Контрольные задания и список литературы по дисциплине «Специальные математические методы и функции»

Контрольное задание № 1

1. Оцените аддитивную, мультипликативную и тотальную сложность вычисления значения полинома :

– при непосредственном вычислении;

– при помощи схемы (алгоритма) Горнера.

2. Вычислите множество значений дискретного многочлена Чебышева для

3. Вычислить матричное произведение 𝐴𝐵, если 𝐴 = , 𝐵 =

Вычислите кронекеровское (прямое) произведение матриц 𝐴𝐵, если 𝐴 = , 𝐵 =

Вычислить значение матрицы 𝑈 = 𝑅 ∨ 𝑆.

U = ∨ =

Вычислить значение матрицы 𝐼 = 𝑅 ∧ 𝑆.

𝐼 = ∧ =

Вычислить булево произведение матриц R S.

=

4. Показать, что группа 𝐺 = < {0,1, 2, 3, 4, 5}; +; 0> содержит подгруппы порядков: 1, 2, 3 и 6.

5. Построить поле порядка 𝐺𝐹(, используя неприводимый над полем 𝐺𝐹(2) полином Записать элементы поля 𝐺𝐹( через степенное, векторное и многочленное представление.

6.а. Найти расстояния Хэмминга векторов:

,

6.б. Построить порождающую 𝐺 и проверочную матрицу линейного группового кода с проверкой на четность с параметрами [𝑛; 𝑛 ‒1; 2], 𝑘 = 3.

7.а. Используйте таблицу смежных классов кода (п.6.б) для контроля над ошибками (обнаружения или исправления ошибок), если получены слова:

7.б. Используйте метод синдромного декодирования линейного группового кода (п.6.б) для контроля над ошибками, если получены слова:

8.а. Источник имеет следующие символы алфавита с их частотами появления:

символ	а	б	с	д	е	я
частота	8	6	3	4	5	2

Постройте кодовое дерево Хаффмана.

8.б. Запишите код Хаффмана.

9. Записать матричное соотношение расчета апериодической (линейной) дискретной функции взаимной корреляции последовательностей Вычислить коэффициенты корреляции, построить график корреляционной функции.

10. Записать матричное соотношение расчета периодической (циклической) дискретной функции взаимной корреляции последовательностей Вычислить коэффициенты корреляции, построить график корреляционной функции.

11. Алгоритм «разделяй и властвуй». Вычисление полинома в точках с помощью алгоритма «разделяй и властвуй». Привести пример.

Контрольное задание № 2

1. Оцените аддитивную, мультипликативную и тотальную сложность вычисления значения полинома :

– при непосредственном вычислении;

– при помощи схемы (алгоритма) Горнера.

2. Вычислите множество значений дискретного многочлена Чебышева для

3. Вычислить матричное произведение 𝐴𝐵, если 𝐴 = , 𝐵 =

Вычислите кронекеровское (прямое) произведение матриц 𝐴𝐵, если 𝐴 = , 𝐵 =

Вычислить значение матрицы 𝑈 = 𝑅 ∨ 𝑆.

U = ∨ =

Вычислить значение матрицы 𝐼 = 𝑅 ∧ 𝑆.

𝐼 = ∧ =

Вычислить булево произведение матриц R S.

=

4. Задана мультипликативная группа < ; •; 1>. Каков порядок 𝑗? Каков порядок ‒1? Какой элемент может быть использован в качестве порождающего элемента 𝛼?

5. Найти минимальный многочлен элемента поля Корни рассматриваем как элементы поля, построенного с использованием неприводимого над полем 𝐺𝐹(2) полинома

6.а. Построить порождающую 𝐺 и проверочную матрицы линейного группового кода с повторением с параметрами [𝑛; 1; 𝑛], 𝑛 = 8.

6.б. Проверочная матрица линейного кода над полем 𝐺𝐹(2) задается в виде

Построить таблицу смежных классов данного кода.

7.а. Используйте таблицу смежных классов кода (п.6.б) для контроля над ошибками (обнаружения или исправления ошибок), если получены слова:

7.б. Используйте метод синдромного декодирования линейного группового кода (п.6.б) для контроля над ошибками, если получены слова:

8.а. Источник имеет следующие символы алфавита с их частотами появления:

символ	а	б	н	ф	з	г
частота	8	5	10	1	2	3

Постройте кодовое дерево Хаффмана.

8.б. Запишите код Хаффмана.

9. Записать матричное соотношение расчета апериодической (линейной) дискретной функции взаимной корреляции последовательностей Вычислить коэффициенты корреляции, построить график корреляционной функции.

