§ 1.4. Прискорення.

Узагальному випадку матеріальна точка рухається нерівномірно, а отже, її швидкість змінюється за модулем і за напрямом. Такий рух називають змінним і характеризують прискоренням. Нехай під час руху точки по плоскій траєкторії протягом часуїї швидкість змінилася від, у точціА до у точціВ (рис. 3 а), а повна зміна швидкості

.

Середнім прискоренням за проміжок часу називають відношення зміни вектора швидкості до проміжку часу

.

Миттєве прискорення (або прискорення) визначається границею, до якої прямує середнє прискорення

при ,

або з урахуванням формули швидкості

.

Прискоренням називають вектор , який дорівнює першій похідній від вектора швидкості або другій похідній від вектора переміщення за часом.

У проекціях на координатні осі вектор прискорення

,

де , (для осітаприскорення– аналогічно).

Розглянемо загальний випадок змінного руху. Для цього побудуємо вектор зміни швидкості , перенісши паралельно векторіз точкиВ у точку А (рис. 3 б). Розкладемо вектор на дві взаємно перпендикулярні складові:– вздовж вектора, яку називають тангенціальною (або дотичною), і– нормальну (або доцентрову), напрямлену по нормалі до векторатобто. Поділивши це рівняння наі перейшовши до границі при, отримаємо

або

Отже, прискорення має дві складові, одну з якихназивають тангенціальним (або дотичним) прискоренням, а другу– нормальним (або доцентровим) прискоренням. Повне прискорення дорівнює їх векторній сумі.

Тангенціальне прискорення характеризує зміну вектора швидкості за модулем. Вектор напрямлений по дотичній до траєкторії у даній точці.

Нормальне прискорення характеризує зміну вектора швидкості за напрямом. Вектор напрямлений вздовж радіуса кривизни траєкторії до миттєвого центра кривизни (рис. 4), а його модуль виражається формулою.

Рівнозмінним називають рух, при якому за будь-які рівні проміжки часу швидкість змінюється на однакову величину. При такому русі прискорення стале і дорівнює середньому прискоренню. Основні рівняння кінематики в скалярному вигляді для рівнозмінного руху мають вигляд

, ,.

Якщо швидкість рівнозмінного руху з часом збільшується, то рух називають рівноприскореним, а якщо зменшується – рівносповільненим. Прискорення вважається додатним, якщо напрям тангенціального прискорення збігається з напрямом швидкості, і від’ємним – при протилежних напрямах цих векторів.

Одиницею прискорення в СІ є метр на секунду в квадраті (м/с²) – це прискорення рівнозмінного руху, під час якого щосекунди швидкість змінюється на 1 м/с.

Вектори переміщення, швидкості і прискорення належать до основних кінематичних характеристик поступального руху.

§ 1.5. Кінематика обертального руху.

Розглянемо кінематичні характеристики окремого випадку криволінійного руху по плоскій кривій – руху матеріальної точки по колу навколо нерухомої осі.

Нехай матеріальна точкаМ (рис. 5) рухається по колу радіуса R. Початок О прямокутної системи координат XYZ, розмістимо на осі обертання ОО' і спрямуємо вісь OZ, вздовж осі ОО'. Тоді площина кола буде паралельною координатній площині XOY і положення точки М у просторі визначатиметься радіусом-вектором .

Переміщення точки М по колу протягом часу характеризують кутомповороту вектора. Кутназиваютькутовим переміщенням. Швидкість , з якою матеріальна точка рухається по колу, називаютьлінійною.

Для кінематичного описання обертального руху кутове переміщення матеріальної точки за скінченний малий проміжок часу зображують у вигляді вектора малого кута повороту. Модуль цього вектора дорівнює кутовому переміщенню за даний проміжок часу. Його напрям пов’язують з віссю обертання і напрямом обертання точки навколо осі за такою домовленістю: векторнапрямлений вздовж осі обертання у бік поступального руху правого гвинта, що повертається за напрямом обертання матеріальної точки. Отже, векторразом з векторомі вектором лінійної швидкостіутворюють правогвинтову трійку взаємно перпендикулярних векторів. Напрями векторівівипливають з природи цих фізичних величин, такі вектори називаютьполярними. Вектори, напрям яких залежить від напряму обертання, називають осьовими (або аксіальними). Вектор кута повороту – один з осьових векторів.

Кут повороту може змінюватися з часом нерівномірно. Рух точки по колу характеризують векторомкутової швидкості . Вона визначається границею, до якої прямує відношення кута до проміжку часу, за котрий відбувся цей поворот

при .

Кутовою швидкістю називають вектор , що дорівнює похідній від вектора кута повороту за часом. Вектор– осьовий, напрямлений вздовж осі обертання і за напрямом збігається з вектором елементарного кута поворотута вказує положення осі обертання і напрям обертання точки навколо осі. Модуль кутової швидкості дорівнює похідній від модуля кута повороту за часом

.

Знайдемо зв’язок між кутовою швидкістю і лінійною швидкістюматеріальної точки. При малому кутовому переміщенніза часточка проходить довжину дуги кола(рис. 5). Поділивши цю рівність наі перейшовши до границі при, матимемо співвідношення між модулями швидкостей

, або .

Рівномірним обертанням по колу називають рух, при якому за рівні проміжки часу відбувається поворот на той самий кут. При рівномірному обертанні кутова швидкість стала і кут повороту пропорційний часові обертання.

Періодом обертання називають проміжок часу Т, протягом якого матеріальна точка здійснює один оберт. Оскільки за час кут повороту, то

.

Частота обертання дорівнює числу обертів за одиницю часу:

, або .

За одиницю кутової швидкості в СІ прийнято радіан за секунду (рад/с, або 1/с, або с^–1) – кутова швидкість рівномірного обертання, при якому кожної секунди точка здійснює поворот на один радіан.

У загальному випадку нерівномірного обертання кутова швидкість може змінюватись як за модулем внаслідок зміни частоти обертання навколо нерухомої осі, так і за напрямом, якщо вісь обертання змінює орієнтацію в просторі. Такий обертальний рух характеризують кутовим прискоренням. Якщо за малий проміжок часувекторзмінився на, то кутове прискорення визначається границею

при .

Кутовим прискоренням називають вектор , який дорівнює першій похідній від вектора кутової швидкості або другій похідній від вектора кута повороту за часом.

Вектор кутового прискорення має напрям вектора , тобто є осьовим. При обертанні навколо нерухомої осі в одному напрямі кутова швидкість змінюється тільки за модулем і, отже, модуль кутового прискорення

або .

Рівнозмінним обертанням матеріальної точки по колу називають обертальний рух, при якому за рівні проміжки часу кутова швидкість змінюється на однакову величину. При рівнозмінному обертанні в одному напрямі кутове прискорення стале і модулі кутової швидкості, кута повороту, тангенціального та нормального прискорень у даний момент часу і виражаються формулами

, ,,.

Кутове прискорення в СІ вимірюється в радіанах на секунду в квадраті (рад/с², або с^–2).

Основні рівняння кінематики обертального та поступального рухів матеріальної точки подібні. В таблиці 1 наведено найбільш уживані формули для рівномірного та рівнозмінного рухів.

Табл. 1.

Поступальний рух	Обертальний рух
Рівномірний
Рівнозмінний