I уровень
1.1.Найдите неопределенной интеграл:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
II уровень
2.1.Найдите неопределенный интеграл:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
2.2.Найдите неопределенный интеграл, преобразовав подынтегральную функцию к виду (19.31):
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
2.3.Найдите интеграл, избавившись от иррациональности в числителе или знаменателе дроби:
1)
2)
3)
4)
5)
2.4.Найдите интеграл (после подстановки вместо разложения на простейшие дроби примените метод интегрирования по частям):
1)
2)
3)
4)
III уровень
3.1.Найдите интеграл, применяя тригонометрические подстановки:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
3.2.Найдите интеграл, выделив предварительно в подкоренном выражении полный квадрат:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
19.8. Интегралы от дифференциальных биномов
Дифференциальным биномом называется выражение вида
(19.32)
где m,n,p– рациональные числа;a,b– действительные числа, отличные от нуля.
Если
то можно использовать формулу бинома
Ньютона, и этим сводим интеграл к
интегралу от степенной функции. В общем
случае интегралы от дифференциальных
биномов, т. е.
можно привести к интегралу от рациональной
функции в следующих трех случаях:
1) если p– целое число,
то применяется подстановка
где
2) если
– целое число,
то применяется подстановка
3) если
– целое число,
то применяется подстановка
Пример 1. Найти неопределенный интеграл:
1)
2)
3)
4)
Решение. 1) Запишем подынтегральную функцию в виде дифференциального бинома (19.32)
Тогда
т. е.
p
– целое число. Следовательно, имеем
первый случай интегрируемости
дифференциального бинома. Так как
то применим подстановку
Тогда
Вычисляем:
2) Запишем подынтегральную функцию в виде дифференциального бинома (19.32)
Тогда
– целое число.
Следовательно,
здесь мы имеем второй случай интегрируемости
дифференциального бинома. Используем
подстановку
Тогда
где
Получаем ответ:
3) Запишем подынтегральную функцию в виде (19.32)
Тогда
–целое
число. Следовательно, имеем третий
случай интегрируемости дифференциального
бинома. Используем подстановку
Тогда
Переходя в подынтегральном выражении к переменной t, получаем:
Заменяем
t
на
и получаем ответ:
4) Запишем подынтегральную функцию в виде дифференциального бинома (19.32)
Тогда
–целое
число. Следовательно, имеем третий
случай интегрируемости дифференциального
бинома. Используем подстановку:
Тогда
Интеграл преобразуется к виду
Последний интеграл можно вычислить двумя способами: либо разложить подынтегральную рациональную дробь на сумму простейших дробей либо применить формулу интегрирования по частям.
Вычислим 2-м способом.
Положим
Тогда
Получим:
Заменяем
t
на
и окончательно получаем:
Пример
2. Найти
интеграл
разными способами.
Решение.
1-й способ.
Для вычисления интеграла используем
формулу интегрирования по частям.
Положим
Тогда
Имеем:
В правой части этого равенства получили исходный интеграл. Найдем его из уравнения
2-й
способ. Для
вычисления интеграла применим
тригонометрическую подстановку
Тогда
Интеграл примет вид:
Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью. Разложим ее на сумму простейших дробей:
(19.33)
Полагая
получаем
Полагая
получаем
Находим производную от обеих частей равенства (19.33):
Полагая
получим
Полагая
получим
Тогда разложение данной дроби на простейшие имеет вид:
Приходим к интегралу
Возвращаемся
к заданной переменной, заменяем y
на sin t,
где
Тогда
Получаем:
Присоединяя
к произвольной постояннойС,
получаем:
3-й способ. Запишем подынтегральное выражение в виде дифференциального бинома (19.32)
Тогда
– целое
число. Следовательно, имеем третий
случай интегрируемости дифференциального
бинома. Используем подстановку
Тогда
Интеграл преобразуется к виду
Для вычисления последнего интеграла применим формулу (19.20) интегрирования по частям.
Положим
Тогда
Получаем:
Подставляем
и после преобразований получаем ответ:
Задания