Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Мотс1.pdf
Скачиваний:
12
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
2.32 Mб
Скачать

Выполнить следующие действия:

1.Построить область допустимых значений переменных. Внутри области выбрать точку x0, которая в дальнейшем будет являться начальной в процессе поиска экстремума.

2.Найти максимальное значение функции F (x) без учета ограничений на

переменные, используя:

а) метод наискорейшего спуска; б) метод Ньютона – Рафсона.

Оптимизационный процесс начинать с выбранной точки x0.

3. Найти максимальное значение функции F (x) с учетом системы ограничений задачи, используя:

а) метод допустимых направлений Зойтендейка; б) метод линейных комбинаций; в) условия теоремы Куна – Таккера.

Оптимизационный процесс в пунктах )аи б) начинать с выбранной точки x0.

4. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ

Задание 1. Математическое описание линейных систем

Пусть

W (S )=

Y (S )

=

 

 

144S + 288

 

.

(4.1)

U (S )

S

3

+ 15S

2

+ 62S

+ 48

 

 

 

 

 

 

Передаточная функция системы W (s) – это отношение изображения по Лапласу сигнала на выходе к изображению по Лапласу сигнала на входе при нулевых начальных условиях.

Создадим стационарный линейный объект с именем w в пакете Matlab>> >> w = tf ([144 288], [1 15 62 48])

Transfer function: 144 s + 288

------------------------

s^3 + 15 s^2 + 62 s + 48

Чтобы перейти от передаточной функции к дифференциальному уравнению системы, нужно перейти из области изображений по Лапласу во временную область. Из (4.1) следует

54

Y (S) × (S3 + 15S 2 + 62S + 48) = U (S) × (144S + 288) Þ

Þ S3 ×Y (S) + 15S 2 ×Y (S) + 62S × Y (S ) + 48 ×Y (S) = 144S ×U (S) + 288 ×U (S).

Для перехода во временную область воспользуемся формальными правилами:

Y (S ) ® y(t); S × Y (S ) ®

dy(t)

; S 2 ×Y (S ) ®

d 2 y(t)

.

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt 2

 

Тогда дифференциальное уравнение системы имеет вид

 

 

d 3 y(t)

+ 15

d 2 y(t)

+ 62

dy(t)

+ 48 y(t) = 144

du(t)

+ 288u(t).

(4.2)

 

dt3

dt2

 

 

 

 

 

dt

 

dt

 

Характеристическое уравнение системы определяется знаменателем -пе редаточной функции:

D(S ) = S 3 + 15S 2 + 62S + 48 = 0.

Один из корней уравнения можно найти подбором, это будет l1 = 1, а затем понизить порядок уравнения и решить его:

S 3 +15S 2 + 62S + 48 S +1

S 3 + S 2

S 2 +14S + 48

14S 2 + 62S

14S 2 +14S

48S + 48

48S + 48

0

Итак, S3 + 15S 2 + 62S + 48 = (S + 1)(S 2 + 14S + 48) = 0, тогда l2 = -6,

l3 = -8, (S + 1)(S + 6)(S + 8) = 0.

В пакете Matlab корни многочлена можно найти с помощью команды pole(w).

Matlab

>> pole(w) ans =

-8.0000 -6.0000 -1.0000

55

Передаточная функция системы в форме нулей и полюсов имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

W (S )=

Y (S )

=

 

144(S + 2)

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U (S )

(S +1)(S + 6)(S + 8)

 

 

 

 

 

 

Получим

разложение

 

передаточной

функции

на

 

сумму простых

слагаемых:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W (S ) =

Y (S )

=

 

 

 

144S + 288

 

=

 

a

 

+

 

 

b

+

c

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U (S ) S 3 + 15S 2 + 62S + 48 S

1 S

+ 6 S +

8

 

 

Найдем a, b, c :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

+

b

+

c

=

a(S + 6)(S + 8) + b(S +1)(S + 8) + c(S +1)(S + 6)

=

 

S + 1

S + 6

 

 

 

 

 

 

 

S + 8

 

 

 

(S + 1)(S + 6)(S + 8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

144S + 288

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S 3 + 15S 2 + 62S + 48

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

a (S + 6)(S + 8) + b(S +1)(S + 8) + c (S + 1)(S + 6) =

= a (S 2 + 14S + 48)+ b S 2(+ 9S + 8)+ c S 2(+ 7S + 6) =

= S 2 (a + b + c) + S (14a + 9b + 7c) + (48a + 8b + 6c) = 144S + 288.

Получим систему уравнений:

 

ìa + b + c = 0,

 

ï

 

 

+ 7c = 144,

 

í14a + 9b

 

ï

 

 

+ 6c = 288.

 

î48a + 8b

В

результате решения данной

 

системы уравнений получимa = 4,114;

b = 57,6;

c = -61,714.

 

 

 

 

 

 

W (S) =

4,114

+

57,6

-

61,714

.

 

 

 

 

 

 

S + 1

 

S + 6 S + 8

Импульсная переходная характеристика w(t) – это процесс изменения сигнала на выходе при подаче на вход δ-функции. Ее можно найти в результате обратного преобразования Лапласа, примененного к каждому слагаемому передаточной функции.

В соответствии с таблицами соответствия

-1

ì

a

ü

 

-at

 

тогда

L

í

 

ý

= ae

 

,

 

 

 

 

îs + a þ

 

 

 

 

W(t) = 4,114e-t + 57,6e-6t - 61,714e-8t .

56

Matlab

>>ch=[144 288]

>>zn=[1 15 62 48]

>>[x]=residue(ch,zn)

x =

-61.7143 57.6000 4.1143

Переходная характеристика h(t) – это процесс изменения сигнала на выходе системы при подаче на вход единичного ступенчатого воздействия. Пре-

образование по Лапласу 1(t) это

1

, следовательно,

H (S ) =

1

W (S ).

 

S

 

S

 

 

Для получения аналитической формы переходной характеристики дополним систему интегратором:

W (S )=

Y (S)

=

144(S + 2)

=

a

+

b

+

c

+

d

.

 

 

 

 

 

 

U (S)

(S +1)(S + 6)(S + 8)S S +1 S + 6 S + 8 S

Спомощью метода неопределенных коэффициентов аналогично найдем

а= -4,114; b = -9,6; c = 7,714; d = 6.

Matlab

>>ch=[144 288]

>>zn=[1 15 62 48]

>>[c]=residue(ch,[zn,0])

c=

7.7143

-9.6000 -4.1143 6.0000

Запишем аналитическую форму переходной характеристики:

h(t ) = C1el1t + C2el2t + C3el3t + C4 , h(t) = 7,714e(-8t ) - 9, 6e(-6t ) - 4,114e(-t ) + 6.

Переходную характеристику можно также вычислить следующим обра-

t

зом: h(t )= òw(t)dt, получим такой же результат.

0

Временные характеристики системы, построенные в пакете Matlab, приведены на рис. 4.1 и 4.2.

57

График h(t)

>> step(w)

Рис. 4.1

График w(t)

>> impulse(w)

Рис. 4.2

58

Построение асимптотических ЛАХ и ФЧХ. При определении частот-

ных характеристик подразумевается, что на входе и выходе системы сигналы являются гармоническими.

 

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) показывает, как изменя-

ется отношение выходного сигнала к входному в зависимости от частоты.

 

 

 

 

Фазочастотная характеристика (ФЧХ) показывает изменение сдвига

фаз между входным и выходным сигналами в зависимости от частоты.