10. Записать матричное соотношение расчета периодической (циклической) дискретной функции взаимной корреляции последовательностей Вычислить коэффициенты корреляции, построить график корреляционной функции.

11. Алгоритм «разделяй и властвуй». Вычисление полинома в точках с помощью алгоритма «разделяй и властвуй». Привести пример.

Контрольное задание № 3

1. Оцените аддитивную, мультипликативную и тотальную сложность вычисления значения полинома :

– при непосредственном вычислении;

– при помощи схемы (алгоритма) Горнера.

2. Вычислите множество значений дискретного многочлена Чебышева для

3. Вычислить матричное произведение 𝐴𝐵, если 𝐴 = , 𝐵 =

Вычислите кронекеровское (прямое) произведение матриц 𝐴𝐵, если 𝐴 = , 𝐵 =

Вычислить значение матрицы 𝑈 = 𝑅 ∨ 𝑆.

U = ∨ =

Вычислить значение матрицы 𝐼 = 𝑅 ∧ 𝑆.

𝐼 = ∧ =

Вычислить булево произведение матриц R S.

=

4. Задано множество целых чисел 𝐺 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Найти функцию Эйлера .

5. Найти минимальный многочлен элемента поля Корни рассматриваем как элементы поля, построенного с использованием неприводимого над полем 𝐺𝐹(2) полинома

6.а. Построить порождающую 𝐺 и проверочную матрицы линейного группового кода Хэмминга с параметрами [7; 4; 3].

6.б. Используя порождающую матрицу 𝐺 этого кода, закодировать сообщение

7.а. Используйте таблицу смежных классов кода (п.6.б) для контроля над ошибками (обнаружения или исправления ошибок), если получены слова:

7.б. Используйте метод синдромного декодирования линейного группового кода (п.6.б) для контроля над ошибками, если получены слова:

8.а. Источник имеет следующие символы алфавита с их частотами появления:

символ	а	щ	н	х	з	к	и
частота	8	2	12	1	4	7	6

Постройте кодовое дерево Хаффмана.

8.б. Запишите код Хаффмана.

9. Записать матричное соотношение расчета апериодической (линейной) дискретной функции взаимной корреляции последовательностей Вычислить коэффициенты корреляции, построить график корреляционной функции.

10. Записать матричное соотношение расчета периодической (циклической) дискретной функции автокорреляции последовательности Вычислить коэффициенты корреляции, построить график корреляционной функции.

11. Алгоритм «разделяй и властвуй». Вычисление полинома в точках с помощью алгоритма «разделяй и властвуй». Привести пример.

Контрольное задание № 4

1. Оцените аддитивную, мультипликативную и тотальную сложность вычисления значения полинома :

– при непосредственном вычислении;

– при помощи схемы (алгоритма) Горнера.

2. Вычислите множество значений дискретного многочлена Чебышева для

3. Вычислить матричное произведение 𝐴𝐵, если 𝐴 = , 𝐵 = Вычислите кронекеровское (прямое) произведение матриц 𝐴𝐵, если 𝐴 = , 𝐵 =

Вычислить значение матрицы 𝑈 = 𝑅 ∨ 𝑆.

U = ∨ =

Вычислить значение матрицы 𝐼 = 𝑅 ∧ 𝑆.

𝐼 = ∧ =

Вычислить булево произведение матриц R S.

=

4. Задано множество целых чисел 𝐺 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Найти функцию Эйлера .

5. Задавая поле Галуа 𝐺𝐹( корнем уравнения найти минимальный полином

6.а. Построить порождающую 𝐺 и проверочную матрицы линейного группового расширенного кода Хэмминга с параметрами [8; 4; 4].

6.б. Используя порождающую матрицу 𝐺 этого кода, закодировать сообщение

7.а. Используйте таблицу смежных классов кода (п.6.б) для контроля над ошибками (обнаружения или исправления ошибок), если получены слова:

7.б. Используйте метод синдромного декодирования линейного группового кода (п.6.б) для контроля над ошибками, если получены слова:

8.а. Источник имеет следующие символы алфавита с их частотами появления:

символ	а	н	т	я	е	в	к	р	т
частота	7	12	3	2	9	4	5	8	1

Постройте кодовое дерево Хаффмана.

8.б. Запишите код Хаффмана.

9. Записать матричное соотношение расчета апериодической (линейной) дискретной функции автокорреляции последовательности Вычислить коэффициенты корреляции, построить график корреляционной функции.

10. Записать матричное соотношение расчета периодической (циклической) дискретной функции взаимной корреляции последовательностей Вычислить коэффициенты корреляции, построить график корреляционной функции.

11. Алгоритм «разделяй и властвуй». Вычисление полинома в точках с помощью алгоритма «разделяй и властвуй». Привести пример.

