Предисловие

Особенностью образовательной системы Республики Беларусь является становление и развитие учебных заведений различного типа, в том числе колледжей и высших колледжей. В условиях многоуровневого образования в системе учебных заведений колледж–университет актуальна реализация принципов непрерывности и преемственности в обучении.

Предлагаемое учебное пособие «Математика в примерах и задачах» в 6-ти частях призвано обеспечить процесс изучения математики в высших колледжах и колледжах технического профиля. Оно может быть использовано учащимися на практических занятиях, а также при самостоятельном изучении математики.

При создании настоящего пособия авторы ставили перед собой несколько целей: во-первых, дать значительное количество задач (типовых и оригинальных), которые бы достаточно полно отображали суть основных математических понятий; во-вторых, обеспечить необходимой теоретической информацией для их решений; в-третьих, по каждой теме привести решение основных типов задач; в-четвертых, предлагаемый для решения набор задач распределить по трем уровням сложности. Все эти цели и определили структуру учебного пособия, которое делится на главы, главы – на параграфы. В начале каждого параграфа содержится необходимый справочный материал, затем – решение нескольких задач и набор заданий трех уровней сложности.

Предлагаемая структура учебного пособия, по мнению авторов, делает возможным самостоятельное изучение математики. Его использование позволяет реализовать дифференцированный подход в обучении – каждый учащийся может решать задания доступного ему уровня сложности.

Пособие разработано и прошло апробацию в УО «Минский государственный высший радиотехнический колледж» (МГВРК) в процессе обучения учащихся после базовой школы.

Характерной особенностью методического подхода к изучению математики в МГВРК является построение интегрированного курса математических дисциплин. Этим объясняется то обстоятельство, что определенные темы высшей математики введены в контекст элементарной математики. Поскольку на практике широко реализуется непрерывное образование в системе учебных заведений колледж–университет (в том числе МГВРК интегрирован с Белорусским государственным университетом информатики и радиоэлектроники), то при разработке данного учебного пособия авторы использовали (как и в реальном учебном процессе) в качестве типовых программу изучения математики в средних школах Беларуси и программу изучения высшей математики для высших учебных заведений по специальностям электро-, радиотехники и информатики.

Таким образом реализуются основы непрерывного продолжения обучения в университете. Кроме того, предлагаемое учебное пособие может быть использовано в колледжах при изучении математики по различным базовым и рабочим программам – менее или более полным.

«Математика в примерах и задачах. Часть 4» является непосредственным продолжением учебного пособия «Математика в примерах и задачах. Части 1–3». В этих изданиях принята единая нумерация глав. Предлагаемое пособие (четвертая часть) состоит из четырех глав (гл. 19–22). В отношении авторства отметим, что они подготовлены следующим образом:

М. В. Ламчановская – гл. 19 «Неопределенный интеграл», гл. 20 «Определенный интеграл», гл. 21 «Несобственные интегралы»;

Н. В. Михайлова – гл. 22 «Дифференциальные уравнения».

Научно-методическое редактирование осуществила Л. И. Майсеня, она является соавтором всего пособия.

Авторы благодарны рецензентам учебного пособия – доктору физ.-мат. наук, профессору А. В. Метельскому и сотрудникам кафедры высшей математики БГУИР, особенно зав. кафедрой, доктору физ.-мат. наук В. В. Цегельнику и профессору А. А. Карпуку, за очень внимательное прочтение рукописи и ряд ценных замечаний, устранение которых улучшило наше издание.

Надеемся, что предлагаемое издание будет содействовать активизации мыслительной деятельности учащихся и повышению эффективности учебного процесса при изучении математики.

19. Неопределенный интеграл

19.1. Свойства неопределенного интеграла. Таблица

основных интегралов

Функция F(x) называетсяпервообразной функцииf(x) на некотором промежуткееслиF(x) дифференцируема на промежуткеXи для всехвыполняется

(19.1)

Если F(x) – одна из первообразных функцииf(x) на промежуткеX, то любая другая ее первообразная имеет видгдеC– произвольная постоянная.

Совокупность всех первообразных функции f(x) называетсянеопределенным интеграломот функцииf(x):

(19.2)

В равенстве (19.2) использован знак интеграла Функцияf(x) называетсяподынтегральной функцией,f(x)dx–подынтегральное выражение,x–переменная интегрирования.

Операция нахождения всех первообразных функции f(x) называется интегрированием этой функции.

Всякая непрерывная на множестве Xфункция имеет на этом множестве первообразную, а значит, неопределенный интеграл.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство кривых График каждой первообразной называется интегральной кривой.

Таблица основных интегралов:

(19.3)

в частности,

(19.4)

(19.5)

(19.6)

в частности,

(19.7)

(19.8)

(19.9)

(19.10)

(19.11)

(19.12)

(19.13)

в частности,

(19.14)

в частности,

(19.15)

(19.16)

Свойства неопределенного интеграла

1.

2.

3.

4.

5.

6.Если

то

Непосредственным интегрированиемназывают интегрирование с помощью таблицы неопределенных интегралов, первого и второго свойств неопределенного интеграла и тождественных преобразований подынтегральной функции.

Пример 1. Проверить, является ли функция первообразной для функции

Решение. Найдем производную функции F(x):

Согласно формуле (19.1) функция F(x) является первообразной функции f(x).

Пример 2. Проверить, является ли функция первообразной для функциинайти неопределенный интеграл и нарисовать интегральные кривые из семейства первообразных для

Решение. По формуле (19.2) неопределенный интеграл имеет вид: Построим интегральные кривые (рис. 19.1).

Рис. 19.1

Пример 3. Путем непосредственного интегрирования найти неопределенные интегралы:

1) 2)3)

4) 5)6)

Решение. 1) Используя первое и второе свойства неопределенного интеграла и формулы (19.3) и (19.5) таблицы интегралов, получаем:

2) Используя второе свойство неопределенного интеграла и формулу (19.6) таблицы интегралов, имеем:

3) Применяя формулу и формулу (19.10) таблицы интегралов, получаем:

4) С помощью формулы (19.13) таблицы интегралов находим:

5) Применяя формулу первое и второе свойства неопределенного интеграла, формулы (19.4) и (19.9) таблицы интегралов, получаем:

6) С помощью формулы (19.14) таблицы интегралов находим:

Пример 4. Используя интегрирование дифференциала, найти:

1) 2)3)4)

Решение.

1)

2)

3)

4)

Пример 5. Используя шестое свойство неопределенного интеграла, найти:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

Решение. 1) По формуле (19.8) таблицы неопределенных интегралов получаем:

2) По формуле (19.7) таблицы неопределенных интегралов имеем:

3) Используем формулу (19.5) таблицы неопределенных интегралов. Тогда

4) По формуле (19.3) таблицы неопределенных интегралов получаем:

5) По формуле (19.13) таблицы неопределенных интегралов имеем:

6) Используем формулу (19.12) таблицы неопределенных интегралов. Тогда

Задания