 

 

 

 

 

 

ЛАЧХ строится в двойных логарифмических шкалах. По одной логариф-

мической оси

 

откладывается

круговая

частотаw,

по

 

 

 

 

 

другой

значение

L(w) = 20lg K ,

выраженное в децибелах. Асимптотическая

 

 

ЛАЧХ

 

 

состоит из

отрезков прямых линий с наклонами кратными 20 дБ/дек.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Преобразуем передаточную функцию к следующему виду:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

144S + 288

 

 

 

 

 

144(S + 2)

 

 

 

 

 

 

 

1

S +1

 

 

 

 

 

 

 

 

W (S )=

 

 

 

 

=

 

 

 

= 6

 

 

2

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S3 +15S 2 + 62S + 48

(S +1)(S + 6)(S + 8)

(S +1)(

1

S

+1)(

1

S

+1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь она представляет собой произведение трёх апериодических и од-

ного форсирующего звена с постоянным времени T = 1;

T =

1

; T =

1

; T

=

1

.

 

6

 

 

 

 

 

 

усиления К = 6.

 

 

 

 

 

 

1

 

2

2

 

 

3

 

 

4

8

 

Коэффициент

 

Сопрягающие

частоты

 

 

 

звеньев

равны

w =

1

= 1; w

2

=

1

= 2; w

3

=

1

= 6; w

4

=

1

 

= 8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

T1

 

T2

 

 

T3

 

 

T4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Далее необходимо правильно разметить оси, и отметить на оси w сопрягающие частоты. ЛАЧХ приведена на рис. 4.3, а.

Так как интегрирующие звенья отсутствуют, то первый наклон в области низких частот будет нулевой. Он идёт параллельно оси частот на уровне 20 lgK до первой сопрягающей частоты w1. Эта частота относится к апериодическому звену. Следовательно, наклон изменится на -1. Этот наклон будет идти

до сопрягающей частоты w2. Так как эта частота относится к форсирующему звену, то наклон изменится на +1 и станет нулевым, ЛАЧХ параллельна оси частот. После частоты w3 наклон изменится на (-1) и будет продолжаться до w4. После частоты w4 он изменится ещё на (-1) и станет равным (-2). Частота, при которой частотная характеристика пересечёт ось частот, называется частотой

среза, wср = 12 рад/с.

Фазочастотная характеристика (рис. 4.3, б) построена в соответствии с выражением

j(w) = arctg 1 w - arctgw - arctg 1 w - arctg 1 w . 2 6 8

59

Значения каждого из слагаемых определяются приближенно для значений

w ® 0 ,

w ® ¥, w i

=

1

. В этих точках

arctg0 = 0; arctg¥ =

p

;

 

 

 

 

p

 

 

Ti

2

 

arctgw T

= arctg1 =

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i i

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В пакете Matlab для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ используется команда bode(w), а для построения АФЧХ командаnyquist(w). Соответствующие характеристики приведены на рис. 4.4 и 4.5.

а

p

2 p

4

- p

4

- p

2

б

Рис. 4.3

60

>>margin(w)

Рис. 4.4

АФЧХ системы: >> nyquist(w)

Рис. 4.5

61

Кроме входных и выходных переменных при описании систем выделяют переменные x, связанные с внутренней структурой устройства, – переменные состояния. Тогда систему можно описать с помощью уравнений состояния.

Нормальная форма уравнений состояния имеет вид

ìx& = Ax + Bu

(4.3)

í

îy = Cx + Du

 

Здесь А – квадратная матрица определенного вида, размер которой определяется порядком дифференциального уравнения. Элементы, стоящие над главной диагональю – единицы, элементы нижней строки – коэффициенты левой части дифференциального уравнения, взятые с противоположным знаком. Все остальные элементы – нули. Такая матрица называется матрицей Фробениуса.

Согласно (4.2) дифференциальное уравнение системы имеет вид

&&&y (t ) +15&&y (t ) + 62 y&(t ) + 48 y (t ) = 144u&(t ) + 288u(t)

a3

a2

a1

 

a0

 

 

b1

b0 ,

где ai и bj – коэффициенты уравнения.

 

 

 

 

 

 

 

é

0

1

0

ù

 

é

0

1

0

ù

A =

ê

0

0

1

ú

=

ê

0

0

1

ú

ê

ú

ê

ú .

 

ê

-a0

-a1

 

ú

 

ê

-48

-62

 

ú

 

ë

-a2 û

 

ë

-15û

Элементы матриц B и D вычисляются по следующим рекуррентным со-

отношениям: D = b0

= b3

= 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

b1 = b 2 - a 2 b0 = 0 - 1 5 × 0 = 0,

b2 = b1 - a 2 b1 - a1b0 = 1 4 4 - 1 5 × 0 - 6 2 × 0 = 1 4 4,

b3 = b0 - a 2b2 - a1b1 - a 0b0 = 28 8 - 1 5 × 1 44 - 6 2 × 0 - 48 × 0 = -1 8 72,

 

é b

ù

 

 

é

0

ù

 

 

B =

ê 1

ú

, B

=

ê

1 4 4

ú

, C

= [1 0 0 ].

êb2 ú

ê

ú

 

ê

ú

 

 

ê

- 1 8 7 2

ú

 

 

 

ë b3

û

 

 

ë

û

 

 

62

Подставив рассчитанные матрицы в систему (4.3), получим

ìé x&1

ù é 0

1

0 ù

 

é x1

ù

 

é 0

ù

 

ïêx&

ú

= ê 0

0

1 ú

×

êx

ú

+

ê 144

ú

×u

ïê 2

ú ê

-62

ú

 

ê 2

ú

 

ê

ú

 

ïêx&

ú

ê-48

-15ú

 

êx

ú

 

ê-1872ú

 

ïë 3

û

ë

 

û

 

ë 3

û

 

ë

û

Þ

í

 

 

é x1 ù

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

[

 

 

]

ê 2

ú

[

0

]

 

ïy =

1 0 0

 

êx

ú +

 

u,

 

ï

 

 

 

 

êx ú

 

 

 

 

 

 

 

 

ë 3 û

 

 

 

 

î

 

 

 

 

 

 

 

 

ìx&1 = x2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

ïx&

= x

+144u,

 

 

 

 

ï

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

íx&

= -48x

 

- 62x

-15x

-1872u,

ï

3

 

1

 

2

 

 

3

 

ïy

= x .

 

 

 

 

 

 

 

 

î

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Схема модели приведена на рис. 4.6.

Рис. 4.6

Запишем уравнения состояния в канонической форме. Для этого введем новую переменную состояния q, которая связана с переменной состояния x следующим образом: х = М q. М – это модальная матрица, которая имеет вид

63

 

é 1

1

1 ù

 

é 1

1

1 ù

 

M =

êl

l

2

l

3

ú

=

ê-1 -6 -8ú

,

 

ê

1

 

 

ú

 

ê

1

36

64

ú

 

 

ê

2

l

2

 

2

ú

 

ê

ú

 

 

ël1

2

l3

û

 

ë

 

 

 

û

 

где li – характеристические числа матрицы Фробениуса А.

При подстановке q вместо x в нормальную форму уравнений (4.3) получим уравнения состояния системы в канонической форме:

ìq& = Lq + B1u,

í

îy = C1q + D1u.

Здесь L – диагональная матрица:

состояния

(4.4)

 

él1

0

0 ù

 

é-1 0

0 ù

 

 

 

L =

ê

0

l

2

0

ú

=

ê

0

-6

0

ú

, B

= M -1B, C

= CM , D = D,

 

ê

 

 

 

ú

 

ê

 

 

 

ú

1

1

1

 

ê

0

0

 

ú

 

ê

0

0

 

ú

 

 

 

 

ë

l3 û

 

ë

-8û

 

 

 

где M-1 – матрица, обратная модальной, определяемая выражением

M -1 =

1

× AdjM .

