Шпоры / Шпоры по сопромату по 20 тем / Статически неопределимые системы
.doc2.11. Статически неопределимые системы
В предыдущих параграфах был рассмотрен ряд примеров определения перемещений и расчетов на прочность.
Во всех этих примерах применение метода сечений позволяло установить зависимость между продольными силами, возникающими в поперечных сечениях стержней, и действующими на систему (конструкцию) внешними силами. Иными словами, внутренние силы определялись только на основе условий равновесия отсеченной части системы (или отдельного бруса). Системы, подобные рассмотренным, называют статически определимыми
Системы, в которых внутренние силовые факторы, в частности продольные силы, не могут быть определены с помощью только метода сечений, называют статически неопределимыми системами. Соответственно задачи, связанные с расчетом указанных систем, также принято называть статически неопределимыми
Некоторые примеры статически неопределимых систем приведены на рис. 2.52.
Брус, изображенный на рис. 2,52,а, жестко заделан обоими концами; в заделках возникают реакции, направленные вдоль оси бруса. Таким образом, на брус действует система сил, направленных по одной прямой; статика в этом случае дает одно уравнение равновесия, неизвестных же сил две.
Для балки, подвешенной на трех параллельных стержнях (рис. 2.52,б), можно составить два уравнения равновесия, которых, конечно, недостаточно для определения сил в стержнях. Эти две конструкции относятся к категории один раз статически неопределимых систем — число неизвестных на единицу больше числа уравнений статики. Вообще степенью статической неопределимости называется разность между общим числом неизвестных и количеством независимых уравнений равновесия, которые можно составить для данной системы.
Один раз статически неопределима также система, представленная на рис. 2.52, в; вырезая узел А, можно составить для него два уравнения равновесия (плоская система сходящихся сил), а неизвестных сил в стержнях три.
Примеры дважды статически неопределимых систем даны на рис. 2,52,г,д.
Для решения статически неопределимой задачи надо составить помимо уравнений статики так называемые уравнения перемещений, основанные на рассмотрении деформации системы (иногда говорят, что это геометрическая сторона задачи) и применении закона Гука. Поясним это указание простейшим примером.
Пусть требуется определить силы в стержнях, на которых подвешена невесомая весьма жесткая балка, нагруженная силой F, как показано на рис. 2.53. Стержни изготовлены из одинакового материала и имеют одинаковые сечения. Система один раз статически неопределима: для плоской системы параллельных сил статика дает два независимых уравнения равновесия, а неизвестных сил три. Обозначим реакции, так же как и силы, действующие на стержни, через
Составляем уравнения равновесия приложенных к балке сил (рис. 2.54):
В результате деформации стержней балка займет положение, показанное на рис. 2.54 штриховыми линиями. Действительно, предположение о высокой жесткости балки позволяет пренебречь ее изгибом, а симметрия самой системы и нагрузки приводит к заключению, что все стержни удлиняются одинако во. Таким образом, геометрическая сторона задачи может быть выражена уравнением
Выражая удлинения стержней по формуле Гука, получим , откуда
Решая совместно уравнения (1) и (3), находим силы в стержнях:
Силы, возникающие во всех трех стержнях, оказались одинаковыми, но было бы ошибкой считать, что этот результат — следствие лишь симметрии системы; то, что силы одинаковы, обусловлено не только симметрией, но и равенством жестокостей стержней. Пусть, например, площадь сечения каждого из боковых стержней вдвое больше, чем среднего (Аз = А; А, =А~ =2А). В этом случае из условия равенства удлинений стержней получаем
Решив совместно уравнения (1), (2) и (3'), найдем
Увеличение жесткости боковых стержней привело к увеличению возникающих в них сил и уменьшению сил — в среднем стержне. Полученный результат отражает общее свойство статически неопределимых систем: при прочих равных условиях в более жестких элементах системы возникают большие силы.
Конечно, в других статически неопределимых задачах уравнения перемещений иные, чем в рассмотренном примере, и практически невозможно дать общие исчерпывающие указания, пригодные для всего многообразия задач этой категории. Только рассмотрение ряда конкретных примеров позволяет получить достаточно полное представление о методике решения статически неопределимых задач.
Пример 2.19. Для бруса, жестко заделанного обоими концами и нагруженного вдоль оси силами F, и Р„приложенными в его промежуточных сечениях (рис. 2.55,a), требуется построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений поперечных сечений. Проверить прочность бруса, если материал — сталь требуемый коэффициент запаса .