I уровень

1.1.Докажите, что функцияF(x) является первообразной функцииf(x) и найдите неопределенный интеграл:

1)

2)

3)

4)

5)

1.2.Найдите совокупность всех первообразных функцииf(x) и нарисуйте интегральные кривые для заданных значенийC:

1)

2)

3)

1.3.Используя интегрирование дифференциала, найдите:

1) 2)

3) 4)

1.4.Найдите функциюF(x), график которой проходит через точкуМ, если:

1) 2)

3) 4)

II уровень

2.1.Найдите интеграл непосредственным интегрированием:

1) 2)3)

4) 5)6)

7) 8)9)

10) 11)12)

2.2.Найдите неопределенный интеграл, используя свойства интеграла:

1) 2)3)

4) 5)6)

7) 8)9)

III уровень

3.1.Найдите неопределенный интеграл:

1) 2)3)

4) 5)6)

7) 8)9)

3.2.Представьте подынтегральное выражение в виде дифференциала некоторой функции и, используя свойства неопределенного интеграла, найдите интеграл:

1) 2)3)

4) 5)6)

19.2. Методы вычисления неопределенного

интеграла

Приведем основные методы вычисления неопределенного интеграла.

1. Метод замены переменной

Его использование базируется на следующей «цепочке» равенств:

где F(t) первообразная функцииf(t). Далее необходимо подставить вместоtвыражениеg(x).

2. Метод подстановки

Описывается равенством

Этот метод используют в том случае, если последний интеграл вычисляется проще чем заданный.

3. Метод поднесения под знак дифференциала

Для вычисления интеграла используют определение дифференциала:

Согласно этому методу не делают явно замену переменной, подразумевая, что g(x) играет роль новой независимой переменной.

При использовании метода поднесения под знак дифференциала, метода замены переменной, метода подстановки удобно использовать простейшие преобразования дифференциала:

1) (b– произвольная постоянная величина);

2) (постоянная);

3)(постоянная

Пример 1. Найти неопределенный интеграл:

1) 2)3)4)

Решение. 1) 1-й способ. Используем метод замены переменной. Положим ТогдаИмеем:

Для вычисления интеграла использовали формулу (19.3) таблицы неопределенных интегралов.

2-й способ. Используем метод поднесения под знак дифференциала. Представим данный интеграл в следующем виде:

Учитывая, что по формуле (19.3) таблицы неопределенных интегралов получаем:

2) Поскольку тоПоднесение под дифференциал приводит далее к интегралу

Для вычисления интеграла использовали формулу (19.8) таблицы неопределенных интегралов.

3) Очевидно, что Значит,

Применяя формулу (19.14) таблицы интегралов, получаем ответ:

4) Используя второе свойство неопределенного интеграла, представим заданный интеграл в виде суммы двух интегралов:

Вычислим полученные интегралы отдельно. Так как то, используя далее формулу (19.5) таблицы интегралов, получаем:

Так как то по формуле (19.3) таблицы интегралов имеем:

Подставив найденные значения интегралов I₁(x) и I₂(x) в первоначальный интеграл, приходим к ответу:

Пример 2. Методом подстановки найти интеграл:

1) 2)3)

Решение. 1) Используем метод подстановки. Положим тогда

Для вычисления последних интегралов использовали формулы (19.4) и (19.9) таблицы интегралов. Выразим переменную t через переменную x.

Тогда

Получаем ответ:

2) Применим подстановку тогдаТаким образом,

Для вычисления интеграла использовали формулу (19.3) таблицы интегралов.

3) Применим подстановку тогдаПолучаем:

Используя тригонометрическое тождество имеем:

Вернемся к переменной x, для чего выразим t через x из подстановки Тогда

Таким образом,

Задания