 

 

det M

Здесь AdjM – матрица, присоединённая к M, т. е. транспонированная матрица алгебраических дополнений.

 

 

 

 

é1,371

0, 4

0,029ù

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

-1

=

ê

- 0,9

- 0,1

ú

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ê-0,8

ú

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ê0, 429

0,5

0,071

ú

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ë

 

 

 

û

 

 

 

 

 

 

 

 

 

é1,371

0, 4

0,029ù é

0

 

 

ù

 

é

4,11

ù

 

B = M -1B =

ê -0,8

-0,9

-0,1

ú ê

144

 

ú

=

ê

57,6

ú

,

1

ê

 

 

0,5

 

ú ê

-1872

ú

 

ê

 

ú

 

 

ê0, 429

0,071ú ê

ú

 

ê

-61,71ú

 

 

ë

 

 

 

 

û ë

 

 

 

 

û

 

ë

 

û

 

 

 

 

 

é 1

1

1 ù

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C = CM = [1 0 0]ê-1 -6 -8ú

=

[1 1 1],

 

 

1

 

 

 

ê

 

 

ú

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ê

36

 

ú

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ë 1

64û

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D1 = D = [0].

64

Matlab

>> M=[1 1 1;-1 -6 -8; 1 36 64]

M =

 

 

1

1

1

-1

-6

-8

1

36

64

inv(M)

ans =

1.3714 0.4000 0.0286 -0.8000 -0.9000 -0.1000 0.4286 0.5000 0.0714

B=[0;144;-1872]

B =

0

144 -1872

M-1*B

ans =

4.1143

57.6000 -61.7143

Подставив найденные значения в (4.4), получим

ìéq&1 ù

 

é-1

0

0 ù

 

éq1

ù

 

é

4,11

ù

 

ïêq&

ú

=

ê

0

-6

0 ú

×

êq

ú

+

ê

57,6

ú

×u,

ïê 2

ú

 

ê

0

0

ú

 

ê 2

ú

 

ê

 

ú

 

ïêq&

ú

 

ê

-8ú

 

êq

ú

 

ê-61,71ú

 

ïë 3

û

 

ë

 

 

û

 

ë 3

û

 

ë

 

û

 

í

 

 

 

 

éq1 ù

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

[

]

ê

 

2

ú

+

[

0

]

 

 

ïy =

1 1 1

êq

 

ú

 

u,

 

 

ï

 

 

êq

ú

 

 

 

 

 

 

î

 

 

ë

 

3

û

 

 

 

 

 

 

 

ìq&1 = -q1 - 4,11u,

 

ïq&

 

= -6q

+ 57,6u,

 

ï

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

íq&

 

= -8q

- 61,71u,

 

ï

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

ïy

= q

+ q

+ q

3

.

 

î

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

65

Схема модели, соответствующая полученной системе, приведена на рис. 4.7. Для нее характерно параллельное соединение интеграторов, выходы которых определяются переменными состояния q1, q2, q3.

Найдем решение y(t) для системы уравнений в нормальной форме, если начальные условия имеют вид y (0) = 2, y&(0) = &&y (0) = 0. Сигнал u (t ) = 2 ×1(t ). Переходя к начальным условиям для х, в соответствии с принятыми ранее обо-

значениями, получим x1 (0) = 2, x2 (0) = 0, x3 (0) = 0.

 

 

 

 

 

 

Решение уравнения состояния x& = Ax + Bu

складывается из двух состав-

ляющих x(t) = x1(t) + x2 (t) – свободной и вынужденной.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q&1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4,11

 

 

 

 

+

 

 

ò

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q&2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q2

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

y

 

 

 

57,6

 

 

 

 

+

 

 

 

 

ò

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q&3

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

61,71

 

 

 

 

-

 

 

ò

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Свободная составляющая x1(t)

 

– это общее решение дифференциального

уравнения системы с нулевой правой частью. Оно не зависит от внешнего воздействия и характеризует естественное поведение системы.

Вынужденная составляющая x2 (t) – это частное решение дифференциального уравнения с ненулевой правой частью. Оно зависит от сигнала u(t) и характеризует поведение системы под его воздействием.

Решение уравнения состояния x& = Ax + Bu имеет вид

t

x(t) = x0eA(t -t0 ) + òB × u(t) × eA(t -t)dt,

0

где e At – фундаментальная матрица или матрица перехода.

66

Она вычисляется по следующей формуле:

e At = g0 E + g1 A + g2 A2 ,

где g0, g1, g2 – неизвестные коэффициенты.

Вычислить их можно, решая матричное уравнение

é1 l l2

ù

ég0

ù

éel1t ù

ê

 

1

1

ú

ê

 

ú

ê1 l

2

l2

ú ×

êg

ú

= êel2t ú .

ê

 

2

ú

ê

1

ú

ê

 

ú

l3

2

êg

2

ú

l3t

ê1

l3

ú

ë

û

êe

 

ú

ë

 

 

 

û

 

 

 

ë

 

û

Для рассматриваемого примера

é1 -1 1 ù

 

ég

ù

é e-t

ù

ê

-6

ú

×

ê

0 ú

ê

-6t

ú

ê1

36ú

ê g1 ú

= êe

 

ú .

ê1

-8

64ú

 

êg

ú

ê

-8t

ú

ë

 

û

 

ë

2 û

êe

 

ú

 

 

 

 

 

 

ë

 

û

Перемножая матрицы, получаем систему уравнений следующего вида

ìïg0 - g1 + g2 = e-t , ïíg0 - 6g1 + 36g2 = e-6t ,

ïïîg0 - 8g1 + 64g2 = e-8t .

Решение данной системы уравнений имеет вид

 

 

ìg

0

= 1,371e-t - 0,8e-6t

+ 0, 429e-8t ,

 

 

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

= 0, 4e-t - 0,9e-6t

+ 0,5e-8t ,

 

 

 

 

 

íg1

 

 

 

 

 

ï

 

= 0, 029e-t

- 0,1e-6t + 0,071e-8t .

 

 

 

 

ïg

2

 

 

 

 

î

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

é

0

 

1

0

ù

 

 

 

é 0

0

1

ù

A =

ê

0

 

0

1

ú

Þ A

2

=

ê

-62

 

ú

ê

 

ú

 

ê-48

-15ú .

 

ê

-48

 

-62

-15ú

 

 

 

ê720

882

163

ú

 

ë

 

 

 

 

û

 

 

 

ë

 

 

û

67

Итак,

 

 

 

 

 

é1,371

0

 

0

ù

 

 

 

é-0,8

0

 

 

0

ù

 

 

 

e

At

 

=

ê

0

 

1,371

0

ú

-t

 

ê

0

-0,8

 

0

ú

-6t

+

 

 

 

ê

 

úe

 

 

+ ê

 

úe

 

 

 

 

 

 

 

ê

0

 

0

 

 

ú

 

 

 

ê

0

0

 

 

 

ú

 

 

 

 

 

 

 

 

ë

 

1,371û

 

 

 

ë

 

-0,8û

 

 

 

 

 

é0, 429

 

0

0

 

ù

 

 

 

é

0

0, 4

 

0 ù

 

 

 

+

ê

0

 

0, 429

0

 

ú

-8t

 

ê

0

0

 

 

 

ú

 

-t

+

ê

 

 

úe

 

 

+ ê

 

 

0, 4úe

 

 

 

ê

0

 

 

0

 

 

ú

 

 

 

ê

 

 

 

 

 

ú

 

