I уровень

1.1. Вычислите поверхностный интеграл 2-го рода:

1) где – верхняя часть плоскости расположенная в первом октанте;

2) где – внешняя сторона поверхности параболоида отсекаемая плоскостью

1.2. С помощью формулы Остроградского–Гаусса вычислите поверхностный интеграл:

1) где – внешняя сторона поверхности куба, ограниченного плоскостями

2) где – внешняя сторона цилиндра с основаниямии

II уровень

2.1. Вычислите поверхностный интеграл 2-го рода:

1) где – верхняя часть плоскости расположенная в первом октанте;

2) где – внешняя часть поверхности гиперболоида отсекаемая плоскостями

3) где – внешняя часть поверхности отсекаемая плоскостью

4) где – внешняя сторона поверхности эллипсоида расположенная в первом октанте.

2.2. С помощью формулы Остроградского–Гаусса вычислите поверхностный интеграл:

1) где – внутренняя сторона замкнутой поверхности, образованной конусом и плоскостью

2) где – внешняя часть поверхности тела, ограниченной поверхностями и

III уровень

3.1. Вычислите поверхностный интеграл 2-го рода:

1) где – верхняя часть плоскости расположенная в первом октанте;

2) где – внешняя сторона нижней половины сферы

3) где – внешняя часть поверхности параболоида отсекаемая плоскостью

4) где – наружная поверхность цилиндра отсекаемая плоскостями

3.2. С помощью формулы Остроградского–Гаусса вычислите поверхностный интеграл:

1) где – внешняя сторона сферы

2) где – внешняя часть поверхности тела, ограниченного поверхностями

27.3. Элементы теории поля

Если каждой точке поставлена в соответствие некоторая скалярная величинато говорят, что в областиV пространства заданоскалярное поле Если функцияне зависит от времени, то скалярное поле называетсястационарным; поле, меняющееся с течением времени, – нестационарным. Далее будем рассматривать только стационарные поля.

Скалярное поле можно изображать графически в виде поверхностей уровня – множества точек (x; y; z), в которых функция принимает постоянное значение Если заданная функцияявляется непрерывной и дифференцируемой в областиV, то через каждую точку, не являющуюся критической, проходит единственная поверхность уровня.

В случае задания функции двух переменных рассматриваемое скалярное поле называетсяплоским, а множество точек (x; y), в которых называется линиями уровня.

Для характеристики скорости изменения поля в заданном направлении вводится такая характеристика, как производная от функции по направлению (см. Математика в примерах и задачах. Ч. 3, с. 266), физический смысл которой состоит в том, что модуль данной производной представляет собой мгновенную скорость изменения функции в направлении дифференцирования в выбранной точке. С физической точки зрения направление наибыстрейшего возрастания функции задает градиент функции (см. там же.).

Если каждой точке поставлен в соответствие некоторый векторто говорят, что в областизадановекторное поле Задание векторного поляравносильно заданию вектор-функции

(27.12)

В случае отсутствия одной из переменных x, y, z, или равенства нулю одной из функций P(x; y; z), Q(x; y; z), R(x; y; z), рассматриваемое векторное поле является плоским.

Если в каждой точке области существуют все непрерывные частные производные первого порядка от функций P(x; y; z), Q(x; y; z) и R(x; y; z), векторное поле (27.12) называется дифференцируемым в области V. По аналогии со скалярным полем, если вектор не зависит от времени, задаваемое им векторное поле называетсястационарным; поле, меняющееся с течением времени, – нестационарным.

Геометрическими характеристиками векторного поля являютсявекторные линии, т. е. линии, касательные к которым в каждой точке имеют направление вектора

Пусть векторное поле образовано вектором (27.12), который будем считать вектором скорости некоторого потока несжимаемой жидкости, движущейся стационарно. Предположим, что в этом потоке находится некоторая поверхность , пропускающая данную жидкость.

Потоком вектора через поверхность  называется интеграл по поверхности  от скалярного произведения вектора поля на единичный векторнормали к поверхности, т. е. поверхностный интеграл 1-го рода

С учетом формулы (27.8) при вычислении потока вектора через поверхность  можно легко перейти к поверхностному интегралу 2-го рода

(27.13)

С физической точки зрения поток вектора представляет собой скалярную величину, численно равную объему несжимаемой жидкости, протекающей через поверхность за единицу времени.

Если поверхность  является замкнутой и ограничивает некоторый объем V, поток вектора записывают в виде

причем за направление вектора принято брать направление внешней нормали, тогда поток считается идущим изнутри поверхности. В этом случае величина потока K через замкнутую поверхность выражает разность между количеством жидкости, вытекающей из области объема V и втекающей в нее за единицу времени. При этом, если из областиV вытекает больше жидкости, чем в нее втекает, т. е. внутри области имеются дополнительные источники. При внутри областиV имеются стоки, поглощающие избыток жидкости. Значение потока свидетельствует о том, что из областиV вытекает столько же жидкости, сколько и втекает в нее за единицу времени, т. е. внутри рассматриваемой области либо нет источников и стоков, либо их действие взаимно компенсируется.

Для описания распределения и интенсивности источников и стоков векторного поля применяют такую характеристику, как дивергенция. Дивергенцией векторного поля в точкеM(x; y; z) называется предел отношения потока поля через замкнутую поверхность , окружающую точку M, к объему V тела, ограниченного этой поверхностью, при стремлении диаметра этого тела к нулю:

Если векторное поле дифференцируемо в областиV, то в любой точке M(x; y; z) существует дивергенция поля, причем

(27.14)

Физический смысл дивергенции состоит в том, что абсолютная величина выражает интенсивность источника или стока в токеM. По знаку дивергенции можно судить о наличии источника или стока векторного поля в рассматриваемой точке M: если то в точке M находится источник; если в точке M – сток; при источников и стоков в точке M нет.

