I уровень

1.1. Найдите собственные векторы и собственные значения линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А:

1) 2)3)

4) 5)6)

II уровень

2.1. Найдите собственные векторы и собственные значения линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А:

1) 2)3)

4) 5) 6)

III уровень

3.1. Найдите собственные векторы и собственные значения линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А:

1) 2)

3.2. Найдите собственные значения квадратной диагональной матрицы порядка n.

3.3. Найдите собственные значения квадратной треугольной матрицы порядка n.

3.4. Известны собственные значения матрицыA. Найдите собственные значения матрицы B, если матрица B равна:

1) 2)

23.5. Квадратичные формы, приведение уравнения

кривой и поверхности 2-го порядка

к каноническому виду

Квадратичной формой переменных называется однородный многочлен второй степени относительно этих переменных:

(23.20)

где – числовые коэффициенты

Квадратичная форма (23.20) не содержит свободного члена и одночленов 1-й степени.

Квадратичную форму можно записать так, что коэффициенты при ибудут равны, поэтому будем считать, что

Матрица

(23.21)

составленная из коэффициентов квадратичной формы, называется матрицей квадратичной формы.

Квадратичная форма (23.20) может быть записана в виде

(23.22)

где А – матрица (23.21),

X – матрица-столбец переменных.

Если – собственные числа матрицы (23.21), то квадратичная форма имеет канонический вид:

(23.23)

Если то квадратичная форма (23.20) имеет вид:

(23.24)

если то –

(23.25)

Понятие «квадратичная форма с двумя переменными» используют для приведения уравнения линии второго порядка к каноническому виду, а c тремя переменными – для приведения уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду.

Как известно, множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению:

(23.26)

в декартовой системе координат называетсялинией второго порядка.

Пусть дано уравнение (23.26). Рассмотрим квадратичную форму с матрицейв базисеСуществует ортонормированный базиссоставленный из собственных векторов матрицыА, в котором матрица В квадратичной формы f имеет вид: где– собственные значения матрицыA. Сделав замену координат, приводим уравнение (23.26) к виду:

(23.27)

Далее выделяем полные квадраты и приводим уравнение к каноническому уравнению кривой 2-го порядка.

Множество точек координаты которых удовлетворяют уравнению:

(23.28)

в декартовой системе координат называетсяповерхностью второго порядка в

Старшие члены уравнения (23.28) образуют квадратичную форму f с матрицей A в указанном базисе где

Существует ортонормированный базис составленный из собственных векторов матрицыA, в которых квадратичная форма f имеет канонический вид. Сделав замену координат, приводим уравнение (23.28) к виду:

(23.29)

где – собственные значения матрицыА.

Далее выделяем полные квадраты и сводим уравнение к каноническому виду.

Пример 1. В базисе задана квадратичная формаЗаписать матрицуА формы f в этом базисе.

Решение. Учитывая, что записываем

Тогда

Пример 2. В базисе пространствазадана квадратичная формаПривести эту формуf к каноническому виду, выписав соответствующий базис и матрицу перехода отстарого базиса к новому

Решение. Матрица A формы f в базисе имеет следующий вид:Находим собственные значения и собственные векторы матрицыA:

Получаем:

Для имеем:

откуда т. е. Нашли собственный вектор

Для него Поэтому

Для имеем:

откуда

Получили собственный вектор для которогоТогда

Новый базис:

Далее:

где

Пример 3. В базисе пространствазадана квадратичная формаПривести эту формуf к каноническому виду, записав соответствующий базис и матрицуC перехода от старого базиса к новому

Решение. Матрица A формы f в базисе имеет следующий вид:Находим собственные значения и собственные векторы матрицыA:

откуда Тогда

Последовательно находим:

1) 

Собственный вектор

2) 

Собственный вектор

3) 

Собственный вектор

Таким образом получили новый базис:

Пример 4. В некотором базисе пространства задана квадратичная форма

Найти канонический вид этой квадратичной формы.

Решение. Запишем матрицу формы f в этом базисе и найдем собственные значения этой матрицы A:

Получаем:

Тогда в некотором новом базисе квадратичная форма f по формуле (23.23) имеет следующий вид:

Пример 5. В системе координат xOy плоскости задана линия второго порядкаНайти каноническое уравнение этой линии в некоторой декартовой системе координата также зависимость между координатамии

Решение. Рассмотрим квадратичную форму и приведем ее к каноническому виду (см. пример 2, с. 33 данного пособия):

где

Тогда по формуле замены координат имеем:

Значит

Подставляя в уравнение линии, получаем:

В последнем уравнении, выделив полные квадраты, получим:

Пусть

Тогда т. е.– уравнение гиперболы.

Зависимость между старыми и новыми координатами задается равенствами:

Пример 6. В системе координат пространствазадана поверхность второго порядкаНайти каноническое уравнение этой поверхности в некоторой декартовой системе координата также зависимость между координатами (x; y; z) и

Решение. Рассмотрим квадратичную форму и приведем ее к каноническому виду (см. пример 3, с. 34 данного пособия): где

Согласно формуле замены координат имеем:

откуда

Подставляя в уравнение поверхности, получаем:

Выделяя полные квадраты, получим:

Пусть Тогда получаем

Приходим к уравнению

которое определяет двуполостный гиперболоид.

Переход к каноническому виду уравнения был произведен с помощью следующих преобразований координат:

т. е.

Задания