 

 

 

 

ë

 

 

0, 429û

 

 

 

ë-19, 2 -24,8

-6 û

 

 

 

 

 

 

 

é

 

0

 

-0,9

0

ù

 

 

 

é

0

 

0,5

 

0

ù

 

 

 

 

 

 

 

 

+ ê

 

0

 

0

-0,9úe-6t

 

+

ê

0

 

0

0,5

úe-8t

+

 

 

 

 

 

ê

 

 

 

 

 

ú

 

 

 

ê

 

 

 

 

 

ú

 

 

 

 

 

 

 

 

ê

43, 2

55,8

 

ú

 

 

 

ê

-24

-31

 

 

ú

 

 

 

 

 

 

 

 

ë

13,5 û

 

 

 

ë

-7,5û

 

 

 

 

 

 

é

 

0

 

 

 

0

0,029ù

 

 

 

é

0

 

0

 

-0,1 ù

 

 

 

+

ê

-1, 4

 

-1, 798

-0, 44úe-t

+

ê

4,8

6, 2

 

1,5

úe-6t

+

 

 

ê

20,9

 

25,578

4,727

ú

 

 

 

ê

 

 

-88, 2

 

 

 

ú

 

 

 

 

 

ê

 

ú

 

 

 

ê-72

 

-16,3ú

 

 

 

 

 

ë

 

 

 

 

 

 

 

 

û

 

 

 

ë

 

 

 

 

 

 

û

 

 

 

 

é

0

0

0,071ù

 

 

é 1,371

0, 4

0,029 ù

 

 

+

ê

 

-4, 402

 

ú

-8t

=

ê

 

-0, 427

 

ú

-t

+

ê-3, 41

-1, 06úe

 

ê-1,392

-0,035úe

 

 

ê

51,12

62, 622

11,57

ú

 

 

ê

1,68

0,778

0,098

ú

 

 

 

ë

 

 

 

û

 

 

ë

 

 

 

û

 

 

 

é -0,8

-0,9

-0,1ù

 

 

é0, 429

0,5

0,071

ù

 

 

+

ê

4,8

5, 4

0,6

ú

-6t

+

ê

-3, 41

-3,9

-0,57

ú

-8t

.

ê

úe

 

ê

úe

 

 

ê

 

-32, 4

 

ú

 

 

ê

27,12

31, 6

4,502

ú

 

 

 

ë-28,8

-3, 6û

 

 

ë

û

 

 

 

 

é2ù

 

é 2,742 ù

é -1,6

ù

é 0,858 ù

eAt x

= eAt ×

ê0

ú

=

ê-2,784úe-t +

ê

9,6

úe-6t +

ê-6,816úe-8t .

0

 

ê

ú

 

ê

 

ú

ê

 

ú

ê

 

ú

 

 

ê

ú

 

ê

3,36

ú

ê

 

ú

ê

54, 24

ú

 

 

ë0

û

 

ë

û

ë

-57, 6û

ë

û

Так как y = x1, то свободная составляющая выходного сигнала будет рав-

на 2,742e-t -1,6e-6t + 0,858e-8t . Определим вынужденную составляющую при входном сигнале u(t) = 2*1(t). Сигнал на выходе при поступлении на вход1(t) уже вычислен – это переходная характеристика системы (4.1). Чтобы получить вынужденную составляющую сигнала в нашем случае, умножим переходную характеристику на 2.

Таким образом, сигнал на выходе системы будет следующим:

y (t )= 2, 742e-t -1,6e-6t + 0,858e-8t + 2(7,714e-8t - 9,6e-6t - 4,114e-t + 6) = (4.5) = -5, 478e-t - 20,8e-6t +16, 287e-8t +12.

Выполним проверку:

y(0) = -5, 478 - 20,8 + 16, 287 + 12 = 2 - верно; y(¥) = 12 - верно.

68

Найдем решение уравнений состояния, представленных в канонической

форме (4.4).

Каждое

из

 

дифференциальных

уравнений первого порядка

q&1 = xiqi + b1i

зависит только от одной переменной,

и его решение в общем виде

имеет вид

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q(t) = q(0)elt + òB1u(t)el(t -t)dt.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим начальные условия q(0)

для вектора q(t).

 

 

 

 

Так как

q = M -1x(t) , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

éq1(0)

ù

é x1(0) ù

é1,371

0, 4

0, 029ù é2

ù

 

é2,742

ù

êq (0)

ú = M -1 êx (0)

ú

= ê -0,8

-0,9

-0,1 ú ê0

ú

=

ê

-1, 6

ú .

ê 2

 

ú

ê 2

ú

ê

 

 

ú ê ú

 

ê

 

ú

ê

 

ú

ê

ú

ê

0,5

 

ú ê

ú

 

ê

0,858

ú

ëq3 (0)

û

ëx3 (0)

û

ë0, 429

0, 071û ë0

û

 

ë

û

Найдем выражения для q1(t), q2 (t) и q3(t).

t

q1 (t )= 2,742e-t + 2 × 4,11òe-(t -t)d t = 2, 742e-t + 8, 22(1 - e-t ) = -5, 478e-t + 8, 22;

0

t

q2 (t )= -1,6e-6t + 2 × 57, 6ò e-6(t -t)dt = -1,6e-6t +19, 2(1 - e-6t ) = -20,8e-6t +19, 2;

0

t

q3(t) = 0,858e-8t + 2(-61,71)ò e-8(t -t)dt = 0,858e-8t -15, 428(1 - e-8t ) =

0

= 16, 286e-8t -15,428.

В результате получим

y(t) = q1(t) + q2 (t) + q3 (t) = -5, 478e-t - 20,8e-6t + 16, 286e-8t + 12.

Выполним проверку:

y(0) = -5,478 - 20,8 +16, 287 +12 = 2 - верно; y(¥) = 12 - верно.

Решения нормальных и канонических уравнений состояния совпадают. Проверим, одинаково ли значение коэффициента усиления: по переда-

точной функции, переходной характеристике, моделям в пространстве состояний, аналитической записи импульсной переходной характеристики.

Проверим значение коэффициента усиления по передаточной функции:

W (S ® 0) =

144S + 288

=

288

= 6.

S 3 + 15S 2 + 62S + 48

 

 

48

 

69

По переходной характеристике:

h (t ® ¥) = 7,714e-8t - 9, 6e-6t - 4,114e-t + 6 = 6.

По моделям в пространстве состояний:

каноническая форма: 4,11 + 57,6 - 61,71 = 6; 6 8

нормальная форма (в установившемся режиме на входах интеграторов нули): -1872 + 144 ×15 - 48 × k = 0; k = 6;

по аналитической записи импульсной переходной характеристики:

W (t) = 4,114e-t + 57,6e-6t - 61,714e-8t ; проверяем: 4,11 + 57,6 - 61,71 = 6. 1 6 8

Мы видим, что значение коэффициента усиления одинаково.

Задание 2. Линейное программирование

Найти минимальное значение функции F (x) = 2x1 + 3x2 - x3 при следующих ограничениях:

ì2x1 + x2 - 3x3 ³ 6,

ï

íx1 - x2 + 2x3 = 4,

ï

îx1 + x2 + x3 £ 5,

x1 ³ 0, x2 ³ 0, x3 ³ 0 .

Домножим первое из ограничений на(-1) и введем в ограничения дополнительные переменные x4 , x5 и искусственную переменнуюR следующим образом:

ì- 2x1 - x2 + 3x3 + x4 = -6,

ï

íx1 - x2 + 2x3 + R = 4,

ï

îx1 + x2 + x3 + x5 = 5.