Cвойства дивергенции:

1. если то

2. где

3. 

4. если u является скалярной функцией, то

Формулу Остроградского–Гаусса (27.11) можно записать в векторном виде

Пусть в области задано векторное поле (27.12) и гладкая поверхностьс границейL, причем функции P(x; y; z), Q(x; y; z) и R(x; y; z) являются непрерывно дифференцируемыми, а обход контура – положительным.

Циркуляцией векторного поля вдоль контураL называется криволинейный интеграл

(27.15)

где – единичный вектор, направленный по касательной к кривойL в направлении ее обхода.

Физический смысл циркуляции состоит в том, что если замкнутая кривая L расположена в силовом поле то циркуляция равна работе силыпри перемещении материальной точки вдольL (см. формулу (26.14)).

Ротором векторного поля в точкеM(x; y; z) называется предел отношения при стягивании контура L в точку M:

(27.16)

где – вектор нормали к замкнутой поверхностив точкеM,

V – объем области,

S – площадь поверхности интегрирования.

Свойства ротора:

1. если то

2. если то

3. где

4. если u представляет собой скалярную функцию, то

Формулу (27.16) можно записать в символической форме:

(27.17)

С физической точки зрения направление ротора – это направление, вокруг которого циркуляция имеет наибольшую плотность по сравнению с циркуляцией вокруг любого направления, не совпадающего с нормалью к поверхности

Имеет место соотношение

называемое формулой Стокса. Эта формула может быть записана в векторном виде

(27.18)

где левая часть соотношения представляет собой циркуляцию вектора по контуруL, а правая часть – поток вектора через поверхность ограниченную контуром L. Таким образом, формула Стокса (27.18) показывает, что циркуляция вектора вдоль замкнутого контураL равна потоку ротора этого вектора через поверхность, лежащую в этом векторном поле и ограниченную контуромL.

Векторное поле, в каждой точке которого дивергенция поля равна нулю, т. е. называется соленоидальным в области V. Для соленоидального поля в области V характерно следующее:

• нет источников и стоков;

• для любой замкнутой поверхности поток векторного поля через поверхность равен нулю;

• векторные линии поля являются замкнутыми или имеют концы на границе области V.

Если в каждой точке векторного поля выполняется соотношениевекторное поле называется потенциальным в области V задания поля.

Согласно определению ротора (27.16), необходимым и достаточным условием потенциальности поля является справедливость равенств:

(27.19)

Для того чтобы поле было потенциальным в областиV, необходимо и достаточно, чтобы существовала дважды непрерывно дифференцируемая скалярная функция такая, чтоФункцияu(M) при этом называется потенциалом поля

При выполнении условий (27.19) криволинейный интеграл 2-го рода не зависит от линии интегрирования, соединяющей точки иM. Поэтому для нахождения потенциала векторного поля применяют формулу

где – некоторая фиксированная точка,

–произвольная точка,

C – произвольная постоянная.

Векторное поле называется гармоническим, если выполняются следующие условия:

Потенциал u(M) гармонического поля является решением уравнения Лапласа

(27.20)

Функция удовлетворяющая уравнению Лапласа (27.20), называетсягармонической.

Пример 1. Найти поток векторного поля через верхнюю сторону части поверхностиотсеченной плоскостью

Решение. Нахождение потока векторного поля сводится к вычислению поверхностного интеграла 2-го рода по формуле (27.13):

Спроектировав поверхность параболоида на плоскостьxOy, сведем вычисление поверхностного интеграла к нахождению двойного интеграла по области представляющей собой кругПрименив формулу (27.9), получим:

После подстановки в подынтегральное выражение имеем интегралкоторый вычислим, перейдя к полярным координатами с учетом того, что в повторном интеграле

Пример 2. Вычислить дивергенцию векторного поля в точке

Решение. По условию Согласно формуле (27.14), имеем:

В точке имеем:

Так как то точкаявляется стоком поля.

Пример 3. Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль замкнутого контураL: если

Решение. Циркуляция векторного поля находится с помощью криволинейного интеграла 2-го рода по формуле (27.15), причем вычисление криволинейного интеграла 2-го рода производится с помощью соотношения (26.9), так как мы имеем дело с параметрическим заданием пространственной кривой. В нашем случае получим:

Пример 4. Найти ротор векторного поля в точке

Решение. По условию Согласно формуле (27.17), имеем:

В точке имеем:

Пример 5. С помощью формулы Стокса вычислить циркуляцию векторного поля по контуру треугольника, полученного в результате пересечения плоскостис координатными плоскостями, при положительном направлении обхода относительно нормального вектораэтой плоскости.

Решение. В результате пересечения плоскости с координатными плоскостями получим треугольник ABC. Укажем на нем положительное

Рис. 27.9

направление обхода контура ABC согласно условию задачи (рис. 27.9). Так как данный треугольник ABC лежит в плоскости П, то в качестве поверхности возьмем часть этой плоскости, ограниченную указанным контуром. Найдем ротор векторного поля В нашем случаеПо формуле (27.17) находим:

Согласно формуле Стокса (27.18),

Из уравнения плоскости П находим Поскольку поверхностьзадана уравнением в явном виде, а нормальный векторобразует с осьюOz острый угол то для вычисления последнего интеграла используем формулу (27.9) со знаком «–». Тогда

где – площадь треугольникаAOB.

Задания