.
Факторная дисперсия рассчитывается по следующей формуле:
,
где
-
теоретическое значение результативного
признака (значение линии регрессии) при
значении факторного признака xi;
-
среднее значение результативного
признака.
Общая дисперсия результативного признака:
,
где
yi – эмпирическое значение результативного признака.
Индекс детерминации
Показывает долю факторной дисперсии в общей дисперсии, т.е. характеризует, какая часть общей вариации результативного признака y объясняется изучаемым фактором x.
Таблица 11
|
№ предприятия |
Объем товарной продукции |
Фонд заработной платы |
|
( |
|
( |
|
1 |
163,8 |
33,6 |
113,587332 |
651059,6399 |
572549,4889 |
2521,31203 |
|
2 |
236,5 |
63,2 |
237,8767114 |
465933,5977 |
467814,9609 |
1,89533425 |
|
3 |
843,3 |
241 |
1138,866672 |
47697,10653 |
5955,2089 |
87359,6579 |
|
4 |
1005,9 |
275,3 |
1330,718552 |
168303,8744 |
7298,2849 |
105507,092 |
|
5 |
696,3 |
159,7 |
703,6872725 |
46994,75092 |
50252,1889 |
54,5717957 |
|
6 |
1031,3 |
209 |
964,0156824 |
1896,226455 |
12283,2889 |
4527,1794 |
|
7 |
1361,2 |
251,8 |
1198,80389 |
77469,7541 |
194242,9329 |
26372,4967 |
|
8 |
1712,9 |
286,3 |
1393,137304 |
223414,3801 |
627945,3049 |
102248,182 |
|
9 |
538,9 |
149,3 |
650,3736228 |
72952,05298 |
145595,6649 |
12426,3686 |
|
10 |
350,4 |
93,4 |
375,6806178 |
296795,471 |
324979,8049 |
639,109636 |
|
11 |
2149,9 |
406,9 |
2101,907217 |
1395793,898 |
1511498,125 |
2303,30723 |
|
12 |
352,8 |
80,6 |
316,1731187 |
365174,7207 |
322249,2289 |
1341,52843 |
|
13 |
1187,1 |
278,2 |
1347,13395 |
182042,1263 |
71091,5569 |
25610,8652 |
|
14 |
262,4 |
70,9 |
272,1253743 |
420350,7537 |
433056,1249 |
94,582905 |
|
15 |
438,8 |
92 |
369,1005584 |
304008,2611 |
232005,9889 |
4858,01216 |
|
16 |
1150,5 |
260,8 |
1249,087382 |
107989,3835 |
52913,8009 |
9719,4718 |
|
17 |
249,4 |
71,6 |
275,2714562 |
416281,1609 |
450334,9449 |
669,332246 |
|
18 |
655,3 |
191 |
867,6048756 |
2794,721381 |
70315,1289 |
45073,3602 |
|
19 |
2549,5 |
450,9 |
2370,209964 |
2101745,964 |
2653738,741 |
32144,917 |
|
20 |
536,8 |
120,5 |
506,1366533 |
171672,1222 |
147202,6689 |
940,24083 |
|
21 |
311,2 |
79,7 |
312,0464026 |
370179,2738 |
371209,9329 |
0,7163974 |
|
22 |
809,7 |
175,5 |
785,8093203 |
18133,49866 |
12269,9929 |
570,764578 |
|
23 |
166,7 |
38,1 |
131,5816008 |
622344,9063 |
568169,2129 |
1233,30196 |
|
24 |
2185,1 |
417,4 |
2165,505567 |
1550113,563 |
1599289,037 |
383,941801 |
|
25 |
2066,2 |
343,9 |
1726,388721 |
649504,9846 |
1312697,233 |
115471,705 |
|
| ||||||
|
Итого |
23011,9 |
4840,6 |
22902,82982 |
10730646,19 |
12216958,85 |
582073,91 |
-
)2
-
)2
Rxy
=
=
0,9372
By
= r2xy
=
= 0,87834
Вывод: Данный полученный индекс корреляции свидетельствует о том, что связь между объемом товарной продукции и фондом заработной платы тесная.
Рассчитаем остаточную дисперсию результативного признака:
Сравним остаточную дисперсию. У линейной зависимости он равен 25264,49, а у степенной 23282,95. Чем меньше остаточная дисперсия, тем лучше подбор линии регрессии, т.к эта линия должна проходить в максимальной близости от эмпирических данных. Таким образом, сравнив остаточную дисперсию двух видов зависимостей, мы сможем сделать вывод о том, степенная зависимость подходит больше.
Так же это можно рассмотреть на графике, где изображены исследуемые виды зависимостей.
