23. Линейные пространства

и линейные операторы

23.1. Линейное пространство, определение и примеры

Пусть F – множество всех действительных чисел R или множество всех комплексных чисел C.

Множество V элементов x, y, z, … называется линейным (векторным) пространством над числовым множеством F, если для каждых двух элементов x и y из V определена их сумма для каждогои каждого числаопределено их произведениепричем выполняются следую­щие аксиомы:

А1) –коммутативность сложения;

А2) –ассоциативность сложения;

А3) существует такой элемент называемыйнулевым, что х + 0 = х,

А4) для каждого элемента существует такой элементназываемыйпротивоположным к x, что

А5)

А6) для всехи

А7)

А8)

Элементы линейного (векторного) пространства называются векторами. Если F – множество действительных чисел R или множество комплексных чисел C, то векторное пространство V над множеством F называется соответственно действительным или комплексным линейным пространством. Далее, в основном, будут рассматриваться действительные линейные пространства.

Векторы линейного пространстваV называются линейно-зависимыми, если существуют числа не все равные нулю, такие, что

(23.1)

Векторы называютсялинейно-независимыми, если равенство (23.1) выполняется только при условии

Вектор x разлагается по векторам (линейно выражается) через векторы еслиЕсли векторылинейно-зависимы, то хотя бы один из них линейно выражается через остальные.

Линейно-независимая система векторов называетсябазисом пространства, если любой вектор этого пространства разлагается по векторам Линейное пространство называетсяконечномерным, если его базис состоит из конечного количества векторов, и бесконечномерным – в противном случае.

Количество n векторов базиса конечномерного пространства V называется размерностью пространства V, что записывают илигде

Каждую линейно-независимую систему векторов конечномерного пространстваможно дополнить до базиса

Если – базис пространствато любой векторx из имеет единственное разложение

(23.2)

Числа называютсякоординатами вектора x в базисе при этом записывают

Если некоторое подмножество само образует линейное пространство относительно введенных вV операций сложения и умножения на число, то называетсяподпространством линейного пространства V.

Пусть – множество всех матриц-строк, имеющихn элементов, с обычными операциями сложения матриц и умножения матрицы на число:

а)

б)

Для этого множества выполняются аксиомы А1)–А8). Следовательно, это множество является линейным пространством. Строки образуют базис этого пространства, поэтому оноn-мерно. Построенное пространство называется арифметическим или координатным линейным пространством и обозначается

Теорема. Пусть – линейное пространство размерностиn. Тогда существует взаимно-однозначное соответствие между и координатным пространством

Из этой теоремы следует, что при изучении свойств пространства достаточно рассмотреть соответствующие свойства пространства

Пример 1. Показать, что множество всех многочленов образует линейное пространство, найти базис и определить размерность пространствавсех многочленов с коэффициентами из множествастепень которых не превосходитn.

Решение. Нетрудно проверить, что множество всех таких многочленов образует линейное пространство относительно обычных операций сложения многочленов и умножения многочлена на число, т. е. выполняются аксиомы А1)–А8). Рассмотрим произвольный многочлен тогдаСледовательно,линейно выражается через многочленыПри этомтогда и только тогда, когдат. е.– линейно-независимые векторы, они образуют базис векторного пространствапричем

Пример 2. Определить размерность линейного пространства всех действительных функций F(R) с обычными операциями сложения функций и произведения функции на число.

Решение. Непосредственно проверяются аксиомы А1)–А8) линейного пространства, следовательно F(R) является векторным пространством. Далее, функции являются линейно-незави­симыми векторами для любогоn, т. е. F(R) не имеет конечного базиса и является бесконечномерным.

Пример 3. Доказать, что множество M(m, n) всех прямоугольных действительных (размера ) матриц с обычными операциями сложения матриц и умножения матрицы на число является линейным пространством. Найти его размерность.

Решение. Поскольку выполняются аксиомы А1)–А8), то M(m, n) – линейное пространство (убедитесь в этом самостоятельно).

Рассмотрим матрицу в которой элемент, сто­ящий вi-й строке и j-м столбце, равен 1, а все остальные элементы равны нулю. Всего таких матриц будет Для любой матрицыимеем:Из этого равенства следует, что любая матрицаА линейно выражается через матрицы Если(нулевая матрица), тоСледовательно, векторы– линейно-независимы и образуют базис векторного пространстваM(m, n). Таким образом, размерность этого пространства равна В частности, для квадратных матриц порядкаn она равна

Пример 4. Доказать, что множество всех геометрических векторов в трехмерном пространстве образует трехмерное векторное пространство V.

Решение. Если рассмотреть в трехмерном пространстве декартову систему координат с соответствующими ортами то любой векторединственным образом разлагается по

В стандартном курсе векторной алгебры показывается, что операции сложения векторов и умножения вектора на действительное число удовлетворяют аксиомам А1)–А8). Поэтому множество всех геометрических векторовV образует линейное пространство.

Очевидно, что в случае равенства выполняетсяи векторы– линейно-независимы. Таким образом, пространствоV имеет размерность 3 и отождествляется с если задан базис

Пример 5. Описать геометрически все подпространства линейного пространства

Решение. Любое векторное пространство V имеет два тривиальных подпространства V и Если– подпространство пространствато вимеется максимальная система линейно-независимых векторов, предположим, чтоm – число векторов этой системы. Если тоеслитоЕслитоотожествляется с множеством всех векторов некоторой прямой, проходящей через начало координат. В случаемножествоможно считать множеством всех векторов плоскости, проходящей через начало координат. Всевозможные такие прямые и плоскости геометрически и описывают все нетривиальные подпространства пространства

Пример 6. Доказать, что векторы иобразуют базис пространстваи найти координаты векторав этом базисе.

Решение. Как известно из векторной алгебры, базис в образует всякая тройка векторов, для которой смешанное произведение не равно нулю. Вычислим его для заданных векторов:

Мы убедились, что векторы иобразуют базис. Чтобы определить координаты вектораразложим его по векторам этого базиса.

Предположим, что

или в координатной форме

В координатной форме последнее равенство равносильно системе уравнений:

Для нахождения неизвестных коэффициентов решим систему методом Крамера. Вычислим определитель этой системы

Далее находим

Используя формулы Крамера, находим:

Таким образом в базисе справедливо разложениет. е.

Задания