- •19. Неопределенный интеграл
- •19.1. Свойства неопределенного интеграла. Таблица
- •I уровень
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •19.3. Интегрирование некоторых выражений,
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •19.4. Метод интегрирования по частям
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •19.5. Рациональные функции. Интегрирование
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •19.6. Интегрирование тригонометрических выражений
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •19.7. Интегрирование иррациональных функций
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •19.8. Интегралы от дифференциальных биномов
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
I уровень
1.1.Найдите неопределенный интеграл, используя метод замены переменной:
1) 2)3)
4) 5)6)
1.2.Найдите неопределенный интеграл, используя метод поднесения под знак дифференциала:
1) 2) 3)
4) 5)6)
7) 8) 9)
1.3.Найдите неопределенный интеграл, используя метод замены переменной или метод подстановки:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
II уровень
2.1.Найдите неопределенный интеграл разными способами:
1) 2) 3)
4) 5) 6)
7) 8)9)
2.2.Найдите неопределенный интеграл:
1) 2) 3)
4) 5) 6)
7) 8) 9)
10) 11) 12)
13) 14)
2.3.Найдите неопределенный интеграл, предварительно преобразовав подынтегральное выражение:
1) 2)
3) 4)
III уровень
3.1. Найдите неопределенный интеграл:
1) 2)3)
4) 5)6)
7) 8) 9)
10) 11)12)
13) 14)
3.2.Найдите неопределенный интеграл методом подстановки или методом замены переменной:
1) (у к а з а н и е:
2) (у к а з а н и е:
3) (у к а з а н и е:
4) (у к а з а н и е:
5) (у к а з а н и е:
6) (у к а з а н и е:
19.3. Интегрирование некоторых выражений,
содержащих квадратный трехчлен
Рассмотрим некоторые виды интегралов, содержащих квадратный трехчлен в подынтегральном выражении, и способы их вычисления. Всюду далее считаем
Для вычисления интеграла вида
(19.17)
выделим полный квадрат в квадратном трехчлене:
Сделаем замену переменной Тогда интеграл (19.17), в зависимости от знака выражениясводится к одному из интеграловили
Вместо замены переменной (после выделения полного квадрата) можно использовать также метод поднесения под знак дифференциала.
Интеграл вида
(19.18)
также вычисляется выделением полного квадрата в квадратном трехчлене. Он сводится к интегралу
если
или к интегралу
если
Рассмотрим интеграл вида
где (19.19)
В числителе подынтегральной функции выделяем производную квадратного трехчлена, записанного в знаменателе. Тогда интеграл (19.19) можно представить в виде суммы двух интегралов, один из которых сводится к интегралуа второй вычисляем как интеграл вида (19.17).
Интеграл вида сводится к сумме интегралови вида (19.18).
Интегралы вида сводятся к рассмотренным выше интегралам с помощью подстановки
Интеграл вида после выделения полного квадрата и заменысводится к одному из интеграловиликоторые могут быть вычислены методом интегрирования по частям (см. п. 19.4.) или с помощью тригонометрических подстановок (см. п. 19.7.), или как интеграл от дифференциального бинома (см. п. 19.8).
Пример 1. Найти неопределенный интеграл:
1) 2)
3) 4)
Решение: 1) Выделим в знаменателе дроби полный квадрат:
Используем метод поднесения под знак дифференциала. Интеграл примет вид:
Для вычисления последнего интеграла использовали формулу (19.13) таблицы интегралов.
2) Вынесем в знаменателе подынтегрального выражения множитель 2 за скобки и выделим полный квадрат, получим:
Заменим иИнтеграл примет вид:
Для вычисления последнего интеграла использовали формулу (19.15) таблицы интегралов. Возвращаясь к переменной x, имеем:
3) Выделив в подкоренном выражении полный квадрат, получаем:
Используя метод поднесения под знак дифференциала и формулу (19.16) таблицы интегралов, имеем:
4) Выделим в подкоренном выражении полный квадрат:
Применив метод поднесения под знак дифференциала и формулу (19.14) таблицы интегралов, получаем:
Пример 2. Найти неопределенный интеграл:
1) 2)3)
Решение: 1) Найдем производную квадратного трехчлена, записанного в знаменателе дроби,
Выделим производную знаменателя в числителе дроби:
Тогда
Используя второе свойство неопределенного интеграла, представим данный интеграл в виде суммы двух интегралов
Выделим в знаменателе второго интеграла полный квадрат:
Для вычисления полученных интегралов используем метод поднесения под знак дифференциала и формулы (19.5) и (19.13) таблицы интегралов:
2) Выделим в подкоренном выражении полный квадрат:
Заменив получим:
Для вычисления суммы интегралов использовали метод поднесения под знак дифференциала и формулы (19.3) и (19.14) таблицы интегралов.
3) Найдем производную квадратного трехчлена
Выделим ее в числителе дроби, чтобы получить дифференциал знаменателя:
Для вычисления интеграла использовали метод поднесения под знак дифференциала и формулу (19.5) таблицы интегралов.
Пример 3. Найти неопределенный интеграл
Решение: Применим подстановку тогдаПолучаем:
Задания