Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
МАТЕМАТИКА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ / Часть 5 / 27. Поверхностные интегралы. Элементы теории поля.doc
Скачиваний:
103
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
2.36 Mб
Скачать

I уровень

1.1. Вычислите поток векторного поля через верхнюю часть плоскостирасположенную в первом октанте.

1.2. Вычислите дивергенцию векторного поля в точке

1.3. Найдите ротор векторного поля в точке

1.4. Вычислите циркуляцию векторного поля вдоль замкнутого контурапри положительном направлении обхода относительно ортадвумя способами: 1) непосредственно; 2) с помощью формулы Стокса.

1.5. Выясните, является ли векторное поле соленоидальным:

1)

2)

1.6. Выясните, является ли векторное поле потенциальным.

1.7. Выясните, является ли векторное поле гармоническим:

1) 2)

II уровень

2.1. Вычислите поток векторного поля через внешнюю сторону части параболоидаограниченного плоскостью

2.2. Вычислите поток векторного поля через замкнутую поверхностьограниченную поверхностями

2.3. Найдите если:

1) 2)

2.4. Вычислите циркуляцию векторного поля вдоль указанного замкнутого контура Г:

1) где Г – линия пересечения цилиндраи плоскостив положительном направлении обхода относительно единичного вектора

2) где Г – линия пересечения конусаи плоскостив положительном направлении обхода относительно единичного вектора

2.5. Докажите с помощью формулы Стокса, что где Г – любой замкнутый контур. Результат проверьте путем вычисления интеграла по контуру треугольникаABC с вершинами A(0; 0; 0), B(1; 1; 0) и C(1; 1; 1).

2.6. Вычислите в точкеесли

131потенциальным. Найдите его потенциал и вычислите соответствующий криволинейный интеграл 2-го рода по линии, соединяющей точкиM0(1; 1; 1) и M(2; 3; 2).

III уровень

3.1. Вычислите поток векторного поля через часть поверхности эллипсоида лежащую в первом октанте, в направлении внешней нормали.

3.2. Вычислите поток векторного поля через поверхность шараво внешнюю его сторону.

3.3. С помощью формулы Стокса вычислите интеграл где Г – пробегаемая в положительном направлении линия пересечения сферыи конусапри

3.4. Вычислите циркуляцию векторного поля вдоль линии пересечения сферыи плоскостив положительном направлении обхода относительно вектора

3.5. Выясните, является ли векторное поле потенциальным и найдите его потенциалu(M).

3.6. Выясните, является ли гармоническим векторное поле

156