3.2. Уpавнение бегущей волны

Для вывода уравнения бегущей волны используем рис. 3.3, на котором показано положение фронта плоской волны в разные моменты времени.

Рис. 3.3

В момент времени t все частицы, лежащие на фронте волны, колеблются согласно уравнению =Аcos(t) , где– смещение частицы от положения равновесия.

Через время фронт сместится на расстояниех, колебания частиц среды в новом положении будут запаздывать по времени на величину относительно прежнего положения и описываться уравнением=Аcos(t -), где= х /. Тогда

(х, t) =Аcos(t - х/) =Аcos(t-  х/). (3.3)

Для характеристики волн используется волновое число k: (3.4)

В общем случае с учетом (3.4) уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, имеет вид

 _х,t=Аcos(t - kх +₀), (3.5)

где А – амплитуда волны; ₀ – начальная фаза волны, определяемая началом отсчетахиt ; (t - k х +₀)–фаза плоской волны.

Уравнение волны, распространяющейся в направлении, противоположном оси х, имеет вид

_х,t=Аcos(t + kх+₀).

В уравнении волны зависит от двух переменныхtих, так как волна – процесс периодический во времени и пространстве.

Если в уpавнениях (3.3, 3.5) зафиксиpовать t и менятьх, то можно построить график плоской гармоническойбегущейволны (мгновенный снимок волны), распространяющейся со скоростью вдоль осих(рис. 3.4). Он отражает зависимость смещения частиц средыот расстоянияхэтих частиц (например, частицыА) до источника колебаний, расположенного в точкеx= 0. Показана длина волныкак кратчайшее расстояние между точками, имеющими одинаковые фазы колебаний.

Рис. 3.4

Вследующий момент вpемениt + tвесь гpафик ( пунктир на рис. 3.5) смещается впpаво или влево относительно начала кооpдинат в зависимости от напpавления pаспpостpанения колебаний.

Если зафиксируем x, то получим гpафик колебания точки, находящейся на pасстоянии xот источника колебаний (pис. 3. 6). Сравним графики на рис. 3.4 и 3.6. Они похожи формально, но различны по существу: график (х)волныотражает зависимость смещениявсех частиц среды от расстояниядо источника колебаний в данный момент времени; график(t)колебания– зависимость смещенияданной частицы от времени.

При фиксированном значении х уравнение волны (3.5) становится уравнением колебания(t) =Аcos(t +) с начальной фазой= -kx+_0., откуда видно, что начальная фаза колебаний и вся фаза в целом зависит от расстоянияхточки до источника колебаний. Поэтому,разность фазколебаний двух точек, находящихся на расстоянияхх₁их₂от источника колебаний, определяется выражением (по модулю)

 = k(x₂ -x₁) =kx. (3.6)

П р и м е р 1. Звуковые волны распространяются в воздухе со скоростью 340 м/с. Частота колебаний частиц воздуха равна 170 Гц, их максимальное отклонение от положения равновесия равно 0,3 мм. Найти длину волны, записать уравнение волны, построить ее график.

Ре ш е н и е. Длина волны=Т= =/,= 340/170 = 2 м.

Для записи уравнения волны в виде (х, t) = =Аcos(t - kх) определим= 2= 2∙170 = =340с^-1,k = 2/= =2/2 =м^-1. Получим уравнение волны(х, t) = 310^-4 cos(340t - х ) м и ее график (рис. 3.7).

П р и м е р 2.Уравнение плоской бегущей волны имеет вид(х, t) = 0,1cos(t/2 -x/20) м. Нужно: 1) определить длину волны; 2) найти разность фаз колебаний двух точек 1 и 2, находящихся от источника колебаний на расстояниях, соответственно, 20 и 60 м; 3) записать уравнение колебаний точки 1 и построить график этих колебаний

Р е ш е н и е. Длину волны найдем через волновое число в уравнении волны:k= 2/=/20 м^-1; 2/=1/20;= 40 м. Для определения разности фаз колебаний используем формулу (3.6):

=(60 - 20) / 20 = 2.

Подставим в уравнение волны координату точки 1, получим уравнение колебаний

(t) = 0,1cos(t/2 -) м.

Для построения графика (рис. 3.8) амплитуду колебаний берем из условия задачи, период колебаний определяем через циклическую частоту:Т= 2/, т.е.Т= 2/(/2) = 4 с.