Контрольное задание № 5

1. Оцените аддитивную, мультипликативную и тотальную сложность вычисления значения полинома :

– при непосредственном вычислении;

– при помощи схемы (алгоритма) Горнера.

2. Вычислите множество значений дискретного многочлена Чебышева для

3. Вычислить матричное произведение 𝐴𝐵, если 𝐴 = , 𝐵 =

Вычислите кронекеровское (прямое) произведение матриц 𝐴𝐵, если 𝐴 = , 𝐵 =

Вычислить значение матрицы 𝑈 = 𝑅 ∨ 𝑆.

U = ∨ =

Вычислить значение матрицы 𝐼 = 𝑅 ∧ 𝑆.

𝐼 = ∧ =

Вычислить булево произведение матриц R S.

=

4. Задана мультипликативная абелева группа 𝐺 = <;•;1>.

Построить возможные циклические группы. Определить число примитивных элементов группы.

5. Задан полином неприводимый над полем 𝐺𝐹(2). 𝛼 ‒ примитивный элемент поля 𝐺𝐹(). Показать, что является примитивным полиномом.

6.а. Построить порождающую 𝐺 и проверочную матрицы линейного группового кода Хэмминга с параметрами [7, 4, 3].

6.б. Используя порождающую матрицу 𝐺 этого кода, закодировать сообщение

7.а. Используйте таблицу смежных классов кода (п.6.б) для контроля над ошибками (обнаружения или исправления ошибок), если получены слова:

7.б. Используйте метод синдромного декодирования линейного группового кода (п.6.б) для контроля над ошибками, если получены слова:

8.а. Источник имеет следующие символы алфавита с их частотами появления:

символ	а	т	р	о	с	д
частота	8	2	4	6	3	5

Постройте кодовое дерево Хаффмана.

8.б. Запишите код Хаффмана.

9. Записать матричное соотношение расчета апериодической (линейной) дискретной функции взаимной корреляции последовательностей Вычислить коэффициенты корреляции, построить график корреляционной функции.

10. Записать матричное соотношение расчета периодической (циклической) дискретной функции взаимной корреляции последовательностей Вычислить коэффициенты корреляции, построить график корреляционной функции.

11. Алгоритм «разделяй и властвуй». Вычисление полинома в точках с помощью алгоритма «разделяй и властвуй». Привести пример.

Контрольное задание № 6

1. Оцените аддитивную, мультипликативную и тотальную сложность вычисления значения полинома :

– при непосредственном вычислении;

– при помощи схемы (алгоритма) Горнера.

2. Вычислите множество значений дискретного многочлена Чебышева для

3. Вычислить матричное произведение 𝐴𝐵, если 𝐴 = , 𝐵 =

Вычислите кронекеровское (прямое) произведение матриц 𝐴𝐵, если 𝐴 = , 𝐵 =

Вычислить значение матрицы 𝑈 = 𝑅 ∨ 𝑆.

U = ∨ =

Вычислить значение матрицы 𝐼 = 𝑅 ∧ 𝑆.

𝐼 = ∧ =

Вычислить булево произведение матриц R S.

=

4. Множество всех четных чисел является подмножеством целых чисел 𝑍 = {0, }. Показать, что < 𝐸; > ‒ подгруппа группы < Z;>.

5. Составить таблицы умножения и сложения (таблицы Кэли) элементов поля Галуа 𝐺𝐹(). Поле порождается неприводимым над полем 𝐺𝐹(2), полиномом .

6.a. Сколько кодовых слов содержит линейный групповой код с проверочной матрицей?

.

6.б. Построить порождающую матрицу этого кода.

7.а. Используйте таблицу смежных классов кода (п.6.б) для контроля над ошибками (обнаружения или исправления ошибок), если получены слова:

7.б. Используйте метод синдромного декодирования линейного группового кода (п.6.б) для контроля над ошибками, если получены слова:

8.а. Источник имеет следующие символы алфавита с их частотами появления:

символ	а	б	н	д	я	ч	е
частота	8	5	10	6	2	1	4

Постройте кодовое дерево Хаффмана.

8.б. Запишите код Хаффмана.

9. Записать матричное соотношение расчета апериодической (линейной) дискретной функции взаимной корреляции последовательностей Вычислить коэффициенты корреляции, построить график корреляционной функции.

10. Записать матричное соотношение расчета периодической (циклической) дискретной функции взаимной корреляции последовательностей Вычислить коэффициенты корреляции, построить график корреляционной функции.

11. Алгоритм «разделяй и властвуй». Вычисление полинома в точках с помощью алгоритма «разделяй и властвуй». Привести пример.