Пусть x4 , R и x5 – базисные переменные, а x1, x2 , x3 – небазисные. Функ-

ция цели F (x) = F (x) + M × å R =2x1 + 3x2 - x3 + M × (4 - x1 + x2 - 2x3 ).

В первой симплекс-таблице (табл. 4.1) коэффициенты при небазисных переменных в F-строке и M-строках знака не меняют, так как осуществляется минимизация функции. Свободный член в M-строке берется с противоположным знаком. Решение, соответствующее табл. 4.1, не является допустимым, так как есть отрицательный свободный член.

Выберем ведущий столбец и строку в соответствии с шагом2 алгоритма решения [18, подразд. 3.6]. После пересчета получим табл. 4.2. Оптимизация решения (шаг 5 алгоритма) осуществляется вначале по M-строке. В результате x3 введем в базис, а переменную R исключим из рассмотрения, сократив коли-

70

чество столбцов. После пересчета получим табл. 4.3, которая соответствует оптимальному решению задачи.

Таблица 4.1

БП

Свободные

 

Небазисные

 

 

члены

 

переменные

 

 

 

х1

 

х2

 

х3

х4

-6

-2

 

-1

 

3

R

4

1

 

-1

 

2

х5

5

1

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

F

0

2

 

3

 

-1

 

 

 

 

 

 

 

M

-4

-1

 

1

 

-2

Таблица 4.3

Таблица 4.2

БП

Свободные

 

Небазисные

 

 

члены

 

переменные

 

 

 

х4

 

х2

 

х3

х1

3

-1/2

 

1/2

 

-3/2

R

1

1/2

 

-3/2

 

7/2

х5

2

1/2

 

1/2

 

5/2

 

 

 

 

 

 

 

F

-6

1

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

M

-1

-1/2

 

3/2

 

-7/2

БП

Свободные

Небазисные

Искомый минимум функции F(x)

 

члены

переменные

равен свободному

членуF-строки

 

 

х4

х2

 

 

табл. 4.3, взятому

с

обратным зна-

х1

24/7

-2/7

-1/7

ком,

так

как minF(x) = -max(-F(x));

х3

2/7

1/7

-3/7

x4 =

x2 = 0;

x =

24

;

x

=

2

;

x =

9

;

х5

9/7

1/7

11/7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

7

 

3

7

 

5

7

 

F

-46/7

5/7

20/7

F

= 46 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

min

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение задачи в Matlab

F=[2 3 -1];

A=[-2 -1 3;1 1 1;-1 0 0;0 -1 0;0 0 -1];

>>%коэффициенты левых частей неравенств, приведенных к знаку ≤,

>>%с учетом ограничений на знак

>>

B=[-6;5;0;0;0];

%правые части ограничений неравенств %для ограничения равенства

Aeq=[1 -1 2]; Beq=[4];

x=linprog(F,A,B,Aeq,Beq);

>>x

x = 3.4286 0.0000 0.2857

>>Q=F*x

Q=

6.5714

71

Найдем частично-целочисленное решение задачи, считая, что переменная x3 должна быть целой. Дополнительное ограничение составим по второй строке оптимальной симплекс-таблицы, которая соответствует базисной переменной x3. Ограничение записывается в соответствии с выражением

å aki wi

+

 

{bk

}

åaki wi

³ {bk } ,

{bk }

 

iÎI +

 

-1iÎI -

 

где aki – коэффициенты при небазисных переменных wi в рассматриваемой строке, {bk } – дробная часть свободного члена.

Тогда получим

2

 

1

x +

 

 

7

 

(-

3

)x

2

³

2

 

или

 

1

x +

6

x ³

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

7

7 4

 

 

- 1

7

 

7

 

4

35 2

7

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вводим

дополнительную

переменнуюx6

и

вносим

ограничение в

симплекс-таблицу (см. табл. 4.3 (М-строку исключаем) в результате получим табл. 4.4.

В качестве ведущего выбираем элемент в строкеx6, после перерасчета получим табл. 4.5.

Таблица 4.4

БП

Свободные

Небазисные

 

члены

переменные

 

 

х4

х2

х1

24/7

-2/7

-1/7

х3

2/7

1/7

-3/7

х5

9/7

1/7

11/7

х6

-2/7

-1/7

-6/35

 

 

 

 

F

-46/7

5/7

20/7

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 4.5

БП

Свободные

Небазисные

 

члены

переменные

 

 

х6

 

х2

х1

4

-2

 

1/5

х3

0

1

 

-3/5

х5

1

1

 

7/5

х4

2

-7

 

6/5

 

 

 

 

 

F

-8

5

 

2

 

 

 

 

 

Оптимальное целочисленное решение x1 = 4, x5 = 1; x4 = 2, x1 =x3 = x6 = 0,

Fmax = 8.

Переход к двойственной задаче подробно рассмотрен в конспекте лекций и здесь не приведен.

 

Задание 3. Нелинейное программирование

 

 

 

3.1.

Найти

экстремальное значение

функцииF (x) = -2x2

+ 18x -

 

 

- x2

 

 

 

1

 

1

-2x x

2

+ 12x

2

методом наискорейшего

спуска и методом

Ньютона–

1

2

 

 

 

 

 

Рафсона. Начальная точка x0 = [2; 1].

72

Вид функции цели можно посмотреть в пакете Matlab, используя подпрограмму:

[x1,x2]=meshgrid([0:0.1:6]); F=-2*x1.^2+18*x1-2*x1.*x2-x2.^2+12*x2; meshc(x1,x2,F);

На рис. 4.8 приведен вид функции F вместе с проекциями линии уровня: функция выпуклая вверх и имеет максимум.

Рис. 4.8

В методе наискорейшего спуска(подъёма) очередная точка при поиске

максимума функции вычисляется по формулеxk +1 = x k

+ ak * ÑF (xk ) , где

направление движения задается вектором градиента ÑF (x)

функции F (x) , вы-

численном в точке xk, а величина шага перемещения определяется числовым параметром α k.

ÑF (x) =

é¶F F

ù

= [-4x +18 - 2x ; -2x - 2x

 

+12]

;

ê

x

 

x

ú

 

 

 

1

2

1

2

 

 

 

ë

1

2

û

 

 

 

 

 

 

ÑF (x0 ) = [8; 6].

На первом шаге движение осуществляется из точкиx0 вдоль вектора ÑF (x0 ) в новую точку x1:

73

é

1

ù é

0

ù

é8ù

é

+ 8a

0

ù

êx1

ú = êx1

ú + a0

ê ú

= ê2

 

ú .

êx1

ú

êx

0

ú

ë6û

1

+ 6a0

û

ë

2

û

ë

2

û

 

ë

 

 

k

Величина шага α на любом шаге выбирается из условия обеспечения экстремума функции в рассматриваемом направлении. Подставляя координаты точки x1 в функцию F (x) , получим

F (a0 ) = -2(2 + 8a0 )2 +18(2 + 8a0 ) - 2(2 + 8a0 )(1 + 6a0 ) - -(1 + 6a0 )2 +12(1 + 6a0 ) = -260(a0 )2 + 100a0 + 35;

F = -520a0 +100 = 0 ; a0 = 0,192 .

¶a0

В результате после первого шага координаты очередной точки получаются равными:

 

 

x1 = 2 + 8a 0

= 2 + 8 × 0,192 = 3,54;

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x12

= 1 + 6a 0

= 1 + 6 × 0,192 = 2,15.

Вычисляется ÑF (x1) . Если

 

ÑF (x1)

 

 

 

£ ε (ε – точность решения задачи),

 

 

 

поиск прекращается и считается,

что x*= x1. Если нет, переходят к шагу2.

