3.4. Энеpгия волны

Источник волнового движения в среде – колеблющееся тело (колебательная система).

Излучение – передача энергии от колеблющегося тела к частицам окружающей среды. В упругой волне перенос кинетической энергии связан с распространением волны скоростей, а потенциальной – с распространением волны деформаций.

Можно показать, что потенциальная энергия элементарного объема ΔV определяется выражением

(3.13)

Кинетическая энергия этого объема

(3.14)

Из сравнения выражений (3.13) и (3.14) следует, что кинетическая и потенциальная энергии изменяются в одинаковых фазах, т.е. одновременно достигают максимума и одновременно обращаются в нуль. Тем самым энергия волнового движения отличается от энергии колебаний, для которых максимум кинетической энергии соответствует минимуму потенциальной, и наоборот.

Полная энергия объема ΔV равна ΔW =Δ W_п + ΔW_к, или

, (3.15)

т.е. энергия прямо пропорциональна плотности среды и квадрату амплитуды и частоты колебаний частиц среды.

На рис. 3.10 представлена зависимость от времени энергии участка волны, расположенного на расстоянии от источника колебаний.

При распространении волны энергия из одного участка среды переходит в другие (зависимость энергии участка от его координаты для данного момента времени аналогична представленной на рис. 3.10), энергия как бы течет в

среде. Значение полной энергии волны есть величина переменная, период изменения ее равен периоду волны. Заметим, что полная энергия колеблющегося тела есть величина постоянная (сравним графики на рис. 3.10 и 1.3).

Объемная плотность энергии W₀ – энергия, приходящаяся на единицу объема среды, измеряется в Дж/м³,

(3.16)

Плотность энергии в волне непрерывно меняется cо временем. Средняя плотность энергии волны в пределах периода

(3.17)

Поток энергии Ф – количество энергии, проходящей в единицу времени через площадку ΔS_┴, проведенную в среде перпендикулярно направлению распространения волны, т.е. Ф = ΔW/Δt, измеряется в Дж/с.

Выделим в волновом поле цилиндр длиной Т вдоль направления волны и поперечным сечением S. Очевидно, что за период Т через сечение пройдет энергия W = W₀υTS.Среднее значение потока энергии

Ф = A²²S/2. (3.18)

Вектор плотности потока энергии U (вектор Умова) по модулю равен количеству энергии, протекающей за единицу времени через единицу поверхности, перпендикулярной направлению распространения волны, т.е. U = ΔW/(ΔS_┴Δt). Направление вектора Умова совпадает с направлением переноса энергии, его единица измерения–Дж/(м²с). Среднее значение плотности потока энергии

U = A²²/2 =< W₀ >. (3.19)

3.5. Стоячие волны

Стоячие волны– это волны, образующиеся при наложении двух встречных бегущих волн (например, бегущей и отраженной) с одинаковыми частотами и амплитудами.

Запишем уравнение бегущей и отраженной волн в виде

₁ = A cos(t – kx);

₂ = A cos(t + kx).

Уравнение стоячей волны получим, просуммировав эти выражения:

 = ₁ + ₂ = А_ст cos t. (3.20)

А_ст= 2А cos kx = 2 Аcos(2x/) , (3.21)

где А_ст и А–амплитуды стоячей и бегущей волн соответственно.

График стоячей волны как результат сложения бегущей и отраженной волн (мгновенный снимок ) приведен на рис. 3.11.

Амплитуда стоячей волны зависит от координаты х точки, т.е. каждая точка волны колеблется со своей амплитудой.

Узлами стоячей волны называют точки среды, амплитуды колебаний которых равны нулю, в эти точки бегущая и отраженная волны приходят в противоположных фазах.

Найдем координаты узлов: А_ст=2Аcos(2x/)= 0, еслиcos(2x/) = 0. Этому условию удовлетворяют точки среды, для которых 2x/=(m+ 1/2), откуда

(m = 0, 1, 2, …) (3.22)

Пучности стоячей волны–это точки среды, амплитуда колебаний которых максимальна, т.е. А_ст = 2А, в эти точки волны приходят в одинаковых фазах. Найдем координаты пучностей: А_ст=2Аcos(2x/)= = 2А, еслиcos(2x/)=1. Этому условию удовлетворяют точки среды, для которых2x/=m, откуда

(m= 0, 1, 2, …). (3.23)Из сопоставления формул (3.22) и (3.23) следует, что расстояния между двумя соседними узлами или двумя соседними пучностями равны /2. Расстояние между соседними узлом и пучностью составляет четверть длины волны, т.е.  / 4.

Положения узлов и пучностей от вpемени не зависят, а это означает, что в стоячей волне узлы–это точки, в котоpых колебаний вообще нет, а пучности–точки с максимальной амплитудой (остальные точки колеблются с меньшей амплитудой, стоячая волна как бы «дышит»). На рис.3.12 представлена развертка стоячей волны во времени.

Рис. 3.12

Отметим отличия бегущей и стоячей волн.

1. В бегущей волне амплитуда колебаний для всех точек среды одна и та же, а в стоячей амплитуды pазные и зависят от pасстояния точек до источника колебаний.

2. В данный момент времени в бегущей волне все точки в пpеделах длины волны колеблются с pазными фазами, а в стоячей – в одной фазе, т.к множитель cos(t) для всех точек общий. Все точки одновpеменно пpоходят положение равновесия, затем максимально отклоняются (каждая со своей амплитудой) .

