Шпоры / Шпоры по сопромату по 20 тем / Силы в поперечных сечениях бруса

Растяжение и сжатие

2.1. Силы в поперечных сечениях бруса.

При растяжении (сжатии) прямого бруса в его поперечных сечениях возникает только одни внутренний силовой фактор — продольная сила, обозначаемая N, или #

Прямые брусья, работающие на растяжение или сжатие, часто называют стержнями.

Простейшие случаи растяжения и сжатия представлены на рис. 2.1,а и 2.2,а: в центрах тяжести торцовых поперечных сечений бруса приложены две равные и противоположно направленные силы, линии действия которых совпадают с осью бруса.

Продольные силы, соответствующие деформации растяжения, условимся считать положительными, а сжатия — отрицательными. При растяжении продольная сила направлена от сечения (рис. 2.2,б), а при сжатии — к сечению (рис. 2.1,б).

При сжатии сравнительно длинного и тонкого бруса прямолинейная. форма его равновесия может оказаться неустойчивой (см. рис. 1.3). В этой главе будем во всех случаях полагать, что опасность потери устойчивости исключена. Расчеты на устойчивость рассмотрены в гл. XII.

Более общие случаи работы бруса на растяжение (сжатие) показаны на рис. 2.3, 2,4.

Из рассмотренных примеров следует, что, для того чтобы брус работал на растяжение (сжатие), равнодействующая внешних сил, приложенных по одну сторону от любого поперечного сечения бруса, должна быть направлена вдоль его оси. Только при этом условии все внутренние силовые факторы, кроме продольной силы, будут равны нулю.

Модуль и направление (знак) продольной силы определяются из уравнения равновесия, составленного для отсеченной (оставленной после проведения сечения) части бруса:

т. е. продольная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций на его продольную ось Oz всех внешних сил, приложенных к оставленной части.

Направление N противоположно направлению проекции (на ось Oz) равнодействующей внешних сил, приложенных к оставленной части.

Приведенная формулировка не может рассматриваться как определение понятия продольная сила», она указывает лишь метод для нахождения ее значения и направления.

Продольной силой в поперечном сечении бруса называется равнодействующая внутренних нормальных сил, возникающих в этом сечении.

Допустимо и такое определение: продольной силой в поперечном сечении бруса называется направленная вдоль его оси составляющая главного вектора внутренних сил, возникающих в этом сечении.

Элементарная нормальная сила, возникающая на бесконечно малой площадке поперечного сечения, равна произведению нормального напряжения сг, на площадь dA указанной площадки, т. е. dN = о,dA. Сумма (равнодействующая) этих элементарных сил представляет собой определенный интеграл

Это математическое выражение эквивалентно приведенному словесному определению понятия «продольная сила».

В тех случаях, когда продольные силы в различных поперечных сечениях бруса неодинаковы, закон их изменения по длине бруса удобно представить в виде графика, называемого эпюрой продольных сил. Аргументом при построении этого графика является координата поперечного сечения бруса (z), а функцией — продольная сила (1V).

Таким образом, эпюра продольных сил — это график функции И= f(z). Далеко не всегда можно составить выражение указанной функции, справедливое при всех значениях координаты z (для всего бруса). Приходится разбивать брус на участки, для каждого из которых будет свое выражение функции N = /'(2).

Эпюру продольных сил строят в первую очередь для того, чтобы использовать ее при расчете бруса на прочность; она дает возможность найти наибольшие значения продольных сил и положение сечений, в которых они возникают.

П р и м е р 2.1. Построить эпюру продольных сил для бруса, изображенного на рис. 2.5,а.

Решение. Разбиваем брус на участки, начиная от свободного конца. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы.

Применяя метод сечений, оставляем правую и отбрасываем левую часть бруса: это позволяет не определять реакцию заделки. Проводя произвольное сечение а — а на участке 1 и составляя для части бруса, показанной отдельно на рис. 2.5, б, уравнения равновесия

Легко видеть, что во всех поперечных сечениях данного участка продольная сила одинакова. То же относится и ко всем остальным участкам, поэтому совершенно безразлично, где проводить сечение в пределах того или иного рассматриваемого участка.

Проводя сечение Ь — Ь на участке 11 и рассматривая правую оставленную часть бруса (рис. 2.5,в), получаем

Откуда . Знак минус указывает, что фактическое направление силы противоположно показанному на рис. 2.5,в, т. е. сила направлена к сечению и, следовательно, участок 11 испытывает сжатие.

Аналогично определяем продольную силу в произвольном сечении с — с участка (рис. 2.5,г): N = 3F.

Конечно, для определения продольных сил нет необходимости изображать каждый раз отдельно отсеченную часть бруса, можно просто найти алгебраическую сумму проекций на ось бруса внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечении.

Применяя метод сечений, можно было бы каждый раз оставлять левую и отбрасывать правую часть бруса, но тогда решение следовало бы начинать с определения реакции заделки (рис. 2.5,а), так как эта реакция относится к числу внешних сил, приложенных к оставленной (левой) части бруса.

Для построения эпюры N проводим ось абсцисс графика (ось или базу эпюры) параллелью осн бруса (рис. 2.5, д). В пределах каждого из участков продольная сила постоянна, т. е. эпюра параллельна оси абсцисс. Значения продольных сил откладываем в выбранном масштабе от оси эпюры; при этом положительные значения N (растяжение) откладываем вверх, а отрицательные — вниз от оси. Условимся ось эпюры проводить тонкой, а саму эпюру — толстой линиями.

В местах приложения сосредоточенных сил на эпюре получаются скачкообразные изменения ординат — «скачки». Размер «скачка» равен приложенной в соответствующем месте бруса внешней сосредоточенной силе. При нагружении бруса сосредоточенными силами эпюра N всегда имеет такой характер, как в рассмотренном примере.

Скачкообразные изменения ординат эпюры N носят условный характер, так как условно и само понятие «сосредоточенная сила». Фактически внешняя сила распределена по некоторой небольшой части длины бруса; в пределах этой части значение Ь1 изменяется (например, в зоне приложения силы F от значения +F до — F) по некоторому закону, установить который не представляется возможным. Неизвестный криволинейный переходный участок эпюры заменяют условным «скачком».

Эпюру принято штриховать; при этом штриховка перпендикулярна оси эпюры — каждая линия штриховки (ордината графика) дает в принятом масштабе значение продольной силы в противолежащем поперечном сечении бруса.

П ри мер 2.2. Для бруса, изображенного на рис. 2.6,а, построить эпюру продольных сил, возникающих от действия сосредоточенной силы F и силы тяжести бруса. Удельная сила тяжести (удельный вес) материала бруса у, площадь поперечного сечения А.

Решение. В данном случае брус нагружен помимо сосредоточенной силами, равномерно распределенными по его длине, поэтому продольная сила при переходе от сечения к сечению изменяется непрерывно, а не скачкообразно, как это имеет место при действии ряда сосредоточенных сил (см. пример 2.1).

Проведем поперечное сечение, отстоящее на расстоянии z от свободного конца бруса, и рассмотрим равновесие нижней оставленной части, изображенной отдельно на рис. 2.6,6.

Внешними силами, действующими на эту часть, являются сила F и сила тяжести этой части . Проецируя на ось s все силы, действующие на оставленную часть, получаем

Таким образом, N изменяется по длине бруса по линейному закону. Для построения эпюры находим значения И в крайних сечениях: при — сила тяжести всего бруса.

Построенная по этим данным эпюра показана на рис. 2.6, в. Положительные значения И отложены вправо от оси эпюры.