ÑF (x1 ) =[-0,46; 0,62]. Пусть ε £ 0,1, тогда

ÑF (x1 ) =

æ

F

ö

2

æ

F

ö2

 

 

 

 

ç

x

÷

+

ç

x

 

÷

= (0,46)2 + (0,62)2 = 0,59 = 0,768 .

 

ç

÷

 

ç

2

÷

 

 

 

 

 

 

è

1

ø

 

è

 

ø

 

 

 

 

 

На втором

шаге

движение

осуществляется

в направлении вектора

ÑF (x1) с величиной шага a1:

 

 

 

 

 

 

 

éx2

ù

é3,54ù

+ a1

é- 0,46ù

é3,54

- 0,46a1

ù

ê

1

ú = ê

ú

ê

ú

= ê

2,15

+ 0,62a1

ú ;

êx2

ú

ë2,15û

 

ë 0,62 û

ë

û

ë

2

û

 

 

 

 

 

 

 

F (a1 ) = -0,24(a1 )2 + 0,6a1 + 44,8 ;

dF = -0,48a1 + 0,6 = 0 ; a1 =1,25; da1

x12 = 3,54 - 0,46 ×1,25 = 2,965;

x22 = 2,15 + 0,62 ×1,25 = 2,92 ;

ÑF (x 2 ) = [0,32; 0,24];

ÑF (x2 ) = 0,322 + 0,242 = 0,16 = 0,4 .

74

Заданная точность не обеспечена, следует сделать еще один шаг, в результате которого точка экстремума определится координатамиx* = x3 = [3; 3],

Fmax = 45.

Рассмотрим графическую интерпретацию решения задачи.

На плоскости x1, x2 (рис. 4.9) приведены линии уровня функции цели F, построенные в Matlab, в соответствии с подпрограммой:

>>[x1,x2]=meshgrid([0:0.1:6]);

>>F=-2*x1.^2+18*x1-2*x1.*x2-x2.^2+12*x2;

>>figure;

>>cl=[15 25 30 35 40 43 45];

>>[c,h]=contour3(x1,x2,F,cl,'r');

>>clabel(c,h);

>>view(0,90);

>>

Рис. 4.9

Центр концентрических линий является точкой экстремума x*.

В процессе поиска траектория движения должна из начальной точкиx0 привести в конечную точку x* (рис. 4.10).

75

Рис. 4.10

Следует обратить внимание на то, что каждая очередная точка лежит на направлении вектора градиента, вычисленного в этой точке, и каждое последующее направление перпендикулярно предыдущему.

Решим эту же задачу методом Ньютона– Рафсона. Очередная точка поиска вычисляется в соответствии с выражением

xk +1 = xk - H -1 (xk )ÑF (xk ) ,

где H (x) – матрица Гессе функции F (x); H -1(x)

– обратная по отношению

к H (x) матрица.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

é¶F F ù

= [–4x1 –2x2 + 18;

–2x1 – 2x2 +12 ];

ÑF (x) = ê

 

 

 

 

 

 

 

ú

x

 

x

2

 

 

 

ë

1

 

 

û

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÑF (x0 ) =[8; 6];

 

 

 

 

é

2 F

 

 

2 F

ù

 

 

 

 

 

 

ê

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

ú

é- 4 - 2ù

 

1

 

 

 

¶ ¶

 

 

 

 

 

H (x) = ê

x1

 

 

x1 x2

ú

; H (x) = ê

 

ú ;

H -1 =

 

× AdjH ,

 

 

-

det H

ê

2 F

 

 

2 F

ú

ë- 2

2û

 

 

ê

 

 

 

 

 

 

 

 

ú

 

 

 

 

 

 

x

2

x

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

ë

 

1

 

 

 

 

2

 

 

û

 

 

 

 

 

 

где det H – определитель

матрицы H ; AdjH – присоединенная к H матрица

(транспонированная матрица алгебраических дополнений).

матрицыH :

Найдем

алгебраические

дополнения

 

элементов

Ñij = (-1)i + j m

, тогда D

= -2 ; Ñ

= +2 ; Ñ

21

= +2 ; D

22

= -4 .

 

ij

11

12

 

 

 

 

76

 

 

 

 

 

 

 

 

Соответственно

 

 

 

AdjH =

é- 2

2 ù

det H = 4 ;

H -1

é- 0,5

0,5ù

,

 

 

 

 

 

 

 

 

ê

2

 

ú ;

= ê

 

 

ú

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ë

 

- 4û

 

 

 

 

 

ë 0,5

-1û

 

 

 

 

 

 

é x1

ù

é2 ù

é-0, 5

 

0, 5 ù é8 ù

=

é2 ù

-

é-4

+3ù

=

é2 ù

-

é -1ù

=

é3ù

;

ê 1

ú =

ê ú

- ê

 

 

-1

ú ê ú

ê ú

ê

4

ú

ê ú

ê

-2

ú

ê ú

ê x1

ú

ë1 û

ë 0, 5

 

 

û ë6 û

 

ë1 û

 

ë

-6 û

 

ë1 û

 

ë

û

 

ë3 û

 

ë 2

û

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÑF (x1 ) = [-12 + 18 - 6; -6 - 6 + 12] = [0; 0].

Следовательно, в точке x1 =[3; 3] функция F(x) достигает максимального значения Fmax = 45.

 

3.2.

 

 

Найти

 

максимальное

значение

 

функцииF (x) = -2x2

+ 18x -

 

 

 

- x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

- 2x x

2

+12x

2

при ограничениях

2x + x

2

 

³ 2

, x

+ x

2

£ 4

,

x

³ 0

, x

2

³ 0

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

методом допустимых направлений Зойтендейка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Начальная точка x 0 =[2; 1].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Область

допустимых

значений

-пе x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ременных (ОДЗП) приведена на рис. 4.11.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Последовательность решения задачи:

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

Находится

направление

вектор

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

градиента в точке x0 , ÑF (x0 ) =[8;

6], то-

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

гда

 

 

координаты

 

 

очередной

 

точ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÑF (x1)

 

 

 

1

 

 

 

0

 

1

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 = 2

+

8a

 

;

x2

=1 + 6a

 

(см. предыдущий

2

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

 

ÑF (x2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пример).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÑF (x0 )

 

 

S1

2

 

 

 

 

2. Определяем интервал допустимых

1

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

значений для параметра a0 , при котором

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точка х1 будет

принадлежать

ОДЗП. Для

0

 

 

 

1

2

 

 

3

4

 

x1

этого координаты точки х1 подставляются

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в ограничения задачи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ì2(2 + 8a0 ) + (1 + 6a0 ) ³ 2

 

 

 

a0 ³ -0,136;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

+ 8a0 +1 + 6a0 £ 4

 

 

 

a0

£ 0,071;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï2

Þ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

í

+ 8a0 ³ 0

 

 

 

a0 £ -0,25;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

+ 6a

0

³ 0

 

 

 

 

 

a

0

³ -0,167.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

î1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выбираем наиболее сильные из полученных условий, тогда

-0,135 £ a0 £ 0,071.

3.Находим величину α0, которая обеспечит максимум функции F(x). Процедура полностью совпадает с первым шагом решения задачи методом наиско-

77

рейшего спуска, поэтому α0 = 0,192. Это значение α0 не принадлежит найденному интервалу (п. 2), поэтому принимается, что α0 = 0,071. При этом очередная точка х1 поисковой траектории оказывается на границе области и находится на прямой, соответствующей уравнению x1 + x2 = 4 . Координаты точки х1 и значе-

ние градиента функции в этой точке ÑF (x1 ) определяются выражениями:

x11 = 2 + 8a0 = 2 + 0,568 = 2,568;

x12 =1 + 6a0 =1 + 0,425 =1,425;

ÑF (x1 ) = [5,12; 4,01].