При переходе через узел множитель cos kx меняет знак, т.е. точки по разные стороны от узла колеблются в противофазах. При переходе через узел фаза волны скачком меняется на .

3. В бегущей волне пpоисходит пеpенос энеpгии от точки к точке в напpавлении pаспpостpанения волны, а в стоячей этого не пpоисходит, потенциальная энеpгия каждой точки пеpеходит в кинетическую, и наобоpот. Энеpгия волны сосpедоточена между узлами и не пеpедается чеpез них. Поэтому полная энергия, заключённая между узлами, остаётся постоянной.

Можно показать, что кинетическая энергия волны концентрируется вблизи точек, имеющих максимальную амплитуду скорости, а потенциальная – вблизи пучностей деформаций. Поэтому максимальные значения обеих энергий равны и смещены на /4.

Отражение бегущей волны от границы раздела зависит от свойств сред. Способность среды оказывать сопротивление проникновению в нее упругих волн характеризуется волновым сопротивлением (произведением плотности среды на скорость распространения в ней волны, т.е. ).

Если волна отражается от среды с меньшим волновым сопротивлением (отражение «от менее плотной среды»), то на границе в месте отражения образуется пучность. Это показано на рис. 3.13: если бы границы не было, то волна продолжала бы двигаться далее (пунктирная линия), т.к. плотности сред разные, волна отражается зеркально самой себе. При отражении от менее плотной среды фаза волны не меняется.

Если отражение происходит от среды с большим волновым сопротивлением («от более плотной среды»), то на границе образуется узел, так как волна при отражении меняет фазу на противоположную, и у границы раздела происходит сложение колебаний с противоположными фазами. В этом случае говорят, что происходит «потеря полуволны».Отражение от более плотной среды показано на рис. 3.14: если бы границы не было, волна шла бы дальше (пунктир). Из-заизменения фазы на противоположную половина длины волны теряется, волна отражается зеркально самой себе, но с потерей полуволны.

Формулы (3.22) и (3.23) записаны для случая отражения волны от менее плотной среды. При отражении от более плотной среды положение узлов и пучностей из-за изменения фазы волны на противоположную меняются местами (см. далее пример 4).

Образование стоячих волн связано с явлением резонанса в ограниченных участках сплошной упругой среды. Воздушные столбы, заключенные в духовых инструментах, наполненные воздухом резонансные ящики камертонов, струны, упругие стержни могут рассматриваться как простые колебательные системы. Узлы стоячей волны в этих случаях – места закрепления.

П р и м е р 4. Уравнение плоской бегущей поперечной волны имеет вид  = 0,2 cos(t/2 –x/3) м. При отражении волны от границы раздела с менее плотной средой образуется стоячая поперечная волна. Нужно: 1) записать уравнение стоячей волны: 2) определить амплитуду колебаний точки среды, расположенной на расстоянии 3 м от источника колебаний; 3) решить задачу для случая отражения бегущей волны от более плотной среды.

Р е ш е н и е. 1. Запишем уравнение стоячей волны в общем виде:  = 2Аcos kx  cos t (3.20). Из уравнения бегущей волны следует, что амплитуда А = 0,2 м, волновое число k = /3 м^-1, циклическая частота  = /2 с^-1. Подставим найденные параметры в уравнение стоячей волны, получим искомое уравнение  = 0,4cos(х/3) cos (t/2) м.

2. Найдем амплитуду колебаний точки в стоячей волне:

А_ст = 0,4cos 3/3 = 0,4 м.

Координата х = 3 м соответствует пучности стоячей волны.

3. Если отражение происходит от более плотной среды, то в уравнении отраженной волны следует учесть изменение фазы волны в месте отражения на . Тогда стоячая волна образуется как суперпозиция волн:= Асos(t - kx) и= Асos(t +kx+). После преобразований получим уравнение стоячей волны:  = 2А cos (kx + /2)  cos (t + /2)

или

 = 2А sin (kx)  sin (t). (3.24)

Из (3.24) следует, что координаты узлов и пучностей при отражении от более плотной среды определяются соотношениями

х_уз=m/2;х_п=(m+1/2)/2, (3.25)

т.е. узлы и пучности поменялись местами, и в точке с координатой х= 3 м будет узел.

П р и м е р 5. Длина стального, закрепленного на двух опорах, стержня (рис.3.15) равна 5 м. Найти частоты, при которых в стержне образуется стоячая волна. Скорость волны в стержне 5100 м/с.

Р е ш е н и е. При возбуждении колебаний в стержне установит- ся стоячая волна. На концах его обязательно образуются узлы (концы стержня закреплены), а между ними – одна или несколько пучностей (рис.3.15). Определим частоты, при которых это будет происходить. Расстояние между соседними узлами равно /2, следовательно, на длине стержня должно уложиться целое число полуволн:

l = m/2 , (m= 1, 2, 3, ..) (3.26)

Длина волны связана с частотой колебаний и скоростью волнысоотношением=/. Подставим это выражение в (3.26), получим

=m/(2l),=m/l. (3.27)

Такие частоты называют собственными

Результаты (3.27) показывают, что в системе, на которую наложены определенные граничные условия (в нашем случае – равенство нулю смещений начала и конца стержня) возможны лишь дискретные значения частот. Частота для m = 1 называетсяосновной.

Для m= 1, 2, 3 значения частотыв Гц равны, соответственно, 510, 1020, 1530. Полученные результаты представлены графически (рис. 3.15)

Рис. 3.15