Контрольное задание № 7

1. Оцените аддитивную, мультипликативную и тотальную сложность вычисления значения полинома :

– при непосредственном вычислении;

– при помощи схемы (алгоритма) Горнера.

2. Вычислите множество значений дискретного многочлена Чебышева для

3. Вычислить матричное произведение 𝐴𝐵, если 𝐴 = , 𝐵 =

Вычислите кронекеровское (прямое) произведение матриц 𝐴𝐵, если 𝐴 = , 𝐵 =

Вычислить значение матрицы 𝑈 = 𝑅 ∨ 𝑆.

U = ∨ =

Вычислить значение матрицы 𝐼 = 𝑅 ∧ 𝑆.

𝐼 = ∧ =

Вычислить булево произведение матриц R S.

=

4. Множество принадлежит подмножеству целых чисел 𝑍. Группа 𝐺 задается таблицей Кэли

Таблица

+	0	1	2
0	0	1	2
1	1	2	0
2	2	0	1

Показать является ли 𝐺 подгруппой группы < Z;>.

5. Составить таблицы деления и вычитания (таблицы Кэли) элементов поля Галуа 𝐺𝐹(). Поле порождается, неприводимым над полем 𝐺𝐹(2), полиномом .

6.а. Показать, что последовательность является кодовым словом линейного группового кода, проверочная матрица 𝐻 которого равна

6.б. Определить минимальное расстояние (кодовое расстояние) данного кода.

7.а. Используйте таблицу смежных классов кода (п.6.б) для контроля над ошибками (обнаружения или исправления ошибок), если получены слова:

7.б. Используйте метод синдромного декодирования линейного группового кода (п.6.б) для контроля над ошибками, если получены слова:

8.а. Источник имеет следующие символы алфавита с их частотами появления:

символ	а	о	с	м	т	д
частота	8	6	5	3	2	4

Постройте кодовое дерево Хаффмана.

8.б. Запишите код Хаффмана.

9. Записать матричное соотношение расчета апериодической (линейной) дискретной функции взаимной корреляции последовательностей Вычислить коэффициенты корреляции, построить график корреляционной функции.

10. Записать матричное соотношение расчета периодической (циклической) дискретной функции взаимной корреляции последовательностей Вычислить коэффициенты корреляции, построить график корреляционной функции.

11. Алгоритм «разделяй и властвуй». Вычисление полинома в точках с помощью алгоритма «разделяй и властвуй». Привести пример.

Контрольное задание № 8

1. Оцените аддитивную, мультипликативную и тотальную сложность вычисления значения полинома :

– при непосредственном вычислении;

– при помощи схемы (алгоритма) Горнера.

2. Вычислите множество значений дискретного многочлена Чебышева для

3. Вычислить матричное произведение 𝐴𝐵, если 𝐴 = , 𝐵 =

Вычислите кронекеровское (прямое) произведение матриц 𝐴𝐵, если 𝐴 = , 𝐵 =

Вычислить значение матрицы 𝑈 = 𝑅 ∨ 𝑆.

U = ∨ =

Вычислить значение матрицы 𝐼 = 𝑅 ∧ 𝑆.

𝐼 = ∧ =

Вычислить булево произведение матриц R S.

=

4. Задана 𝐺 = < {0, 1, 2, 3, 4}; +; 0> ‒ группа порядка 4, задаваемая таблицей Кэли

Таблица

+	0	1	2	3
0	0	1	2	3
1	1	2	3	0
2	2	3	0	1
3	3	0	1	2

Определить подгруппу 𝐻 группы 𝐺.

5. Составить таблицы деления и сложения (таблицы Кэли) элементов поля Галуа 𝐺𝐹(). Поле порождается, неприводимым над полем 𝐺𝐹(2), полиномом .

6.а. Задана проверочная матрица 𝐻 линейного группового кода.

Построить порождающую матрицу 𝐺 кода.

6.б. Закодировать сообщение этим кодом.

7.а. Используйте таблицу смежных классов кода (п.6.б) для контроля над ошибками (обнаружения или исправления ошибок), если получены слова:

7.б. Используйте метод синдромного декодирования линейного группового кода (п.6.б) для контроля над ошибками, если получены слова:

8.а. Источник имеет следующие символы алфавита с их частотами появления:

символ	о	а	н	х	е	ч	и
частота	8	7	12	1	4	2	6

Постройте кодовое дерево Хаффмана.

8.б. Запишите код Хаффмана.

9. Записать матричное соотношение расчета апериодической (линейной) дискретной функции взаимной корреляции последовательностей Вычислить коэффициенты корреляции, построить график корреляционной функции.