1.5. Напряжения

Внутренние силы, как уже указывалось, распределены по сечению тела (в частности, бруса) сплошь, при этом в общем случае их значение и направление в отдельных точках сечения различны. Для суждения об интенсивности внутренних сил в определенной точке данного сечения введено понятие о напряжении.

Выделим в окрестности интересующей нас точки сечения малую площадку, площадью ; допустим, что на этой площадке возникает внутренняя сила (рис. 1.25). Отношение этой внутренней силы к площади выделенной площадки называется средним напряжением р, в окрестности рассматриваемой точки по проведенному сечению (на площадке ):

Чем точнее нужно знать интенсивность внутренних сил в данной точке сечения, тем меньше должна быть выделенная площадка.

В пределе при стремлении к нулю получим истинное напряжение в данной точке рассматриваемого сечения:

Заметим, что при уменьшении площадки («стягивании» ее в точку) также стремится к нулю, но из физических соображений очевидно, что рассматриваемое отношение будет величиной конечной.

Напряжение в данной точке по рассматриваемому сечению есть величина векторная (вектор АИ делим на скаляр ЛА); направление этого вектора совпадает с предельным направлением вектора ЬЯ, которое он имеет при уменьшении ЬА до нуля».

В Международной системе единиц (СИ) в качестве единицы напряжения принят Паскаль (Па).

Паскаль — это напряжение, при котором на площадке в 1 м~ возникает внутренняя сила, равная 1 Н, но эта единица очень мала, поэтому используется кратная ей единица — мегапаскаль, 1 МПа = 10' Па.

Через данную точку тела можно провести бесчисленное множество сечений, различно ориентированных в пространстве, и, конечно, в общем случае возникающие на них напряжения будут различны. Поэтому

нельзя говорить о напряжении в данной точке, не указывая площадки (сечения), на которой это напряжение возникает.

Разложим вектор напряжения р на две составляющие: одну — направленную по нормали к сечению, вторую — лежащую в плоскости сечения (рис. 1.26). Составляющую напряжения, направленную по нормали к площадке ее действия, назовем нормальным напряжением и обозначим а (сигма), а составляющую, лежащую в плоскости сечения, — касательным напряжением и обозначим (тау). Между напряжениями р, а и т существует следующая очевидная зависимость:

Такое разложение полного напряжения имеет определенный физический смысл. Действительно, нормальное напряжение возникает тогда, когда частицы материала, соприкасающиеся по рассматриваемой площадке, под действием приложенных к телу нагрузок стремятся отдалиться друг от друга или сблизиться в направлении нормали к этой площадке, т. е. при растяжении или сжатии. Касательные напряжения связаны со сдвигом частиц материала по плоскости рассматриваемого сечения.

В ряде случаев оказывается удобным разложить вектор р не на две, а на три составляющие, направленные параллельно координатным осям. На рис. 1.27 показано это разложение применительно к точке, взятой в поперечном сечении бруса. Для этих составляющих принято следующее правило индексов: первый индекс указывает, какой оси ~ параллельна нормаль к площадке действия рассматриваемого напряжения, второй индекс показывает, какой оси параллельно данное напряжение. Согласно этому правилу, нормальное напряжение должно было бы иметь два одинаковых индекса (в нашем случае ), но принято писать лишь один из них. В тех случаях, когда нужно указать, что речь идет о касательном напряжении, возникающем в поперечном сечении бруса, а направление напряжения не играет роли, его можно обозначать т„опуская второй индекс. Часто применяют также обозначение т (без индексов).

Зависимость между полным напряжением и тремя его составляющими выражается формулой

Установим связь между напряжениями и внутренними силовыми факторами в поперечном сечении бруса.

Умножая напряжения а„т,„и т,„на площадь dA площадки

их действия, получаем элементарные внутренние силы (рис. 1.28):

Суммируя эти элементарные силы по всей площади сечения,

получаем выражения составляющих главного вектора внутренних сил:

Умножая каждую из элементарных сил на расстояние до соответствующей оси, получаем элементарные моменты внутренних сил:

Суммируя элементарные моменты по всей площади сечения, получаем выражения для составляющих главного момента внутренних сил:

Обращаем внимание, что выражения (1.6) — (1.11) не служат для вычисления внутренних силовых факторов; значения последних определяют с помощью метода сечений, как указано в р 1.4. Эти выражения можно рассматривать как записанные с помощью математических символов определения, выражающие физическую сущность внутренних силовых факторов. В дальнейшем эти выражения будут использованы при определении напряжений по известным внутренним силовым факторам.

Итак, от внешних сил с помощью метода сечений к внутренним силовым факторам, от них на основе интегральных зависимостей и дополнительных гипотез к напряжениям — таков в общих чертах план решения основной задачи сопротивления материалов об определении напряжений, возникающих в поперечных сечениях бруса при различных видах его нагружения.