I уровень
1.1. Найдите неопределенный интеграл, преобразовав произведение тригонометрических функций в сумму:
1)
2)
3)
4)
1.2.Найдите
неопределенный интеграл, применяя
подстановку
или
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
1.3.Найдите неопределенный интеграл, используя формулы понижения степени:
1)
2)
3)
1.4.Найдите неопределенный интеграл, используя универсальную тригонометрическую подстановку:
1)
2)
3)
4)
1.5.Найдите
неопределенный интеграл, используя
подстановку
1)
2)
3)
4)
II уровень
2.1.Найдите неопределенный интеграл:
1)
2)
2.2.Найдите
неопределенный интеграл, применяя
подстановку
или
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
2.3.Найдите
неопределенный интеграл, применяя
подстановку
или
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
2.4.Найдите
неопределенный интеграл, применяя
подстановку
или
1)
2)
3)
4)
2.5.Найдите
неопределенный интеграл, применяя
подстановку
или
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
2.6.Найдите неопределенный интеграл:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
III уровень
3.1.Найдите неопределенный интеграл, используя универсальную тригонометрическую подстановку:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
3.2.Найдите
неопределенный интеграл, используя
подстановку
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
19.7. Интегрирование иррациональных функций
Основной метод вычисления интеграла от иррациональной функции – метод рационализации (т. е. сведение к рациональной функции), для чего делают определенную подстановку.
Алгебраическая подстановка
Интеграл вида
(19.31)
где
– целые ненулевые числа, с помощью
подстановки
приводится к интегралу от рациональной функции.
Частные случаи интеграла(19.31):
1. Если
то интеграл имеет вид:
и преобразуется
в интеграл от рациональной функции с
помощью подстановки
где
2. Если
,
,
то интеграл (19.31) имеет вид:
и сводится к
интегралу от рациональной функции с
помощью подстановки
где
Тригонометрическая подстановка
Интегралы вида
где R– некоторая рациональная функция
относительноxи
могут быть вычислены с помощью
тригонометрических подстановок, которые
приводят его к интегралу от рациональной
функции.
В квадратном
трехчлене выделим полный квадрат
и применим подстановку
В результате под корнем получим одно
из 3-х выражений:
или
Если имеем
то для уничтожения иррациональности
применим подстановку
в результате которой
Аналогично можно использовать подстановку
Если имеем
то для уничтожения иррациональности
применяется подстановка
в результате которой имеем:
Если под интегралом
есть выражение
то подставляем
т. е.
Далее интеграл вычисляют как интеграл от тригонометрической функции и возвращаются к старой переменной, выражая последовательно tчерезyиx.
Пример 1. Найти неопределенный интеграл:
1)
2)
3)
4)
Решение.
1) Поскольку интеграл имеет вид:
а
то применим подстановку
Тогда
2)
Интеграл имеет вид:
поэтому применим подстановку
Тогда имеем:
3)
Интеграл имеет вид:
Применим
подстановку
Получаем:
4)
Интеграл имеет вид:
Применим
подстановку
Получаем интеграл
Для вычисления последнего интеграла вместо разложения на простейшие дроби применим формулу интегрирования по частям. Положим:
Получаем:
Заменяем
t
на
тогда имеем:
Пример 2. Найти неопределенный интеграл:
1)
2)
3)
4)
Решение.
1) Положим
Тогда
Интеграл примет вид:
Возвращаемся
к заданной переменной, заменяем t
на
Тогда
Приходим
к ответу:
2)
Применим подстановку
Тогда
Получаем интеграл
Заменяя
t
на
получаем:
Приходим
к ответу:
3)
1-й способ.
Применим подстановку
Тогда
Интеграл примет вид:
Заменяем
t
на
и применяем формулу
Приходим к ответу:
2-й
способ.
Применим подстановку
Тогда
Получаем интеграл
4) Выделим
полный квадрат в квадратном трехчлене
Положим
тогда
получаем интеграл
для вычисления которого применим
тригонометрическую подстановку
Тогда имеем:
Заменяем
Приходим к ответу:
Задания