4. Движение в направлении ÑF (x1 )

выводит за пределы ОДЗП, поэтому

очередная

точка поиска вычисляем

по

k +1

= x

k

+ a

k

S

k

, где

выражениюa

 

 

 

S k – новое

направление движения, которое

составляет минимальный

острый

угол с вектором градиента и направлено либо внутрь, либо по границе ОДЗП. При этом очередная точка должна принадлежать ОДЗП, а функция цели при переходе к очередной точке должна увеличиваться максимальным образом.

Направление S k

находим, как решение задачи:

 

 

 

 

 

 

 

max{ÑF T (xk ) × S k | aTj S k

£ 0, || S k ||£1}.

 

 

 

 

Направление S1 очередного шага определяем из условия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

éS1

ù

S1

+ S1 = 0

,

 

 

 

 

 

 

 

aT S1 = [1 1] ê

1

ú =

 

 

 

 

 

 

 

j

 

êS1

ú

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ë

1

û

 

 

 

 

 

 

 

где aTj – вектор коэффициентов при переменных во втором ограничении, на ко-

 

тором находится точка х1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда

 

следует,

что

S1

= -S1

,

тогда

S1 =

(S1)2

+ (S1 )2

=1;

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

1

2

 

 

2(S1)2 =1;

S1

= 1 =

1

= 0,71;

S1

= -0,71. Таким образом,

max ÑF T (x ) × S

1

1

1

2

1,41

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

достигается при S11 = 0,71; S21 = -0,71.

 

 

 

 

 

 

 

 

При движении из точки x1

в точку

x 2

следует двигаться по граничной

прямой в направлении S1, как показано на рис. 4.11.

 

 

 

 

 

5.Координаты точки х2 определяются выражением

x2 = x1 + a1S1

или

é x2

ù

é2, 568ù

 

é 0, 71

ù

é2, 568

+ 0, 71a1

ù

ê

1

ú = ê

 

ú

1

 

ú

= ê

 

ú .

 

1, 426

+ a

ê

 

- 0, 71a1

ê x2

ú

ë

û

 

ë

-0, 71û

ê1, 426

ú

ë

2

û

 

 

 

 

 

 

 

ë

 

û

78

Находим интервал изменения a1, при котором х2

принадлежит ОДЗП:

ì2(2,568 + 0, 71a1) +1, 426 - 0,071a1 ³ 2,

ìa1 ³ -6, 42,

ï

1

ï

1

ï

ï

í

2,568 + a ³ 0,

Þía ³ -3,62,

ï

1

ï

1

ï

1, 426 - 0,71a ³ 0

ï a ³ 2,01.

î

 

î

 

Второе ограничение опущено, так как точка х2 принадлежит соответствующей ему прямой, тогда - 3,62 £ a0 £ 2,01.

6. Находим a1, которое обеспечит максимум функции F(x) в направлении S1.

Для этого координаты точки х2 подставляются в функцию F(x), тогда

F (a1) = 29,58 -1,01(a1)2 +1,22a1 ;

dF = -2,02a1 +1,22 = 0 , a1 = 0,6 , da1

Значение a1 принадлежит интервалу, найденному в п. 5, поэтому для расчета координат точки х2 принимается a1 = 0,6 :

x12 = 2,568 + 0,71× 0,6 = 2,994 » 3;

x22 =1,425 - 0,71× 0,6 = 0,999 »1.

Вычисляются составляющие вектора градиента в точке х2:

 

 

 

ÑF (x 2 ) = [- 4 × 3 +18 - 2 ×1;-2 × 3 - 2 ×1 +12]=[4; 4].

 

 

Направление вектора ÑF (x 2 )

перпендикулярно направлению S1, следо-

вательно, найденная точка х2 = [3;

1] обеспечивает максимум

функции F(x)

с учетом ограничений на переменные: Fmax = 41.

 

функцииF (x) = -2x2

 

3.3.

Найти

максимальное

значение

 

+ 18x -

 

 

- x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

- 2x x

2

+12x

2

при ограничениях 2x + x

2

³ 2 ;

x

+ x

2

£ 4 ;

x

³ 0 , исполь-

1

2

 

 

1

 

1

 

 

1,2

 

 

зуя условия теоремы Куна – Таккера.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Последовательность решения задачи:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

Составляем функцию Лагранжа:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L(x,l) = F (x) + lT g(x) = F (x) + ål j × g j (x) .

 

 

 

Здесь g j (x)

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

– левые части ограничений, приведенных к нулевой правой части;

l j – неопределенные множители Лагранжа:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g1(x) = -2 + 2x1 + x2 ³ 0; g2 (x) = 4 - x1 - x2 ³ 0 .

79

Точка экстремума является седловой точкой с максимумом поx и минимумом по l, поэтому ограничения приведены к виду g j (x) ³ 0 :

L(x,l) = -2x12 + 18x1 - 2x1x2 - x22 + 12x2 + l1(-2 + 2x1 + x2 ) + l2 (4 - x1 - x2 ) .

2. Условия теоремы Куна – Таккера записываем следующим образом:

ì

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

£

0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

x *

, l *

 

 

x i

 

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

x

*

 

L

 

 

 

 

 

 

= 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

í

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

*

, l

*

i

x i

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

*

³ 0 , i = 1 , n .

ï

 

x i

 

î

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ì

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

³ 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

x * , l *

 

¶ l j

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

*

 

L

 

 

 

 

 

* = 0 ,

 

 

 

 

 

 

í l

 

j

 

 

 

 

 

 

 

x

*

, l

 

 

¶ l j

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

x *j ³ 0 , j = 1, n .

ï

 

î

Частные производные функции Лагранжа определяются выражениями:

 

 

L

 

= -4x +18 - 2x + 2l - l

2

£ 0 ;

 

 

 

 

1

 

2

1

 

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

= -2x

- 2x +12 + l - l

2

£ 0 ;

 

 

 

 

 

 

1

2

 

1

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

L

= -2 + 2x + x ³ 0 ;

 

L

= 4 - x - x ³ 0 .

 

 

 

1

2

 

¶l2

 

 

1

2

¶l1

 

 

 

 

 

 

Для приведения неравенств к виду равенств вводятся дополнительные неотрицательные переменные V и W. Одновременно свободные члены переносятся в правую часть, тогда

-4x1 + 18 - 2x2 + 2l1 - l2 + V1 = -18 ,

-2x1 - 2x2 + 12 + l1 - l2 + V2 = -12 ,

2x1 + x2 -W1 = 2 ,

- x1 - x2 -W2 = -4 .

Решение этой системы из четырех алгебраических уравнений, содержащих восемь неизвестных, можно найти с помощью симплекс– процедуры. На первом шаге в базис включаются все введенные дополнительные переменные, тогда первая симплекс-таблица соответствует табл. 4.6. Строка для функции

цели

 

отсутствует. Процедура

решения иллюстрируется симплекс– табли-

цами (табл. 4.6 – 4.9).

 

 

 

 

 

В каждой из таблиц выделен ведущий элемент. Решение, определяемое

табл. 4.9, соответствует допустимому

базисному решениюx1=3;

x2=1; W1=5;

l2 = 4 ; V1 = V2 = λ1 = W2 = 0. Кроме

того, выполняется условие

x1v1 = x2v2 =

= l w

= l

2

w

2

= 0, поэтому

x* = 3 , x*

= 1 является оптимальным решением за-

1

1

 

 

 

1

2

 

 

дачи Fmax = 41.

