I уровень
1.1. Вычислите поток векторного поля через верхнюю часть плоскостирасположенную в первом октанте.
1.2. Вычислите дивергенцию векторного поля в точке
1.3. Найдите ротор векторного поля в точке
1.4. Вычислите циркуляцию векторного поля вдоль замкнутого контурапри положительном направлении обхода относительно ортадвумя способами: 1) непосредственно; 2) с помощью формулы Стокса.
1.5. Выясните, является ли векторное поле соленоидальным:
1)
2)
1.6. Выясните, является ли векторное поле потенциальным.
1.7. Выясните, является ли векторное поле гармоническим:
1) 2)
II уровень
2.1. Вычислите поток векторного поля через внешнюю сторону части параболоидаограниченного плоскостью
2.2. Вычислите поток векторного поля через замкнутую поверхностьограниченную поверхностями
2.3. Найдите если:
1) 2)
2.4. Вычислите циркуляцию векторного поля вдоль указанного замкнутого контура Г:
1) где Г – линия пересечения цилиндраи плоскостив положительном направлении обхода относительно единичного вектора
2) где Г – линия пересечения конусаи плоскостив положительном направлении обхода относительно единичного вектора
2.5. Докажите с помощью формулы Стокса, что где Г – любой замкнутый контур. Результат проверьте путем вычисления интеграла по контуру треугольникаABC с вершинами A(0; 0; 0), B(1; 1; 0) и C(1; 1; 1).
2.6. Вычислите в точкеесли
131потенциальным. Найдите его потенциал и вычислите соответствующий криволинейный интеграл 2-го рода по линии, соединяющей точкиM0(1; 1; 1) и M(2; 3; 2).
III уровень
3.1. Вычислите поток векторного поля через часть поверхности эллипсоида лежащую в первом октанте, в направлении внешней нормали.
3.2. Вычислите поток векторного поля через поверхность шараво внешнюю его сторону.
3.3. С помощью формулы Стокса вычислите интеграл где Г – пробегаемая в положительном направлении линия пересечения сферыи конусапри
3.4. Вычислите циркуляцию векторного поля вдоль линии пересечения сферыи плоскостив положительном направлении обхода относительно вектора
3.5. Выясните, является ли векторное поле потенциальным и найдите его потенциалu(M).
3.6. Выясните, является ли гармоническим векторное поле