2. Дифракція Фраунгофера

Застосування формули (2) для розв’язання обчислювальних дифракційних задач досить трудомістке. Спростимо цю формулу щодо практично важливого випадку нормального висвітлення отвору маленьких розмірів плоскою хвилею і спостереженням дифракційного ефекту при великому відлучені від отвору (рис. 3). Початок координат помістимо усередині отвору, оси Х і У розташуємо в площині отвору, а вісь Z, направимо у сторону поширення пучка, що висвітлює. Обчислимо світлове збурювання в точці М, розташованої на невеликій відстані від осі Z. При зазначених умовах К()  const, l/s = const і формулу (2) можна записати у такому вигляді:

U(M) = C₁,(4)

де C₁- постійна комплексна величина; s = - відстань від довільної точки отвору (x, y, O) до точки спостереження (x_m, y_m, z) .

Якщо d проходить весь отвір О, відстань s у загальному випадку змінюється на велике число довжин хвиль , -тому множник ехр (ikr) буде багаторазово осцилирований. Розкладемо змінну величину s у статечний ряд щодо координат точки отвору (точки N) і запишемо результат у такому вигляді:

(5)

де - відстань від початку координат О до точки спостереження М.

Рисунок 3- До виведення дифракційного інтеграла Фраунгофера

Якщо площина спостереження дифракційної картини досить вилучена від отвору, то в розкладанні (5) можна обмежитися тільки двома першими доданками. У цьому випадку говорять про дифракцію в далекій зоні, чи дифракції Фраунгофера. Підставивши перші два розкладання, що складаються, (5) у формулу (4), одержимо, що

.

Вхідні в круглі дужки відношення x_M/s^ = соs α = р і y_M/s^ = соs  = q є направляючими косинусами по осях координат Х і У вектора, проведеного з початку координат у точку спостереження (рис. 4). З обліком уведених направляючих косинусів представимо останнє співвідношення у вигляді наступного виразу, що називають дифракційним інтегралом Фраунгофера:

,(6)

де С = С₁ ехр (iks^).

Можна показати, що коефіцієнт C залежить від довжини світлової хвилі, площі отвору і сповненої енергії випромінювання, що падає на отвір.

Дифракційну картину Фраунгофера називають просторовим спектром. Дифракційний інтеграл Фраунгофера справедливий, строго кажучи, тільки в граничному випадку при s' , тобто якщо точка спостереження знаходиться в нескінченності (рис. 5, а). Практично цей інтеграл можна використовувати, якщо

s' >> (x² + y²)_max/,

де х, у - координати точок отвору.

Рисунок 4- Кути з осями координат вектора на точку спостереження

Якщо за отвором на відстані d від нього помістити високоякісний об'єктив О, то йдуть під пазними кутами рівнобіжні пучки дифрагованих променів, що будуть збиратися у відповідні точки фокальної площини об'єктива (рис. 5, б). Отже, дифракційна картина Фраунгофера з нескінченно вилученої площини переноситься у фокальну площину об'єктива; при цьому дифракційний інтеграл Фраунгофера точно описує розподіл комплексної амплітуди у фокальній площині об'єктива при його висвітленні рівнобіжним пучком променів. Введемо у фокальній площині об'єктива систему координат , . Дифрагований пучок з направляючими косинусами р, q фокусується об'єктивом у точку фокальної площини з координатами   pf',   qf', де f'- фокусна відстань об'єктива.

Рисунок 5- Дифракція Фраунгофера у нескінченності; у фокальній площині об'єктива

У формулі (6) зручніше записати нескінченні границі інтегрування, а кінцеву площу отвору а врахувати так називаною функцією зіниці Р (х, у), рівній одиниці усередині отвору і рівної нулю поза ними. З обліком сказаного можна записати наступний вираз для дифракційного інтеграла щодо фокальної площини об'єктива:

.(7)

Коефіцієнт, що стоїть перед інтегралом, С в загальному випадку залежить від координат , . Однак при розташуванні екрана з отвором у передній фокальній площині об'єктива коефіцієнт С є постійною величиною для всіх точок задньої фокальної площини. Допустимо, що в площину отвору введений плоский предмет з амплітудним коефіцієнтом пропущення t (х, у) (рис. 6). Такий предмет змінює амплітуди вторинних хвиль t (х, у) разів, і тому у формулі (7) функцію зіниці Р (х, у) можна замінити на t(х, у):

.(8)

Ця формула збігається з двовимірним перетворенням Фур'є функції t (х, у), що позначимо (х, у).

Рисунок 6- Схема виконання перетворення Фур'є за допомогою об'єктив

Таким чином, якщо в передній фокальній площині об'єктива розташувати плоский транспарант із функцією коефіцієнта пропущення t (х, у) і освітити транспарант плоскою монохроматичною хвилею, то в задній фокальній площині об'єктива утвориться розподіл комплексної амплітуди світлового збурювання, зв'язаний з t (х, у) перетворенням Фур'є {t (х, у)}. Ця важлива властивість об'єктива широко використовується в багатьох сучасних пристроях оптичної обробки інформації.