80

Таблица 4.6

БП.

Св. чл.

Небазисные переменные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

x2

 

l1

l2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v1

-18

-4

 

-2

 

 

 

2

 

 

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v2

-12

-2

 

-2

 

 

 

1

 

 

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w1

-2

-2

 

-1

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w2

4

1

 

1

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 4.8

 

 

Небазисные переменные

БП.

Св. чл.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v1

 

v2

l1

 

l2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

3

-

 

1

 

 

 

1

 

 

-

 

1

 

 

0

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

3

-

 

1

 

 

-

 

1

 

 

0

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

4

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w1

7

-

1

 

 

 

0

 

 

-1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w2

-2

 

0

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

-

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

Таблица 4.7

БП.

Св. чл.

Небазисные переменные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

v2

 

l1

l2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v1

-6

-2

 

-1

 

 

1

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

6

 

1

 

 

-

1

 

-

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

w1

4

-1

 

-

1

 

-

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

w2

-2

 

0

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

-

1

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 4.9

 

 

Небазисные переменные

БП.

Св. чл.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v1

v2

 

l1

w2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

3

-

 

1

 

 

1

 

 

-

 

1

 

0

 

 

 

 

2

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

1

 

1

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

4

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w1

5

-

1

 

 

1

 

 

-

1

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

l2

4

 

0

 

 

-1

 

-1

 

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.4. Найти максимальное значение функции F (x) = -2x

2

 

+ 18x

- 2x x

2

-

-x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

1

 

+ 12x

2

при ограничениях

2x + x ³2,

x

+ x

2

£ 4 ,

x ³ 0

,

 

x

2

³ 0

методом

2

 

 

 

 

 

1

2

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

линейных комбинаций. Начальная точка x 0 = [2; 1].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Область допустимых значений пере-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

менных (ОДЗП) приведена на рис. 4.12.

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Суть

метода

линейных

комбинаций

 

 

 

1*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

заключается в линеаризации функцииF(x)

 

4

 

 

 

x%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и замене ее линейной функциейw(x) в со-

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ответствии с выражением

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w(x) = ÑF (x)т × x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

0

 

 

x2

= x*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Последовательность решения задачи:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x%0*

 

 

 

 

 

1. Находим направление

вектора гра-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

 

диента в точке x0;

ÑF (x0 ) = [8, 6],

в соот-

 

 

 

 

1

2

3

 

4

 

 

 

 

ветствии с этим

é] x1 ù

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.12

 

 

 

 

 

 

 

 

w(x0 ) = [8, 6

= 8x + 6x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ê

ú

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ë x2

û

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

81

2. Решаем задачу линейного программированияw(x0 ) = 8x1 + 6x2 (max) при ограничениях 2x1 + x2 ³ 2, x1 + x2 £ 4, x12 ³ 0.

В результате получаем одну из вершин ОДЗП x%0* =[4, 0]. Это оптималь-

ное решение линеаризованной задачи (см. рис. 4.12).

3. Произведем корректировку найденного решения в соответствии с выражением

 

 

 

 

 

 

 

x1 = x0 + a0 (x%0* - x0 )

 

 

 

 

é x1

ù

é2ù

é4 - 2 ù

é2 + 2a0 ù

 

 

 

или ê 1

ú = ê

ú

+ a0 ê

ú

= ê

ú .

 

 

 

 

ê x1

ú ë1

û

ë 0 - 1

û ê 1 - a0

ú

 

 

 

 

ë 2

û

 

 

 

 

 

ë

û

 

 

 

 

4. Находим значение a0 , которое максимизирует F (x1). Подставляя x1

и

x12 в F (x) , получим

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

F (a0 ) = -2(2 + 2a0 )2 + 18(2 + 2a0 ) - 2(2 + 2a0 )(1 - a0 ) - (1 - a0 )2 +

 

 

 

 

 

 

 

 

+12(1 - a0 ) = -5(a0 )2 + 10a0 + 35.

 

 

 

 

Тогда

 

F

= - 10a0 + 10 = 0, отсюда a0 = 1.

 

 

 

 

 

¶a0

 

 

 

 

 

 

 

 

определяются следующим образом: x1

= 2 + 2a0

 

 

 

Координаты точки x1

= 4;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

x1

= 1 - a0 = 0. В рассматриваемом случае точкаx1 совпала с точкой x%0*, но в об-

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

щем случае она должна принадлежать прямой, соединяющей точки x0 и x%0*.

5.Осуществляем линеаризацию F (x) относительно найденной точки x1 .

ÑF (x1) = [2, 4], тогда w(x1) = 2x1 + 4x2.

6.Решаем задачу линейного программированияw(x1) = 2x1 + 4x2 (max) при ограничениях 2x1 + x2 ³ 2, x1 + x2 £ 4, x12 ³ 0.

Оптимальное решение достигается в вершине ОДЗП x%1* = [0, 4].

7.Точка x2 , соответствующая скорректированному решению, должна

принадлежать прямой, соединяющей x1 и x%1* (в нашем случае это правая граница ОДЗП) x2 = x1 + a1(x%1* - x1) или

é x2

ù

é4 ù

+ a1

é0 - 4ù

é4 - 4a1 ù

 

ê 1

ú = ê ú

ê

ú

= ê

ú .

 

ê x2

ú ë0 û

 

ë4

- 0û

ê0 + 4a1

ú

 

ë 2

û

 

 

 

 

ë

û

 

8. Находим значение a1, которое максимизируетF (x2 ). Подставляя x2

и

 

 

 

 

 

 

 

1

 

x22 в F (x) , получим

82

F (a1) = -2(4 - 4a1)2 + 18(4 - 4a1) - 2(4 - 4a1)(0 + 4a1) - (0 + 4a1)2 + +12(0 + 4a1) = -16(a1)2 + 8a1 + 40.

Тогда F = - 32a1 + 8 = 0 и a1 = 0, 25.

¶a0

Координаты точки x2 будут равны x12 = 4 - 4a1 = 3; x22 = 4a1 = 1. Это и есть точка экстремума, полученные данные совпадают с результатом, полученным предыдущими методами.

83

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

1.

Рабочая программа по дисциплине «математические основы теории систем».....................

3

 

1.1. Цель и задачи преподавания дисциплины ........................................................................

3

 

1.2. Методические указания .....................................................................................................

4

 

1.3. Содержание дисциплины ..................................................................................................

4

 

1.4. Курсовая работа, ее характеристика ...............................................................................

11

 

1.5. Контрольные работы, их характеристика .......................................................................

12

 

Литература..............................................................................................................................

13

2.

Задания по выполнению контрольной работы ......................................................................

16

3.

Варианты заданий по курсовой работе .................................................................................

44

4.

Методические указания и примеры выполнения заданий по курсовой работе ...................

54

84

Св. план 2011, поз. 32

Учебное издание

Павлова Анна Валентиновна

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИСТЕМ

Методическое пособие для студентов специальности 1-53 01 07 «Информационные технологии

и управление в технических системах» заочной формы обучения

Редактор Н. В. Гриневич

Подписано в печать

Формат 60´84 1/16.

Бумага офсетная.

Гарнитура «Таймс».

Печать ризографическая.

Усл. печ. л.

Уч.-изд. л. 5,0.

Тираж 100 экз.

Заказ 814.

 

 

 

Издатель и полиграфическое исполнение: Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» ЛИ №02330/000494371 от 16.03.2009. ЛП №02330/0494175 от 03.04.2009. 220013, Минск, П.Бровки, 6.

85