3.3. Фазовая скорость. Волновое уравнение. Групповая скорость

В волновом поле следует различать две независимые скорости – скоростькаждойточкиволны в колебательном движении

(3.7)

и скорость волны,зависящую от свойств среды (см. 3.1).

Скорость волны (скорость распространения колебаний) по смыслу может быть определена как производная от координатыxпо времени: = dx/dt. Допустим, что при волновом процессе фаза постоянна, т. е. (t - kх +₀) =const. Продифференцируем это выражение, получим dt – kdx = 0, откуда

 = /k . (3.8)

Эта скорость характеризует скорость перемещения фазы волны, поэтому ее называют фазовой скоростью. Ее можно определить также по выражению (3.2).

Волновое уравнение–дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее распространение волн в однородной изотропной среде. Для плоской волны оно имеет вид

(3.9)

В общем случае для произвольного направления распространения волны с любой формой фронта волновое уравнение записывается как

или(3.10)

Принцип суперпозиции волн формулируется следующим образом: если в среде идет несколько волн, то каждая из них распространяется независимо от других. Результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений ее в каждом из волновых процессов.

Волновой пакет– суперпозиция волн (группа волн) в ограниченной области пространства, мало отличающихся по частоте (рис. 3.9). В виде волнового пакета можно представить любую волну.

Групповой скоростью u называют скорость, с которой движется центр волнового пакета – точка О на рис. 3.9. Она соответствует максимальной амплитуде волны, и скорость ее определяется выражением

(3.11)

Групповая скорость характеризует скорость переноса энергии волной.

Можно показать, что гpупповая скоpость u связана с фазовой скоростью  уравнением

u=d  d. (3.12)

Фазовая скорость упругих волн зависит от частоты (длины волны). Это явление называется дисперсией.

Зависимость фазовой скорости от длины волны, например, в кристаллах, незначительна при больших длинах волн, т. е. dυ/dλ = 0. Тогда групповая скорость равна фазовой (3.12). При малых длинах волн, соизмеримых с постоянной кристаллической решетки, дисперсия волн становится существенной, и групповая скорость отличается от фазовой. В зависимости от знака d/d, групповая скорость может быть как меньше, так и больше фазовой.

П р и м е р 3. Плоская бегущая волна представлена уравнением

 _х,t= 0,5cos(t/4 -x/10) м.Найти: 1) скорость распространения колебаний; 2) зависимость скорости колебаний от времени для точки, отстоящей от источника колебаний на расстоянии х = 5 м и амплитуду скорости.

Р е ш е н и е. Скорость волны рассчитаем по формуле  = /Т. Период колебаний Т и длина волны заданы уравнением волны:

 = /4 с^-1;k=/10 м^-1;

Т= 2/(/4) = 8 с; = 2/(/10) = 20 м;

 = 20/8 = 2,5 м/с.

Для нахождения скорости колебаний запишем уравнение колебаний точки, подставив х в уравнение волны:

_t= 0,5cos(t/4 -/2) м.

Скорость колебаний точки равна первой производной от смещения по времени: _t= -0,5(/4)sin(t/4 -/2) м/c. Амплитуда скорости колебаний₀ = 0,5 (/4)0, 4 м/с.