I уровень

1.1. Вычислите поверхностный интеграл 1-го рода по поверхности, ограниченной указанными поверхностями:

1)

2)

3)

4)

1.2. Найдите массу материальной поверхности ограниченной указанными поверхностями, с поверхностной плотностьюf(x; y; z):

1)

2)

3)

II уровень

2.1. Вычислите поверхностный интеграл 1-го рода по поверхности, ограниченной указанными поверхностями:

1)

2)

3)

4)

2.2. Найдите массу материальной поверхности ограниченной указанными поверхностями, с поверхностной плотностьюf(x; y; z):

1)

2)

3)

III уровень

3.1. Вычислите поверхностный интеграл 1-го рода по поверхности, ограниченной указанными поверхностями:

1)

2)

3)

4)

3.2. Найдите массу материальной поверхности ограниченной указанными поверхностями, с поверхностной плотностьюf(x; y; z):

1)

2)

3.3. Найдите координаты центра масс однородной материальной поверхностивырезанной поверхностью

27.2. Поверхностный интеграл 2-го рода

Пусть в пространстве R³ задана гладкая двусторонняя поверхность  (т. е. такая поверхность, у которой различают внешнюю и внутреннюю сторону) с единичным вектором нормали для внешней стороны, гдеM(x; y; z) – произвольная точка поверхности. Такая поверхность называется ориентированной. Допустим, что на этой поверхности  определена вектор-функция

Разобьем поверхность  на части площади которых будем считать соответственно равнымиВнутри каждой элементарной области выберем произвольную точкуМ_i. Найдем в ней значение вектор-функции и вектор нормалиВычислив скалярные произведениягдесоставим интегральную сумму

Пусть  – диаметр разбиения поверхности . Устремим так, чтобыЕсли существует предел интегральныхсумм, который не зависит ни от способа разбиения поверхности , ни от выбора точек М_i, то этот предел называется поверхностным интегралом 2-го рода от функции f(x; y; z) по поверхности :

(27.7)

Интеграл (27.7) может быть записан также в следующем виде:

где – известные функции;

–углы, которые образует единичный вектор нормали с координатными осямиOx, Oy, Oz соответственно.

Поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода связаны между собой соотношением

(27.8)

Поверхностный интеграл 2-го рода обладает теми же свойствами, что и поверхностный интеграл 1-го рода (линейность, аддитивность, оценка модуля). Исключением является лишь его зависимость (по знаку) от ориентации поверхности, т. е. от выбора вектора нормали (внешнего или внутреннего).

Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода сводится к вычислению двойного интеграла.

1. Если поверхность  задана явно уравнением z = z(x; y), – ее единичный вектор нормали (внешний), то справедлива формула

(27.9)

где –известные функции,

D_XY – проекция поверхности  на плоскость xOy.

Знак «–» или «+» перед интегралом в формуле (27.9) выбирают в зависимости от того, какой угол  образует вектор с осьюOz: если берут знак «–»; приберут «+».

2. Если поверхность  задана неявно уравнением гдена всей поверхности, то справедлива формула

(27.10)

где – известные функции, в которых учтена зависимость

–проекция поверхности  на плоскость xOy.

Если вектор образует уголс осьюOz, то в формуле (27.10) перед интегралом выбирают знак «+», если – знак «–».

Если  – гладкая замкнутая поверхность, ограничивающая область и в этой области определены функцииP(x; y; z), Q(x; y; z) и R(x; y; z), имеющие непрерывные производные, то в случае интегрирования по внешней стороне поверхности  имеет место формула Остроградского–Гаусса

(27.11)

Пример 1. Вычислить поверхностный интеграл 2-го рода:

1) где – верхняя часть плоскости расположенная в первом октанте;

2) где – часть поверхности отсекаемая плоскостьюz = 1, нормаль к поверхности – внешняя.

Решение. 1) Изобразим поверхность  и направление нормального вектора к указанной части поверхности (рис. 27.5). Проекцией плоскости на координатную плоскость xOy является треугольник (рис. 27.6).

Рис. 27.5

Рис. 27.6

Из уравнения плоскости находим Следовательно, поверхность может быть задана уравнением в явном виде. Так как нормальный вектор образует с осью Oz острый угол то используем формулу (27.9) со знаком «–». Тогда

Подставляя в последний интеграл вместо z уравнение плоскости получим двойной интеграл

Для нахождения значения этого интеграла перейдем к повторному интегралу и вычислим его:

2) Уравнение задает в пространстве эллиптический параболоид (рис. 27.7).

Рис. 27.7

Нормальный вектор образует с осьюOz тупой угол По условиюВ результате сечения по­верхностиплоскостьюполучаем окружность еди­ничного радиуса. Проекцией по­верхностина плоскостьxOy яв­ляется круг

Поскольку поверхность задана уравнением в явном виде, используем формулу (27.9) со знаком «+» (так как). Тогда

Учитывая, что поверхность задана уравнениеми подставив в последний интеграл выражение получим

Осуществим переход к полярным координатам по формулам а затем перейдем к повторному интегралу. При этом целесообразно использовать симметрию областиD и рассмотреть четвертую часть круга при

Найдем полученный повторный интеграл в полярных координатах:

Пример 2. Вычислить интеграл где– внешняя сторона поверхностипри условии

Решение. Уравнение конической поверхности может быть записано в неявном виде причем рассматривается ее внешняя часть от плоскостидо плоскости(рис. 27.8).

Рис. 27.8

Поверхность проектируется на круглежащий в плоскостиxOy. Используем уравнение поверхности в неявном виде, т. е. ТогдаУчтем, чтоугол между вектором нормали и осью Oz – тупой (т. е. ).

Тогда по формуле (27.10) со знаком «–» перед интегралом получаем:

Подставив имеем двойной интеграл:

Перейдем к полярным координатам. Учтем, что область D ограничена окружностью и используем симметрию областиD. Таким образом, для четвертой части круга Последний интеграл сводится вначале к двойному в полярных координатах, а затем – к повторному:

Пример 3. Вычислить поверхностный интеграл 2-го рода где– внешняя сторона поверхности сферы

Решение. Воспользуемся формулой Остроградского–Гаусса (27.11). Учитывая, что находим:

Так как геометрический смысл тройного интеграла состоит в том, что он равен объему шара, т. е.то в нашем случае

Задания